基于線性規(guī)劃的工程投資分配模型及優(yōu)化

高蘭芳

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院, 福州 350007)

引 言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化進(jìn)程的不斷推進(jìn)以及互聯(lián)網(wǎng)科技的迅猛發(fā)展，工程投資企業(yè)在進(jìn)行投資決策時(shí)所面對(duì)的不確定性越來(lái)越大。隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，日益增長(zhǎng)的公共產(chǎn)品需求與供給之間缺口不斷擴(kuò)大，PPP投融資模式的出現(xiàn)體現(xiàn)了資金分配的重要性[1]。如何進(jìn)行資本結(jié)構(gòu)優(yōu)化對(duì)于工程投資企業(yè)來(lái)說(shuō)具有無(wú)比重要的意義。工程投資企業(yè)涉及前期的主要問(wèn)題是項(xiàng)目投資決策，投資決策中需要解決的一個(gè)主要問(wèn)題是資金最優(yōu)分配問(wèn)題。資金分配，顧名思義就是在資金總量不變的情況下，通過(guò)統(tǒng)籌安排，對(duì)各種項(xiàng)目方案所需的資金進(jìn)行合理分配，以期達(dá)到投資的最大收益。以往對(duì)于此類(lèi)經(jīng)濟(jì)決策問(wèn)題，傳統(tǒng)方法是通過(guò)經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)進(jìn)行評(píng)判。經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)主要包括內(nèi)部收益率、凈現(xiàn)值等，隨著凈現(xiàn)值法的日益推廣，成為目前最廣泛的投資預(yù)算決策方法，而凈現(xiàn)值法過(guò)于追求利益最大化，而未能充分考慮資金的利用率問(wèn)題，更適合資金無(wú)限或者資金充足的前提情況下進(jìn)行判斷。在投資資金有限的前提條件下，如何利用有限的資金謀求凈現(xiàn)值最大化成為投資決策者需要解決的首要難題。為了解決資金有限前提下項(xiàng)目投資分配抉擇難題，本文將投資決策的經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃中的資源配置問(wèn)題，以收益最大化為目標(biāo)，建立模型求出最優(yōu)解，以單純形方法為基礎(chǔ)使用MATLAB進(jìn)行編程求解，最后結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行分析。

線性規(guī)劃的概念是于1947年軍事行動(dòng)計(jì)劃中產(chǎn)生的，發(fā)展至今已有近100年的歷史，線性規(guī)劃方法用于工程設(shè)計(jì)也被稱為“最優(yōu)化方法”，已成為工程技術(shù)中的一個(gè)有力的研究工具，也是西方計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)派常用的數(shù)學(xué)工具。著名的單純形方法是Dantzing于1947年提出的求解線性規(guī)劃問(wèn)題的方法，基于該方法，隨著研究問(wèn)題的不斷深入，又相繼出現(xiàn)了對(duì)偶單純性法。

現(xiàn)行的投資決策方案評(píng)價(jià)方法分為貼現(xiàn)的方法和非貼現(xiàn)的方法兩類(lèi)。常規(guī)貼現(xiàn)方法包括:凈現(xiàn)值法、凈現(xiàn)值指數(shù)法和內(nèi)部收益率法，其中凈現(xiàn)值指數(shù)法和凈現(xiàn)值法的基本原理相同。只是前者相對(duì)于后者多考慮了資金的利用率水平。非貼現(xiàn)方法即不考慮資金時(shí)間價(jià)值的方法，適用于靜態(tài)評(píng)價(jià)，對(duì)方案資金的使用價(jià)值欠缺充分考慮，只能作為參照指標(biāo)，不能作為絕對(duì)指標(biāo)。管超，張則強(qiáng)[2]等基于多目標(biāo)規(guī)劃，提出了多行設(shè)備布局的一種多目標(biāo)差分進(jìn)化算法和線性規(guī)劃混合方法；蘇志雄，魏漢英[3]等研究了資源受限條件下施工平行工序順序?qū)?yōu)化的0-1規(guī)劃模型；林浩楠[4]針對(duì)傳統(tǒng)算法提出了基于多目標(biāo)遺傳算法和深度學(xué)習(xí)的面向多個(gè)投資機(jī)器人的資金分配算法；趙培玲，周根寶[5]基于人工魚(yú)群算法針對(duì)多投資項(xiàng)目資金分配問(wèn)題進(jìn)行建模分析,對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了編程實(shí)現(xiàn)；任華茜[6]根據(jù)房地產(chǎn)項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的特點(diǎn),給出了同時(shí)考慮項(xiàng)目成本收益,資金成本,資金歸還問(wèn)題的項(xiàng)目多階段資金分配模型。國(guó)內(nèi)諸多研究成果中，第一類(lèi)是完全在理論條件下的資金模型分析，雖然全面具體，但是難以直接運(yùn)用于實(shí)際；第二類(lèi)通過(guò)0-1線性規(guī)劃來(lái)選擇項(xiàng)目，只適用于在項(xiàng)目方案選擇或者放棄條件下運(yùn)用，同時(shí)也未考慮資金的時(shí)間成本。

