解析幾何教學(xué)內(nèi)容的相對(duì)獨(dú)立性以及與其他課程的融合性初探

范曉冬 紀(jì)思南

摘? ?要：目前本科數(shù)學(xué)專業(yè)的解析幾何課程教學(xué)內(nèi)容基本上沿用我國(guó)二十世紀(jì)七八十年代出版的教材內(nèi)容。近年來(lái)，在教學(xué)實(shí)踐中，教學(xué)內(nèi)容陳舊已經(jīng)成為影響教學(xué)質(zhì)量的嚴(yán)重問(wèn)題。以往的教學(xué)內(nèi)容，只注重解析幾何課程本身，而忽略了其與其他課程的融合性和貫通性?？偨Y(jié)近幾年的解析幾何教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，文章對(duì)教學(xué)內(nèi)容做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，刪減了與其他課程的重復(fù)內(nèi)容，增加了與其他課程融合的知識(shí)點(diǎn)，并在教學(xué)方法和教學(xué)手段方面做了相應(yīng)的改革，取得了良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：解析幾何;教學(xué)內(nèi)容;獨(dú)立性;融合性

解析幾何、數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)一起構(gòu)成大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)核心課程。該課程的思想方法在研究數(shù)學(xué)及其他自然科學(xué)時(shí)具有方法論的作用。學(xué)習(xí)解析幾何是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析、高等幾何、微分幾何及拓?fù)鋵W(xué)等課程的基礎(chǔ)，也是對(duì)中學(xué)幾何知識(shí)的深入與提升，其重要性不言而喻。然而，解析幾何課程教學(xué)內(nèi)容較為陳舊，多數(shù)教材只是知識(shí)點(diǎn)的羅列，只注重課程內(nèi)部的獨(dú)立性，而忽略了知識(shí)點(diǎn)的歷史背景以及與其他課程的融合性，與前瞻和后續(xù)課程在內(nèi)容上銜接不夠緊密。且其對(duì)高等幾何和微分幾何課程的支撐作用發(fā)揮得不夠順暢。因此，在教學(xué)上不可避免地只集中具體的知識(shí)點(diǎn)講解，并未兼顧與其他課程在思想和方法上的聯(lián)系，不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通?；诖耍虒W(xué)方法僅限于機(jī)械地“填鴨”，致使學(xué)生感覺(jué)學(xué)習(xí)比較枯燥，從而喪失學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致教學(xué)效果下降。此外，目前多數(shù)高校在研究生初試考試中僅考察數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)兩門課程，而解析幾何在復(fù)試中進(jìn)行，這也在一定程度上反映了上述問(wèn)題的嚴(yán)重性。因此，研究團(tuán)隊(duì)主張?jiān)诮虒W(xué)內(nèi)容上加入知識(shí)點(diǎn)的人文背景，講授定義、定理的來(lái)龍去脈。同時(shí)去除一些主要定理的推論和變形，以精煉教學(xué)內(nèi)容。其主要的指導(dǎo)思想是不追求知識(shí)的寬度，而是加強(qiáng)重要知識(shí)點(diǎn)精講。

1? ? 教學(xué)內(nèi)容的融合性

1.1? 知識(shí)點(diǎn)的融合性

高等代數(shù)的方法為學(xué)習(xí)解析幾何提供了強(qiáng)有力的工具，因此，確定解析幾何的獨(dú)立性，需要從幾何體系的整體性、連續(xù)性以及從服務(wù)于基礎(chǔ)教學(xué)的實(shí)際出發(fā)，將高等代數(shù)與解析幾何同時(shí)進(jìn)行探究處理。通過(guò)用近現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)語(yǔ)言，而不是以傳統(tǒng)的幾何學(xué)來(lái)審視現(xiàn)代的幾何學(xué)，從而為處理幾何內(nèi)容提供有力的工具。在探究解析幾何時(shí)，需側(cè)重解析幾何與經(jīng)典幾何、線性代數(shù)的有機(jī)結(jié)合和相互滲透[1]。通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)內(nèi)容的精煉、融合和體會(huì)，增強(qiáng)同線性代數(shù)實(shí)質(zhì)內(nèi)容和形式的密切聯(lián)系。因此，在講授解析幾何時(shí)，在應(yīng)用代數(shù)工具的同時(shí)，要注重幾何為代數(shù)提供的直觀詮釋。

