關(guān)于二次曲線一般理論教學(xué)的思考

(嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 湛江524048)

0 前言

當(dāng)前，很多地方師范院校正在向應(yīng)用型高校轉(zhuǎn)型，在轉(zhuǎn)型的過程中，涉及多方面的改革，課程改革則是其中重要的環(huán)節(jié)。解析幾何是高師數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，隨著教學(xué)改革的深入，解析幾何課程也面臨著一些問題，其中最為突出的問題是課時(shí)量少，教學(xué)任務(wù)繁重。以筆者所在學(xué)校為例，目前解析幾何課程的課時(shí)量縮減為48課時(shí)，要用48課時(shí)完成解析幾何的教學(xué)任務(wù)，教學(xué)工作是比較繁重的。因此，在解析幾何的教學(xué)中，如何合理處理教材，精簡(jiǎn)教學(xué)內(nèi)容變得非常重要。

呂林根、許子道主編的《解析幾何》(第四版)[1]是師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)普遍采用的教材, 按教學(xué)計(jì)劃，教師一般會(huì)講授一至五章內(nèi)容，其中第五章主要研究二次曲線的一般理論，這部分內(nèi)容在解析幾何課程中占有很重要的地位，但是由于課時(shí)的關(guān)系，每次講到這里的時(shí)候，所剩的課時(shí)不多，因此如何用比較少的課時(shí)把這一部分內(nèi)容講清楚，是對(duì)教師的一個(gè)考驗(yàn)。文章主要以呂林根、許子道主編的《解析幾何》(第四版)[1]為例，結(jié)合本人在教學(xué)過程中的一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勅绾魏侠淼靥幚碓摻滩闹械牡谖逭聝?nèi)容，也即是二次曲線的一般理論。

1 刪除二次曲線切線及主直徑內(nèi)容

解析幾何二次曲線一般理論的主要內(nèi)容為二次曲線的化簡(jiǎn)與分類。在化簡(jiǎn)二次曲線方程時(shí)，教材共介紹了三種方法，分別為：1.利用移軸和轉(zhuǎn)軸化簡(jiǎn)二次曲線方法；2.利用主直徑化簡(jiǎn)二次曲線方法；3.利用不變量化簡(jiǎn)二次曲線方法。由于課時(shí)的關(guān)系，在教學(xué)過程中，這三種方法不可能全部介紹，需根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選講。對(duì)于方法1，由于該方法是化簡(jiǎn)二次曲線的基本方法，并且，該方法思想簡(jiǎn)單，學(xué)生容易接受，因此，方法1在教學(xué)過程中必須介紹。對(duì)于方法3，在已經(jīng)清楚二次曲線的分類之后，學(xué)生學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容也相對(duì)容易，教師組織教學(xué)也不會(huì)太難，花費(fèi)教學(xué)時(shí)間也不會(huì)太多，因此方法3也可以介紹。至于方法2，由于該方法的預(yù)備知識(shí)為直徑和主直徑，為了介紹該方法，還得花大量的時(shí)間去介紹直徑和主直徑的相關(guān)理論，因此，出于課時(shí)的考慮，可以不介紹方法2。在不介紹方法2的情況下，教材中介紹直徑和主直徑相關(guān)理論的第五章4、5節(jié)也就可以省略掉。至于二次曲線的切線，即本章的2節(jié)內(nèi)容，由于知識(shí)相對(duì)獨(dú)立，去掉這部分內(nèi)容，不會(huì)影響本章的完整性。因此，在課時(shí)緊張的情況下，可以把第五章的2、4、5節(jié)的內(nèi)容省略掉，既不影響內(nèi)容的完整性，也不影響核心內(nèi)容的教學(xué)，還可以大大節(jié)省教學(xué)時(shí)間，真正達(dá)到精講的效果。

2 重新證明簡(jiǎn)化公式

關(guān)于二次曲線的分類，其理論依據(jù)主要是教材[1]中的定理5.6.1,也即以下的定理3.1教材中的不變量方法，也是基于該定理進(jìn)行化簡(jiǎn)與分類。但是在教材[1]中，該定理的證明要利用到主直徑的相關(guān)理論，而上文已經(jīng)提到，如果課時(shí)緊張，可把直徑和主直徑相關(guān)理論砍掉，為了保證知識(shí)的連貫性，這樣就要求對(duì)教材[1]中的定理5.6.1給出一個(gè)不需主直徑相關(guān)理論的證明方法。本節(jié)主要介紹如何利用移軸、轉(zhuǎn)軸和配方的方法證明以下定理3.1。

定理3.1[1]適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲線的方程總可以化成下列三個(gè)簡(jiǎn)化方程中的一個(gè)：