綜合國(guó)內(nèi)外研究成果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前對(duì)于“選擇誰(shuí)”的問(wèn)題研究已經(jīng)較為成熟，而在投資決策問(wèn)題中仍然存在的“遺憾”，主要是對(duì)于選擇出的方案應(yīng)當(dāng)如何給出投資比例的問(wèn)題。在項(xiàng)目投資決策中，投資決策給出的方案往往可以多種方案并行，如何把控投資分配比例，成為研究的主要問(wèn)題[7]。因此，為了建立一個(gè)更貼近實(shí)際并且能更好規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的資金分配模型，本文提出的解決辦法是應(yīng)用線性規(guī)劃中的資源配置解決辦法，將投資資金按照一定比例分配到各個(gè)項(xiàng)目當(dāng)中。

1 投資最優(yōu)資金分配模型的構(gòu)建

1.1 模型假設(shè)

民營(yíng)工程投資企業(yè)，諸如房地產(chǎn)公司、施工企業(yè)等在進(jìn)行投資決策時(shí)盈利是其考慮的首要目標(biāo)。在合理使用資金的前提條件下以最大盈利為目標(biāo)來(lái)進(jìn)行投資分配比例的劃定。盈利指標(biāo)一般選擇凈現(xiàn)值指標(biāo)來(lái)衡量。模型數(shù)據(jù)選取所有可行的投資方案并獲得其一定年限內(nèi)的成本、盈利以及各年限內(nèi)工程投資企業(yè)可用于投資的資金。其中，可行的投資方案是指通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)控制部門(mén)評(píng)估合格后可實(shí)施的方案。模型選取項(xiàng)目年限設(shè)定為5年，一方面隨著科技發(fā)展，關(guān)于各類(lèi)型方案的風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)會(huì)越來(lái)越完善，數(shù)據(jù)也會(huì)越來(lái)越準(zhǔn)確，同時(shí)越來(lái)越多的風(fēng)險(xiǎn)因素不允許管理者做出更長(zhǎng)時(shí)間的規(guī)劃；另一方面，更加符合中國(guó)各期五年投資計(jì)劃的國(guó)情，更容易貼合國(guó)家方針政策的引導(dǎo)，有利于各期項(xiàng)目發(fā)展。研究的前提為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)因素的確定型風(fēng)險(xiǎn)投資決策問(wèn)題，所以假設(shè)各方案各期的成本與盈利可以通過(guò)類(lèi)似項(xiàng)目調(diào)查法由專業(yè)的評(píng)估部門(mén)得出結(jié)果，公司各期可用資金則可通過(guò)公司的財(cái)務(wù)計(jì)劃可以獲得。

1.2 不同資金模式下線性規(guī)劃模型的建立

本文主要考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)因素的確定型投資分配線性規(guī)劃模型，即確定型決策問(wèn)題。根據(jù)決策者面臨的不同決策環(huán)境，即決策結(jié)果確定與否及是否明確了任務(wù)的結(jié)構(gòu)，將決策分為不確定型決策和確定型決策[8]。在確定型決策條件下，所進(jìn)行的投資分配模型不需要考慮其他風(fēng)險(xiǎn)因素。當(dāng)有風(fēng)險(xiǎn)因素存在時(shí)，受風(fēng)險(xiǎn)因素影響，某些參數(shù)如項(xiàng)目某一期的投資成本、某項(xiàng)目某一年的利潤(rùn)等將具有極大的不確定性，將這種不確定性量化后得到的往往是非線性關(guān)系。工程投資企業(yè)的主要資金來(lái)源包括自有資金、吸收資金、專項(xiàng)資金3個(gè)部分組成[9]。自有資金是指工程投資企業(yè)內(nèi)部積累或者國(guó)家撥款，可用于自身正常經(jīng)營(yíng)活動(dòng)，不需要償還的一種資金類(lèi)型，與自有資金相對(duì)的是吸收資金。吸收資金也就是借入資金，主要是指工程投資企業(yè)為了周轉(zhuǎn)或者擴(kuò)大生產(chǎn)，依法向金融機(jī)構(gòu)借入并且到期后需要償還利息的一種資金。本文分別研究含有這兩種不同資金來(lái)源時(shí)的投資分配模型。