1.2? 教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法的融合性

在學(xué)習(xí)中需要不斷更新知識(shí)，既要掌握現(xiàn)有知識(shí)，又要掌握其發(fā)展規(guī)律，在此形勢(shì)下，體現(xiàn)出了教學(xué)改革的緊迫性。以改革教學(xué)的內(nèi)容和方法為起始點(diǎn)，進(jìn)而逐步進(jìn)行全面的教學(xué)改革。改革最為重要的部分是教學(xué)內(nèi)容，因?yàn)槠涫墙虒W(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，教學(xué)活動(dòng)的目的就是將教學(xué)內(nèi)容傳授給學(xué)生。如何將知識(shí)點(diǎn)精煉，使講解深入淺出是教學(xué)方法改革核心。力爭(zhēng)做到教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法互相滲透、相得益彰，解析幾何課程改革是一項(xiàng)系統(tǒng)的任務(wù)。

1.3? 基本思想和方法的融合性

解析幾何的基本思想決定了其基本研究方法。在教學(xué)中，應(yīng)注重基本思想和方法的相互促進(jìn)作用。例如，由解析幾何直觀問(wèn)題到代數(shù)化，從而轉(zhuǎn)到代數(shù)形式，通過(guò)代數(shù)計(jì)算，得到代數(shù)結(jié)果，再由代數(shù)方程到解析幾何直觀圖形的研究方法等[2]。若要合理地統(tǒng)籌解析幾何各章節(jié)的內(nèi)容，就要領(lǐng)會(huì)這些思想和方法，抓住改革的關(guān)鍵。

2? ? 在幾何學(xué)科背景下推進(jìn)教學(xué)內(nèi)容改革

2.1? 結(jié)合后續(xù)幾何課程確定教學(xué)內(nèi)容

在教學(xué)實(shí)踐中，不再像以前那樣獨(dú)立地看待解析幾何這門課程。解析幾何歷來(lái)強(qiáng)調(diào)兩個(gè)功能：作為初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過(guò)渡的橋梁及代數(shù)與幾何綜合性的橋梁學(xué)科?；诖耍m各有差異，但本質(zhì)不變。首先，從中學(xué)階段的幾何教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，保證解析幾何課程的內(nèi)容和中學(xué)幾何教學(xué)內(nèi)容的連貫性。其次，從高等數(shù)學(xué)教育出發(fā)，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)能夠培養(yǎng)高校學(xué)生系統(tǒng)的空間幾何概念、提高學(xué)生的空間想象能力、促進(jìn)學(xué)生掌握系統(tǒng)的幾何理論，以此才能夠提高學(xué)生的幾何修養(yǎng)。研究團(tuán)隊(duì)認(rèn)真研究了解析幾何、高等幾何、微分幾何等幾何課程的教學(xué)內(nèi)容，將其整合、呼應(yīng)和優(yōu)化，從而比較系統(tǒng)地界定了解析幾何課程的內(nèi)容[3]。同時(shí)增加幾何概論課程相關(guān)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生對(duì)現(xiàn)代幾何學(xué)概貌性了解。教學(xué)內(nèi)容的指定務(wù)必注重學(xué)生實(shí)際情況的分析，從實(shí)際情況出發(fā)，制定貼合實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容，保證教學(xué)內(nèi)容引起學(xué)生興趣。例如，討論歐氏幾何與仿射幾何、射影幾何的區(qū)別、聯(lián)系和傳承等內(nèi)容。

2.2? 對(duì)研究方法相同的內(nèi)容優(yōu)化整合

教學(xué)的目的在于傳授解決問(wèn)題的方法。對(duì)研究方法相同的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行大幅度的刪減，選取具有代表性的且能體現(xiàn)基本方法的經(jīng)典知識(shí)點(diǎn)予以保留，并增加該知識(shí)點(diǎn)的人文背景，以加深學(xué)生對(duì)其的理解，例如，在二次曲面的教學(xué)中，對(duì)柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)容精煉。旋轉(zhuǎn)曲面與柱面錐面產(chǎn)生曲面的方法相同，從而研究方法也近似。教學(xué)內(nèi)容整合，有利于集中教學(xué)精力重點(diǎn)傳授思想和方法，提高教學(xué)效率[4]。

