高中數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)優(yōu)化的途徑

周穎

【摘 要】本文通過基礎(chǔ)知識講解、優(yōu)選經(jīng)典例題、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用機(jī)會(huì)，加強(qiáng)應(yīng)用訓(xùn)練、鼓勵(lì)應(yīng)用總結(jié)等方式探討如何優(yōu)化高中數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)方法，以提高學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用意識與應(yīng)用能力，為提高學(xué)生解題能力與數(shù)學(xué)成績奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 概率統(tǒng)計(jì) 教學(xué)優(yōu)化

【中圖分類號】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）34-0144-02

統(tǒng)計(jì)學(xué)注重的是數(shù)據(jù)的收集、整理與分析，概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，它們都與我們的日常生活緊密相連。概率與統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是最能反映數(shù)學(xué)應(yīng)用性的課程之一。它包含的知識較多，如隨機(jī)事件的概率、傳統(tǒng)概率、抽樣方法等，對學(xué)生的記憶與理解能力要求較高。為使學(xué)生扎實(shí)掌握概率與統(tǒng)計(jì)的知識，并靈活用于解答相關(guān)數(shù)學(xué)問題，筆者在授課的過程中進(jìn)行了多種優(yōu)化嘗試。

一、注重基礎(chǔ)講解，夯實(shí)應(yīng)用基礎(chǔ)

為使學(xué)生牢固掌握概率統(tǒng)計(jì)知識，教師在授課中應(yīng)做好基礎(chǔ)知識講解，使學(xué)生準(zhǔn)確記憶相關(guān)概念的同時(shí)，理清知識點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

一方面，概率與統(tǒng)計(jì)有很多相似的知識點(diǎn)，如簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣，教師在授課中，既要為學(xué)生認(rèn)真講解對應(yīng)的概念，又要通過列圖表的方式為學(xué)生講解三種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生能夠根據(jù)不同的情況進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷，運(yùn)用對應(yīng)的抽樣方法進(jìn)行解答。另一方面，教師要為學(xué)生認(rèn)真講解不同事件概率的計(jì)算方法，傳授相關(guān)的計(jì)算技巧，如互斥事件，當(dāng)從正面解答計(jì)算較為繁瑣時(shí)，可考慮從其反面入手，提高解題效率，使學(xué)生牢固掌握概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，為更好的應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

為使學(xué)生掌握互斥事件的計(jì)算技巧，筆者為學(xué)生設(shè)計(jì)如下問題：

甲、乙兩人玩猜字游戲，甲先任意想一數(shù)字計(jì)作 a，乙猜測甲想到的數(shù)字計(jì)作 b。假設(shè) a，b∈（1，2，3），若|a-b|≤1 則乙獲勝。請問乙在游戲的過程中獲勝的概率為（ ）。

A.? ? ? ? ? ?B.? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? ?D.

該題目難度并不大，如應(yīng)用常規(guī)思路解答，需要分別列出 a，b 數(shù)字，情況較多，不少學(xué)生容易考慮不全。如果從反面進(jìn)行考慮，運(yùn)用互斥事件概率計(jì)算方法，就能大大提高解題效率。由已知條件可知，甲猜想的數(shù)字有 3 種，乙猜想的數(shù)字也有 3 種，因此基本事件共有 3×3=9 種。計(jì)乙獲勝的事件為 A，乙失敗的事件為 B。不難求出 |a-b|>1 時(shí)僅有兩種可能，則 P（B）= ，則 P（A）=1-P（B）=1-=。

通過對這道題的講解，不僅加深學(xué)生對互斥事件的理解，而且還掌握了概率的技巧，為其正確應(yīng)用概率知識解答數(shù)學(xué)問題，打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、優(yōu)選經(jīng)典例題，提高應(yīng)用意識

高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)試題類型復(fù)雜多樣，為提高學(xué)生的應(yīng)用意識，教師應(yīng)精選經(jīng)典例題為學(xué)生進(jìn)行講解。這類題目的挑選標(biāo)準(zhǔn)可以是教師結(jié)合以往授課經(jīng)驗(yàn)，掌握學(xué)生不易理解的知識點(diǎn)。

例如，筆者為避免學(xué)生因概念理解不清，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)解題出錯(cuò)，為學(xué)生講解以下例題：

投擲一枚均勻的骰子，將“朝上一面為奇數(shù)”計(jì)作事件 A。將“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過 3”計(jì)作事件 B。求 P（A+B）。

該題雖然難度不大，但部分學(xué)生對事件的性質(zhì)判斷錯(cuò)誤，錯(cuò)誤地認(rèn)為 P（A+B）=P（A）+P（B），得出 P（A+B）=+=1 的錯(cuò)誤結(jié)果。還有部分學(xué)生認(rèn)為事件 A 朝上的點(diǎn)數(shù)為 1，3，5;事件 B 朝上的點(diǎn)數(shù)為 1，2，3。兩個(gè)事件的重復(fù)點(diǎn)數(shù)為 1，3，得出 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A·B）=+-×=。雖然這一解題思路是正確的，但認(rèn)為 P（A·B）= 是不對的。事實(shí)上因?yàn)橹貜?fù)的點(diǎn)數(shù)為 1，3，因此 P（A·B）=。則正確的解題過程為 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A·B）=+-=。