1.2.1 完全自有資金投資分配模型

假設(shè)工程投資企業(yè)的全部投資資金來(lái)源均為自有資金，即將可利用的資金A看作1種資源，并將這種資源分別分配到若干種項(xiàng)目投資方式B1...Bm中；每種投資項(xiàng)目分n期投入建設(shè)，各期的資金投入量見(jiàn)表1，記為b11...bij(i=1,...,n;j=1,...,m),每年的投資限額為a1...am,投資方式B1...Bn，各年的利潤(rùn)價(jià)格記為c1...cm。假定各期的投資比例固定，且投資比例與盈利比例相同。

表1 工程投資企業(yè)投資項(xiàng)目有關(guān)參數(shù)表 單位：萬(wàn)元

對(duì)于工程投資企業(yè)而言，在資金有限的前提下，如何利用有限的資金追求最大利潤(rùn)通常是工程投資企業(yè)的目標(biāo)。在項(xiàng)目投資決策中，通常利用凈現(xiàn)值指標(biāo)來(lái)衡量工程投資項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)可行性，凈現(xiàn)值越大則說(shuō)明項(xiàng)目的盈利能力越強(qiáng)[10]。

在資金有限的前提下，各項(xiàng)目方案可以認(rèn)定為獨(dú)立型方案，即各項(xiàng)目之間現(xiàn)金流量互不影響，其中任一投資項(xiàng)目的選擇與否對(duì)于其他項(xiàng)目的投資沒(méi)有影響[11]?？紤]資金的時(shí)間價(jià)值影響，假設(shè)基準(zhǔn)收益率為q，設(shè)各項(xiàng)目資金的投資分配比例為x1...xn,由于工程投資企業(yè)的目標(biāo)是使盈利的凈現(xiàn)值NPV最大，則有目標(biāo)函數(shù)如式(1)所示：

(1)

對(duì)于約束方程，提出兩種假設(shè)。

假設(shè)一：每一期的投資資金只能用于該期，則有約束方程為：

(2)

假設(shè)二：每一期多余的投資資金可用于下一期，則有約束方程為

(3)

其中：

利潤(rùn)的凈現(xiàn)值為

NPVi=ci(P/A,q,i)

(4)

(5)

式中：i=1,...n,表示投資期第i年；j=1,..n,表示第j個(gè)項(xiàng)目；P表示現(xiàn)值，A表示年值,ci表示每年利潤(rùn)值，q表示折現(xiàn)率。折現(xiàn)率取值不同會(huì)直接影響工程投資項(xiàng)目?jī)衄F(xiàn)值分析的結(jié)果，有關(guān)部門(mén)統(tǒng)一發(fā)布的社會(huì)折現(xiàn)率不能反映不同地區(qū)不同項(xiàng)目之間的差別[12]。目前國(guó)內(nèi)采用固定折現(xiàn)率，即固定折現(xiàn)率對(duì)未來(lái)現(xiàn)金流折減過(guò)多，不利于遠(yuǎn)期效益高的項(xiàng)目，也不符合不同地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，對(duì)于長(zhǎng)期項(xiàng)目更適合采用遞減折現(xiàn)率[13]。

1.2.2 含有借入資金的投資分配模型

在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)活動(dòng)中，工程投資企業(yè)的自有資金常常不足，需要通過(guò)向銀行等金融機(jī)構(gòu)合法的借入資金用以投資周轉(zhuǎn)。假設(shè)某工程投資企業(yè)擁有自有資金A，借入資金B(yǎng)，每期可借入的資金限額為D,現(xiàn)將自有資金A和借入資金B(yǎng)分m期進(jìn)行投資，假設(shè)共有可行的投資項(xiàng)目共N個(gè)，記為K1、K2...Kn,每期計(jì)劃可用限額分別為W1、W2...Wm,仍然以最大盈利的凈現(xiàn)值為目標(biāo)，假設(shè)每期投資的比例分別為x1,x2...xm。

假設(shè)每期借入的資金在下一期還本付息，資金只能在當(dāng)年使用，可以建立如下的約束方程：

(6)

綜上所述，可以得出只在當(dāng)年使用借入資金的資金分配模型為：

(7)

假設(shè)當(dāng)年資金可用于下年投資，則有資金分配模型為：

(8)