2.3? 系統(tǒng)精煉知識(shí)點(diǎn)

教師在備課過(guò)程中不能拘泥于教材，更不能全部照搬教材的說(shuō)法，因?yàn)橛行┢矫娼馕鰩缀蔚膬?nèi)容可以挖掘更深，部分解法還可以更簡(jiǎn)易。例如二次曲線理論中的中心、切線、漸近線等知識(shí)都在處理以上說(shuō)法。不僅要?jiǎng)h減重復(fù)的內(nèi)容，而且要合理設(shè)計(jì)，盡量采用高等幾何的觀點(diǎn)。實(shí)際教學(xué)中著重研究了內(nèi)容的整合，淡化了復(fù)雜的討論過(guò)程，尋求更簡(jiǎn)潔的思路來(lái)處理教材。

2.4? 關(guān)聯(lián)矢量知識(shí)點(diǎn)

解析幾何的精髓是用代數(shù)方法把幾何問(wèn)題定量化，也就是從形到數(shù)的一個(gè)統(tǒng)一，這其中要使用的重要工具就是矢量，因此矢量代數(shù)的引入和坐標(biāo)的建立必不可少，所以在處理教材時(shí)應(yīng)把矢量和坐標(biāo)作為全書(shū)的工具和基礎(chǔ)，要求精講、細(xì)講和重點(diǎn)講[5]。

3? ? 貫徹系統(tǒng)性思想進(jìn)行教學(xué)方法改革

3.1? 啟發(fā)思維教學(xué)法

啟發(fā)式教學(xué)法是在授課時(shí)給學(xué)生一定的想象空間，讓其帶著問(wèn)題思考，挑戰(zhàn)其思維底線。這種方法在分析和解決問(wèn)題的同時(shí)，能夠提升學(xué)生的創(chuàng)造力。教學(xué)內(nèi)容上可以選取研究方法相同或數(shù)學(xué)思想相同的內(nèi)容，先全面細(xì)致地講解主要知識(shí)點(diǎn)，然后采用啟發(fā)法，將剩余內(nèi)容交給學(xué)生在適當(dāng)時(shí)間探討，讓學(xué)生自主完成知識(shí)建構(gòu)[6]。

3.2? 自我創(chuàng)新教學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生采用創(chuàng)新式方法去學(xué)習(xí)各種知識(shí)，以學(xué)生為主體，鼓勵(lì)其主動(dòng)探究知識(shí)，形成自我認(rèn)知體系，并能夠在深入理解的基礎(chǔ)上形成自己的認(rèn)識(shí)和創(chuàng)新結(jié)構(gòu)。在教學(xué)過(guò)程中，教師要注重基本方法和數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵的滲透，引導(dǎo)學(xué)生自我創(chuàng)新學(xué)習(xí)[7]。

3.3? 圍繞問(wèn)題趣味性教學(xué)法

教學(xué)過(guò)程中緊緊圍繞學(xué)生興趣點(diǎn)展開(kāi)，提出諸多有探索性、動(dòng)手操作性強(qiáng)、能夠激發(fā)學(xué)習(xí)熱情的幾何問(wèn)題，使學(xué)生通過(guò)自我認(rèn)知來(lái)感受數(shù)學(xué)的美。在課堂實(shí)踐中，鼓勵(lì)學(xué)生多做、多想，將理論與圖形擬合在一起，培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的獨(dú)立自主能力[8]。在自主探究問(wèn)題時(shí)，教師適當(dāng)插入相關(guān)的數(shù)學(xué)典故和歷史，并恰當(dāng)講授相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，讓學(xué)生了解所授知識(shí)的“來(lái)龍去脈”，緩解學(xué)生壓力，開(kāi)闊其眼界，激發(fā)學(xué)生的求知欲、探索精神和學(xué)習(xí)幾何的興趣，使學(xué)生自主地提出問(wèn)題、探究問(wèn)題并解決問(wèn)題，以使學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)不斷升華。