(1)ɑ11x2+ɑ22y2+ɑ33=0，ɑ11ɑ22≠0；

(2)ɑ22y2+2ɑ13x=0，ɑ22ɑ13≠0；

(3)ɑ22y2+ɑ33=0，ɑ22≠0．

證明：設(shè)二次曲線方程C為

ɑ11x2+2ɑ12xy+ɑ22y2+2ɑ13x+2ɑ23y+ɑ33=0

則在轉(zhuǎn)軸公式

(3.1)

下，二次曲線C的新方程為

其中，

(3.2)

因?yàn)橛嗲兄悼梢匀〉饺我鈱?shí)數(shù)，所以總有滿足上面的條件, 也就是說，總可以通過適當(dāng)轉(zhuǎn)軸消去方程中的交叉項(xiàng)xy，即二次曲線方程C總可以通過轉(zhuǎn)軸化為以下方程

(3.3)

對(duì)于方程 (3.3)，通過移軸，可以對(duì)其進(jìn)一步化簡(jiǎn)．如果C為中心二次曲線，設(shè) (x0,y0)為二次曲線的中心，作移軸變換

(3.4)

則在新坐標(biāo)系下，原方程可化為以下的簡(jiǎn)化形式

(3.5)

上式左端關(guān)于y′配方可得

(3.6)

則(3.6)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到

(3.7)

(3.8)

去掉(3.5)，(3.7)，(3.8)的撇號(hào)，可得到定理3.1的結(jié)論。

從以上的證明可以看出，不借助主直徑相關(guān)理論方法，也是可以得到二次曲線方程的分類定理。從這角度來看，在教學(xué)中去掉直徑和主直徑的教學(xué)內(nèi)容，是不會(huì)影響到本章系統(tǒng)的完整性的。因此本文所介紹的教材處理方法是可行的。

定理3.1的證明過程也即是利用移軸和轉(zhuǎn)軸化簡(jiǎn)二次曲線的過程，該過程的要點(diǎn)為： 1) 首先利用轉(zhuǎn)軸消去交叉項(xiàng)xy；2)然后通過配方得到移軸公式，從而化方程為最簡(jiǎn)。利用以上化簡(jiǎn)過程，任何的二次曲線方程都可以化為最簡(jiǎn)。下面通過例子介紹該過程。

例3.1：化簡(jiǎn)二次曲線方程

x2+2xy+y2+2x+y=0

解：此方程含有交叉項(xiàng)，按照定理3。1證明的方法，可以先轉(zhuǎn)軸消去交叉項(xiàng)xy。為此，可設(shè)旋轉(zhuǎn)角為ɑ，由(3.2)，可得

cot2ɑ=0 ，

把上式代入原方程化簡(jiǎn)整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為

對(duì)上式配方整理得

(3.9)

根據(jù)(3.4)，可得移軸公式

事實(shí)上，如果二次曲線是中心二次曲線，借助二次曲線的中心，也可以先移軸，再轉(zhuǎn)軸。

例子3.2 化簡(jiǎn)二次曲線方程

x2-xy+y2+2x-4y=0

x′2-x′y′+y′2-4=0

(3.10)

為了消去(3.10)的交叉項(xiàng)，根據(jù)(3.2)，我可得

cot2 ɑ=0 ，

代入(3.10)，可得簡(jiǎn)化公式為

x′′2+3y′′2-8=0

注： 例子3.2的解法是先移軸，再轉(zhuǎn)軸，其基本思想是：首先平移坐標(biāo)系使得坐標(biāo)原點(diǎn)與二次曲線的中心重合，從而消去一次項(xiàng)及，然后，再通過轉(zhuǎn)軸，消去交叉項(xiàng)，從而化二次曲線為最簡(jiǎn)。但該方法有局限性，如果二次曲線為非中心二次曲線，若先移軸，就比較困難建立移軸公式，此種情況就得先轉(zhuǎn)軸，再移軸。

3 小結(jié)

二次曲線的一般理論是解析幾何課程中的一個(gè)重要的內(nèi)容，但是由于課時(shí)的關(guān)系，教師在講授本部分內(nèi)容時(shí)不可能面面俱到，因此在不改變內(nèi)容完整性的基礎(chǔ)上對(duì)本部分內(nèi)容進(jìn)行重新調(diào)整很有必要。對(duì)于教材[1]第五章(二次曲線的一般理論)的教學(xué)，如果不介紹利用主直徑方法化簡(jiǎn)二次曲線，同時(shí)對(duì)教材定理5.6.1的證明作適當(dāng)?shù)奶幚?，則去掉5.2節(jié)(二次曲線的切線)、5.4節(jié)(二次曲線的直徑)和5.5節(jié)(二次曲線的主直徑與主方向)的內(nèi)容是完全可以的，這樣的處理也不會(huì)影響知識(shí)的完整性。事實(shí)上，通過對(duì)教材[1]作這樣的處理后，學(xué)生對(duì)這章的學(xué)習(xí)變得輕松，教師的教學(xué)也變得從容，從而克服課時(shí)減少帶來的種種弊端。