基于藤Copula-SV模型的金融資產(chǎn)間相關(guān)性研究

張轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)， 盧俊香,2

(1西安工程大學(xué)理學(xué)院， 西安 710048；2西安理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 西安 710048)

引 言

經(jīng)濟(jì)全球化使得全球金融市場間的聯(lián)系更加密切，使得各國資本可以在全球范圍內(nèi)自由流動，這意味著世界上某一金融市場的波動都有可能會波及、傳染甚至放大到其它金融市場。因此，如何刻畫金融市場間的波動相依關(guān)系成為日益受到重視的問題。

對于單個(gè)資產(chǎn)分布的擬合，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要采用GARCH族模型或者隨機(jī)波動模型(Stochastic Volatility，SV)。GARCH族模型具有參數(shù)估計(jì)簡單實(shí)現(xiàn)，且波動率的預(yù)測十分方便等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際中應(yīng)用廣泛。然而，Andresson等人的研究表明GARCH族模型對金融時(shí)間序列尖峰厚尾、杠桿效應(yīng)等非線性特征的刻畫欠精確[1]。SV族模型假定波動是不可觀察的隨機(jī)過程，能更好地?cái)M合實(shí)際波動過程，但是SV模型的參數(shù)估計(jì)較為困難。Durbin和Koopman提出能有效估計(jì)SV模型的馬爾科夫鏈蒙特卡洛模擬方法(MCMC)，極大地促進(jìn)了SV模型的應(yīng)用[2]。SV模型和GARCH模型相比，SV模型能更好地描述金融資產(chǎn)時(shí)間序列的波動異方差性[3-4]。戰(zhàn)雪麗、張世英(2007)[5]，李金棟等(2015)[6]通過實(shí)證分析基于Copula-SV模型的金融投資組合，結(jié)果表明邊緣分布的選擇對變量的聯(lián)合分布具有重要作用，并認(rèn)為Copula-SV模型比Copula-GARCH模型在刻畫投資組合風(fēng)險(xiǎn)方面具有優(yōu)越性。周鑫、劉瓊蓀(2010)[7]的研究表明邊緣分布和相關(guān)性的選擇共同影響聯(lián)合分布，并且Gumbel-Copula-SV-GED模型在計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)VaR值方面效果更好。周孝華、張保帥、董耀武(2012)[8]的研究表明基于Copula-SV-GPD模型的多元投資組合對風(fēng)險(xiǎn)測度能力更強(qiáng)，能有效管理投資風(fēng)險(xiǎn)。胡四修(2012)[9]應(yīng)用基于Gibbs抽樣的蒙特卡洛(MC)方法對SV的各類拓展模型進(jìn)行模擬仿真，并對比分析。王堯男(2018)[10]選用Vine Copula-SV-t模型刻畫金融行業(yè)間的相依結(jié)構(gòu)，以期更加準(zhǔn)確地測度我國各金融行業(yè)間的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)溢出效應(yīng)。張學(xué)功等(2019)[11]將SV-t模型和Pair-Copula分解相結(jié)合，創(chuàng)造性地提出Pair Copula-SV-t模型來度量金融資產(chǎn)間的相關(guān)性。孟慶斌、宋烜、宋祉健(2019)[12]構(gòu)建SV-N-CVaR模型，通過實(shí)證分析得到SV-T模型模擬效果優(yōu)于SV-N模型。

然而，用SV模型擬合邊緣分布進(jìn)行相關(guān)性分析時(shí)，研究的大多是多個(gè)變量進(jìn)行兩兩組合后的相關(guān)性，尚缺乏基于藤結(jié)構(gòu)進(jìn)行多變量間相關(guān)性研究。因此，本文利用SV-N(1)模型和SV-t(1)模型擬合金融資產(chǎn)的分布，并選取基于C藤和D藤下的Pair-Copula對多金融市場間的相依性進(jìn)行分析。

1 模型構(gòu)建

1.1 邊緣分布模型構(gòu)建

1.1.1 SV族模型構(gòu)建

SV模型最早由Taylor(1986)提出，1994年由Harvey，Jacquier等人引入經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域?？紤]到金融時(shí)間序列的厚尾現(xiàn)象，本文選擇厚尾SV模型中正態(tài)SV模型和SV-t模型來構(gòu)建邊緣分布模型。

SV-N(1)模型：

SV-t(1)模型為:

1.1.2 MCMC參數(shù)估計(jì)

MCMC法[14]的思路是通過構(gòu)造一個(gè)具有平穩(wěn)分布密度函數(shù)的馬爾可夫鏈，得到該密度函數(shù)的抽樣，然后基于這些抽樣做出各種推理判斷。抽樣的方法有Gibbs抽樣和Metropolis-Hastings抽樣等，其中Gibbs抽樣是最簡單、最直觀、應(yīng)用最為廣泛的抽樣方法。

1.2 藤Copula函數(shù)

1.2.1 Pair Copula分解

Aas等(2009)的研究表明，對n維隨機(jī)變量向量X=(x1,x2,…,xn)，其聯(lián)合密度函數(shù)按條件密度函數(shù)理論可以寫成：

f(x1,x2,…,xn)=fn(xn)·f(xn-1|xn)·

f(xn-2|xn-1,xn)…f(x1|x2,…,xn)

由Sklar定理知，任何一個(gè)具有邊緣分布函數(shù)F1(x1),…,Fn(xn)的多元變量聯(lián)合分布函數(shù)都存在一個(gè)Copula函數(shù)，使得F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),…,Fn(xn))，因此多變量聯(lián)合密度函數(shù)可以寫為：

f(x1,x2,…,xn)=c(F1(x1),…,Fn(xn))·

f1(x1)…fn(xn),

c(F1(x1),…,Fn(xn))為Copula密度函數(shù)。

任何一個(gè)條件密度函數(shù)都可以分解為如下形式：

f(x|v)=cxvj|v-j(F(x|v-j),F(vj|v-j))·f(x|v-j)

vj表示n維向量v中的一個(gè)分量，v-j表示向量v中的除去vj后的n-1維分量。

在以上表達(dá)式中的每個(gè)密度函數(shù)cxvj|v-j(·,·)稱為Pair-Copula密度函數(shù)，它包含一對條件分布函數(shù)F(x|v)，且

其中，Cij|k(·,·)是二元Copula函數(shù)[15-16]。

1.2.2 藤結(jié)構(gòu)

1.2.3 藤結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)順序的構(gòu)造

觀察藤結(jié)構(gòu)，若每層樹的節(jié)點(diǎn)順序不同，則多元概率密度的分解形式就明顯不同。對于C-Vine Copula模型的節(jié)點(diǎn)順序構(gòu)造采取基于變量相關(guān)性強(qiáng)弱的排序方法，即求與每個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的Kendell秩相關(guān)系數(shù)之和，按從大到小順序排列確定節(jié)點(diǎn)位置。對于D-Vine Copula模型節(jié)點(diǎn)的順序，可以根據(jù)節(jié)點(diǎn)間的權(quán)重，進(jìn)一步找到最短的漢密爾頓路徑(Shortest Hamiltonian Path，SHP)，從而確定節(jié)點(diǎn)順序[17]。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)選取與處理

選取從2011年11月1日到2018年12月20日五個(gè)股指，即標(biāo)普500指數(shù)(B500)，道瓊斯工業(yè)指數(shù)(DQS)，恒生指數(shù)(HS)，日經(jīng)225指數(shù)(R225)，滬深300指數(shù)(H300)的收盤價(jià) (數(shù)據(jù)來源于網(wǎng)易財(cái)經(jīng)個(gè)股行情)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，刪除交易日互相不重疊的部分得到1487組數(shù)據(jù)，根據(jù)對數(shù)收益率的計(jì)算公式rt=100×ln(Pt/Pt-1)計(jì)算五個(gè)股指的收益率序列。

2.2 統(tǒng)計(jì)性描述

對各股指的收益率序列進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果見表1。從均值看，這五支股票皆呈現(xiàn)正的日對數(shù)收益率，且日經(jīng)225的日收益率最大。從方差看，這五支股票皆呈現(xiàn)出一定的波動性。從偏度值看，這五支股票的日對數(shù)收益率呈現(xiàn)正偏與負(fù)偏的不對稱性。從峰度看，各股票的日對數(shù)收益率呈現(xiàn)尖峰特征，且滬深300指數(shù)的峰度最大。

表1 收益率數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)分析

進(jìn)一步對收益率數(shù)據(jù)做QQ圖進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，結(jié)果如圖1(a)～(e)所示，顯然這五支股票數(shù)據(jù)均不服從正態(tài)分布。

同時(shí)，圖2(a)～(e)揭示股指收益率序列具有明顯的波動聚集性和異方差性。

圖1 各股指的收益率QQ圖

圖2 各股指的收益波動狀況

2.3 邊緣分布建模及參數(shù)估計(jì)