3.4? 探究與理解相結(jié)合教學(xué)法

對(duì)于教師的授課內(nèi)容，學(xué)生習(xí)慣于理解和接受的學(xué)習(xí)方式，即在新知識(shí)與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間建立起一種非人為的、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。而探究式是從數(shù)學(xué)問(wèn)題或數(shù)學(xué)課題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)去思考問(wèn)題的解決方案，不一定要求結(jié)果正確，主要目的是要突出學(xué)習(xí)過(guò)程[9]。布魯納說(shuō)過(guò)，知識(shí)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)的是過(guò)程而非結(jié)果。故此，探究式學(xué)習(xí)法必須以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握為前提，將接受式學(xué)習(xí)和探究式學(xué)習(xí)結(jié)合，二者應(yīng)該優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，不可偏廢。開(kāi)展研究性教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)造探究的環(huán)境，培養(yǎng)和增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)、提高整理信息和處理信息的能力，探索數(shù)學(xué)現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律等。

4? ? 滲透數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)手段改革

數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著積極的作用，將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)過(guò)程是本研究團(tuán)隊(duì)近年來(lái)研究的一個(gè)重要課題。數(shù)學(xué)史融入大學(xué)數(shù)學(xué)教育已有許多研究，但融入解析幾何的案例并不多，如何將之融入教學(xué)過(guò)程、如何具體實(shí)施，仍有很大的探討空間。教研組在授課中嘗試將數(shù)學(xué)家的名人趣事和數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)匹配交代給學(xué)生。比如講畢達(dá)哥拉斯時(shí)與勾股定理進(jìn)行聯(lián)系、講笛卡爾時(shí)密切關(guān)聯(lián)解析幾何的誕生、海倫對(duì)三角形面積公式的完善、伯努利兄弟如何提出最速下降線的故事等。充分應(yīng)用Maple，Matlab等數(shù)學(xué)與計(jì)算軟件建立幾何直觀圖形。圖形教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中是必不可少的，尤其在空間解析幾何的教學(xué)中，建立空間概念，研究各種空間曲面，建立各種方程都缺少不了圖形。為了引導(dǎo)學(xué)生自己編寫(xiě)簡(jiǎn)單的程序，來(lái)實(shí)現(xiàn)解析幾何問(wèn)題的自動(dòng)運(yùn)算，在相關(guān)教學(xué)內(nèi)容后，安排數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，以Maple軟件為基礎(chǔ)平臺(tái)，來(lái)完成幾何圖形的制作和演示[10]。自己繪制出幾何圖形，會(huì)激發(fā)學(xué)生的求知欲，既鍛煉了學(xué)生的實(shí)踐能力，又在一定程度上提高了教學(xué)效果。相比傳統(tǒng)的只用筆和紙來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的單調(diào)模式，動(dòng)手實(shí)踐學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的模式更生動(dòng)有趣。

5? ? 改革成效

充分考慮解析幾何教學(xué)內(nèi)容的相對(duì)獨(dú)立性以及與其他課程的連貫性、融合性，是研究團(tuán)隊(duì)在總結(jié)歷年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得到的一致共識(shí)。近年來(lái)，解析幾何教學(xué)內(nèi)容陳舊已經(jīng)成為一個(gè)突出的問(wèn)題。課程內(nèi)容改革以后，注重與其他課程的銜接與融合，剔除重復(fù)內(nèi)容，加強(qiáng)特色內(nèi)容的講解，突出了解析幾何課程的重點(diǎn)，又避免了多門課程重復(fù)同一個(gè)概念，在實(shí)質(zhì)上提高了教學(xué)效率。同時(shí)，在教學(xué)內(nèi)容上增加了與其他課程銜接的內(nèi)容，便于學(xué)生融會(huì)貫通，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。另外，對(duì)學(xué)生滲透數(shù)學(xué)史知識(shí)可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣，也促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握。在課堂教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，增加教學(xué)內(nèi)容直觀性的同時(shí)還可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。課堂上互動(dòng)的增加可以提升作業(yè)完成的質(zhì)量。數(shù)學(xué)軟件的操作可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、動(dòng)手能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。這些體現(xiàn)在課堂氣氛要比改革前活躍，同時(shí)考試成績(jī)平均分也提高了5個(gè)百分點(diǎn)。

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