三、創(chuàng)設(shè)問題情境，提供應(yīng)用機(jī)會(huì)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，還應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情境，給學(xué)生提供應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)知識的機(jī)會(huì)，使其通過解答試題，提高概率與統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用的靈活性，并能認(rèn)識與及時(shí)彌補(bǔ)知識漏洞。一方面，注重概率與統(tǒng)計(jì)問題的積累，結(jié)合教學(xué)進(jìn)度，在課堂上將相關(guān)的問題情境展示給學(xué)生，要求學(xué)生認(rèn)真審題，充分理解題意，冷靜分析，根據(jù)自己的理解進(jìn)行作答;另一方面，公布正確答案后，給學(xué)生預(yù)留一定的時(shí)間，要求學(xué)生認(rèn)真對照自己的解題過程，并結(jié)合自身實(shí)際積極回歸課本，有針對性復(fù)習(xí)相關(guān)知識點(diǎn)，進(jìn)一步深化對概率與統(tǒng)計(jì)知識的理解，時(shí)刻提醒自己解答類似題目時(shí)應(yīng)注意的問題與細(xì)節(jié)，避免犯下類似錯(cuò)誤。

講解系統(tǒng)抽樣知識時(shí)，為保證學(xué)生能夠正確地應(yīng)用所學(xué)知識進(jìn)行解題，課堂上筆者將以下問題情景展示給學(xué)生，要求學(xué)生作答：

某一大型運(yùn)動(dòng)活動(dòng)，準(zhǔn)備從 2009 名報(bào)名人員中抽取 50 名作為志愿者。若采用下面方法選?。簯?yīng)用簡單隨機(jī)抽樣，從報(bào)名者中剔除 9 人 ;而后應(yīng)用系統(tǒng)抽樣方法，從剩余的人員中抽取 50 人，則在所有報(bào)名者中，每人入選的機(jī)會(huì)（ ）。

A.均相等，為? ? ? ? ?B.不全相等

C.均不相等? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.均相等，為

該題目具有一定的迷惑性，很多學(xué)生錯(cuò)選為 B 和 D 兩項(xiàng)。在解答該題時(shí)，要求學(xué)生認(rèn)真回顧系統(tǒng)抽樣知識，進(jìn)行冷靜的分析，準(zhǔn)確的判斷。事實(shí)上，剔除 9 人時(shí)每個(gè)人被剔除的機(jī)會(huì)是相等的，因此每個(gè)人被抽到需要經(jīng)過 2 個(gè)環(huán)節(jié)，第 1 個(gè)環(huán)節(jié)并保證不被剔除。第 2 個(gè)環(huán)節(jié)是能夠被選中。顯然兩個(gè)環(huán)節(jié)是相互獨(dú)立的，因此每個(gè)人入選的機(jī)會(huì)是相等的，為 ，正確選項(xiàng)為 A。結(jié)合該問題情境，要求學(xué)生回顧教材中有關(guān)系統(tǒng)抽樣的知識點(diǎn)，進(jìn)一步加深學(xué)生對系統(tǒng)抽樣的認(rèn)識，為其以后應(yīng)用系統(tǒng)抽樣的知識帶來良好啟發(fā)。

四、加強(qiáng)應(yīng)用訓(xùn)練，積累應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)

為使學(xué)生積累更多概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，掌握相關(guān)的應(yīng)用技巧，真正做到以不變應(yīng)萬變，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際，積極組織學(xué)生開展相關(guān)的訓(xùn)練活動(dòng)。為保證獲得良好的訓(xùn)練效果，教師一方面要做好近年來高考試卷的分析，把握概率與統(tǒng)計(jì)考查的知識點(diǎn)，并對試題分類，制定詳細(xì)的訓(xùn)練計(jì)劃，按照試題類型逐一進(jìn)行訓(xùn)練。通過訓(xùn)練使學(xué)生掌握高考中概率與統(tǒng)計(jì)的?？碱}型，并通過認(rèn)真解答，積累概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)。另一方面，為提高訓(xùn)練效果，教師可要求學(xué)生建立專門的錯(cuò)題本，專門摘抄在訓(xùn)練中解答出錯(cuò)的試題。在錯(cuò)題本中不僅要詳細(xì)地寫出正確的解答過程，更要詳細(xì)地記錄自己的解題心得、解題思路與解題技巧等，尤其通過定期進(jìn)行錯(cuò)題重做，切實(shí)掌握相關(guān)的解題技巧。