本文選取SV-N(1)模型和SV-t(1)模型對收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，用MCMC方法對各參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表2。

表2 參數(shù)估計(jì)

2.4 Copula模型構(gòu)建

計(jì)算股指市場間的秩相關(guān)系數(shù)確定C藤結(jié)構(gòu)中各結(jié)點(diǎn)代表的股指類型，結(jié)果見表3。

表3 相關(guān)系數(shù)矩陣

由C藤節(jié)點(diǎn)構(gòu)造原則知，C藤結(jié)構(gòu)中結(jié)點(diǎn)1代表恒生指數(shù)(HS)，結(jié)點(diǎn)2代表道滬深300指數(shù)(H300)，結(jié)點(diǎn)3代表標(biāo)普500指數(shù)(B500)，結(jié)點(diǎn)4代表道瓊斯指數(shù)(DQS)，結(jié)點(diǎn)5代表日經(jīng)225指數(shù)(R225)。

由漢密爾頓最短路徑可知，在D藤結(jié)構(gòu)中，結(jié)點(diǎn)1代表滬深300指數(shù)(H300)，結(jié)點(diǎn)2代表道瓊斯指數(shù)(DQS)，結(jié)點(diǎn)3代表恒生日經(jīng)225(R225)，結(jié)點(diǎn)4代表恒生指數(shù)(HS)，結(jié)點(diǎn)5代表標(biāo)普500指數(shù)(B500)。

在此基礎(chǔ)上，基于C藤和D藤結(jié)構(gòu)構(gòu)建相依模型，在藤結(jié)構(gòu)下構(gòu)建Clayton pair-copula、t pair-copula、SJC pair-copula模型，利用IFM進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，結(jié)果見表4和表5。其中，t pair-copula代表對稱相依結(jié)構(gòu)的Copula類型，Clayton pair-copula代表非對稱相依結(jié)構(gòu)的Copula類型，SJC pair-copula代表適應(yīng)性相依結(jié)構(gòu)的Copula類型。

表4 C藤參數(shù)估計(jì)

注: AIC、BIC表示模型估計(jì)的信息準(zhǔn)則值; LL為Log-likelihood函數(shù)值。

表5 D藤參數(shù)估計(jì)

注: AIC、BIC表示模型估計(jì)的信息準(zhǔn)則值; LL為Log-likelihood函數(shù)值。

根據(jù)AIC和BIC準(zhǔn)則知，AIC和BIC的值越小，模型的擬合效果越好。由表4及表5可以看出，SV-N(1)模型下基于D藤的t pair-copula的AIC值與BIC值均小于其他模型下的AIC值與BIC值，且在同一類型的pair-copula模型下，SV-N(1)模型的AIC值與BIC值均小于SV-t(1)模型的AIC值與BIC值，故SV-N(1)模型下基于D藤的t pair-copula擬合優(yōu)度相對較好，并且相同pair-copula模型下SV-N(1)模型的擬合效果優(yōu)于SV-t(1)模型。說明五個(gè)股指間都存在尾部對稱的相依性，并且恒生在市場中占主導(dǎo)地位。對二元t-copula而言，恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)、滬深300指數(shù)的自由度都較低，說明其收益率序列出現(xiàn)大幅度波動的可能性較大。對條件t-copula而言，各樣本間的自由度都較大，說明在某一收益率序列確定的條件下，樣本收益率出現(xiàn)大幅度波動的可能性較小。

3 結(jié)束語

本文選取SV-N(1)模型和SV-t(1)模型構(gòu)建邊緣分布對所取數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，用MCMC方法對各參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在構(gòu)造Copula模型時(shí)，選取Clayton pair-copula、t pair-copula和SJC pair-copula模型并分別基于C藤和D藤對多市場進(jìn)行分析，選取最優(yōu)的模型描述所要研究的金融資產(chǎn)間的相依結(jié)構(gòu)。實(shí)證結(jié)果表明，SV-N(1)模型下基于D藤的t pair-copula能較好地?cái)M合所分析的指數(shù)的相依結(jié)構(gòu)；標(biāo)普500指數(shù)與道瓊斯指數(shù)、日經(jīng)225指數(shù)的相依關(guān)系較強(qiáng)，與恒生指數(shù)、滬深300指數(shù)的相依關(guān)系較弱。本文結(jié)論不僅有助于投資者認(rèn)識風(fēng)險(xiǎn)傳染，而且有助于防范風(fēng)險(xiǎn)傳染。