通過對高考試題分析不難發(fā)現(xiàn)，直方圖、莖葉圖、離散型隨機(jī)變量及其分布列等是常考點(diǎn)，因此，為使學(xué)生積累相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，筆者在授課中為學(xué)生創(chuàng)設(shè)以下問題，對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練：

某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學(xué)在連續(xù) 8 次的數(shù)學(xué)周練中，統(tǒng)計(jì)解答題失分的莖葉圖如下圖所示：

（1）請結(jié)合平均數(shù)以及方差知識，分析哪位同學(xué)解題較為穩(wěn)定？

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，將失分超過 15 分的頻率作為概率。周練中兩名學(xué)生失分互不影響。則在以后的兩次周練中，預(yù)測其失分均超過 15 分的次數(shù) X 的分布列與均值。

該題目立足莖葉圖考查學(xué)生統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用情況。解題的關(guān)鍵在于能夠讀懂莖葉圖。對于問題（1），由莖葉圖不難看出，甲同學(xué)的失分?jǐn)?shù)分別為 7，9，11，13，13，16，23，28;乙同學(xué)的失分?jǐn)?shù)分別為 7，8，10，15，17，19，21，23。不難求出兩位同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)均為 15。分別代入方差計(jì)算公式可求得 S甲2=44.75，S乙2=32.25。因?yàn)?S甲2>S乙2，因此，乙同學(xué)解題相對穩(wěn)定。對于問題（2），由問題（1）可知，甲乙兩位同學(xué)失分超過 15 的概率分別為 P1=，P2=，兩人失分?jǐn)?shù)均超過 15 的概率為 P1P2=。則 X 的所有可能取值為 0，1，2，X～B（2，），P（x～k）=

C2k（）k（）2-k，k=0，1，2，則 X 的分布列為：

X 0 1 2

P

則 X 的均值 E（X）=×2=。通過上述問題的訓(xùn)練，學(xué)生不僅鍛煉了應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識分析數(shù)學(xué)問題的能力，也積累了相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)。

五、鼓勵(lì)應(yīng)用總結(jié)，提升應(yīng)用能力

為更好地提高學(xué)生應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)解題的能力，教師在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生做好總結(jié)，一方面，通過總結(jié)學(xué)生能認(rèn)識到相關(guān)試題常設(shè)置的“陷阱”，在以后的解題中能夠繞開這些“陷阱”。另一方面，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)不同題型高效的解題方法，還能給以后的解題帶來良好指引。學(xué)生養(yǎng)成經(jīng)常總結(jié)的良好習(xí)慣，不僅有利于構(gòu)建系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，在解題中做好題型以及解題方法的總結(jié)，遇到熟悉的題目能夠快速找到正確的解題思路。在課堂上教師要給學(xué)生提供總結(jié)、交流的機(jī)會(huì)，通過交流使學(xué)生糾正對概率與統(tǒng)計(jì)認(rèn)識的誤區(qū)。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極與其他同學(xué)分享概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用技巧，并抱著虛心學(xué)習(xí)的態(tài)度，注重借鑒他人的解題經(jīng)驗(yàn)，不斷提升概率統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用能力。

筆者在講解統(tǒng)計(jì)知識時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解答應(yīng)以下試題時(shí)出錯(cuò)率較高：

小明準(zhǔn)備利用周末去當(dāng)?shù)氐木包c(diǎn)游覽，其去 A，B，C 三個(gè)景點(diǎn)的概率分別為 0.4，0.5，0.6。去哪個(gè)景點(diǎn)游覽互不影響。用 =3 表示游覽的和未游覽景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值。（1）求? 的分布與數(shù)學(xué)期望。（2）若函數(shù) f（x）=x2-3x+1 在[2，+∞）上單調(diào)遞增為事件 A，求 A 的概率。

授課中要給學(xué)生留下一定的時(shí)間，要求學(xué)生總結(jié)自己的錯(cuò)誤，并相互交流討論，分析錯(cuò)誤原因。經(jīng)過分析與討論，學(xué)生得出 =3 表示的事件為兩個(gè)互斥事件，但部分學(xué)生錯(cuò)誤地理解為一個(gè)事件。學(xué)生找到錯(cuò)誤之后立即改正，重新作答，最終大多數(shù)學(xué)生都得出了正確結(jié)果。通過鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)交流，使學(xué)生認(rèn)識到應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)解題時(shí)，應(yīng)明確隨機(jī)變量的取值對應(yīng)哪些事件，避免張冠李戴，才能更好地提高應(yīng)用能力。

在“概率與統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)中不僅要傳授概率統(tǒng)計(jì)知識，更要注重概率統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用講解，因此應(yīng)做好教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，尋找高效的應(yīng)用教學(xué)策略，使學(xué)生扎實(shí)掌握概率統(tǒng)計(jì)知識的同時(shí)，不斷提高應(yīng)用水平與應(yīng)用能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王志衛(wèi).新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)方法研究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2018（8）.

[2]陸秀良.高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2019（9）.

（責(zé)編 馬群耀）