1.3 模型的求解

投資分配模型求解的主要方法是單純形法，通過(guò)MATLAB工具進(jìn)行編程解決，其基本步驟為：首先，引入松弛變量，將線性規(guī)劃方程改寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)型；其次，以標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃方程為基礎(chǔ)，寫(xiě)出初始單純形表；最后，將初始單純形表輸入MATLAB程序，迭代運(yùn)行至最優(yōu)解，則最優(yōu)解mbhs、x1、x2、x3就是所求的最優(yōu)資金分配比例。

2 實(shí)例分析

2.1 完全自有資金的投資資金分配

某部門(mén)在今后五年可用于投資的資金總額為37萬(wàn)元，有三個(gè)可以考慮投資的項(xiàng)目。假定每個(gè)項(xiàng)目可以按比例進(jìn)行投資，但是每一期比例均相同。三個(gè)項(xiàng)目分為5期進(jìn)行，各期所需資金以及預(yù)計(jì)盈利，假設(shè)基準(zhǔn)收益率為10%，見(jiàn)表2。

表2 工程投資企業(yè)投資項(xiàng)目參數(shù)表 單位：萬(wàn)元

①現(xiàn)值的計(jì)算

根據(jù)表2以及式(4)和式(5)可以得到各項(xiàng)目5年盈利的凈現(xiàn)值，見(jiàn)表3，結(jié)果保留兩位小數(shù)。

表3 項(xiàng)目盈利凈現(xiàn)值表 單位：萬(wàn)元

②目標(biāo)函數(shù)及約束方程的的建立

根據(jù)本例內(nèi)容，設(shè)投資分配比例分別為x1、x2、x3,假設(shè)每一期多余的資金不可用于下一期，將數(shù)據(jù)代入公式(2)，則有如下的線性規(guī)劃方程：

(9)

引入松弛變量x4、x5、x6、x7、x8，將方程改寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)型，改寫(xiě)后的線性規(guī)劃方程如下：

(10)

該方程的初始單純形表見(jiàn)表4。

表4 初始單純形表——多余的資金不可用

將初始單純形表輸入根據(jù)單純形法編制的MATLAB程序，得到mbhsz=27.2165，x1=0.7886,x2=0.0732，x3=0.1789,也即當(dāng)對(duì)項(xiàng)目一的投資比例為0.7945，對(duì)項(xiàng)目二投資比例為0.0732，對(duì)項(xiàng)目三的投資比例為0.2877時(shí)，可以獲得最大收益凈現(xiàn)值為27.2165萬(wàn)元。

當(dāng)每一期剩余資金可用于下一期投資時(shí)，將數(shù)據(jù)代入式(3)，形成新的線性規(guī)劃方程為：

將該線性規(guī)劃方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式有：

對(duì)于該方程有初始單純形表見(jiàn)表5：

表5 初始單純形表——多余的資金可用

由MATLAB程序計(jì)算，可以得到mbhsz=27.9910，x1=0.7260,x2=0，x3=0.3836,也即當(dāng)對(duì)項(xiàng)目一的投資比例為0.7260，對(duì)項(xiàng)目二不投資，對(duì)項(xiàng)目三的投資比例為0.3836時(shí)，可以獲得最大收益凈現(xiàn)值為22.9910萬(wàn)元。

2.2 含有借入資金的投資資金分配

某部門(mén)在今后五年可用于投資的自有資金總額為37萬(wàn)元，有三個(gè)可以考慮投資的項(xiàng)目。假定每個(gè)項(xiàng)目可以按比例進(jìn)行投資，每一期比例均相同且獲得收益的比例與投資比例相同。三個(gè)項(xiàng)目分為5期進(jìn)行，每期均可借入資金用于投資，假設(shè)每期借入資金在下一期還本付息，每期借入資金金額及各期所需資金以及預(yù)計(jì)盈利，見(jiàn)表6。假設(shè)基準(zhǔn)收益率為10%。

表6 工程投資企業(yè)各項(xiàng)目投資參數(shù)表 單位：萬(wàn)元

①終值的計(jì)算

根據(jù)表6以及式(10)可以得到各項(xiàng)目5年盈利的凈現(xiàn)值見(jiàn)表7。

表7 項(xiàng)目盈利凈終值表 單位：萬(wàn)元

②目標(biāo)函數(shù)及約束方程的的建立

當(dāng)多余投資資金不可用于下年，根據(jù)本例可設(shè)投資分配比例分別為x1、x2、x3,將數(shù)據(jù)帶入式(7)，則有如下的線性規(guī)劃方程：

(13)

將上述線性規(guī)劃方程整理并化為標(biāo)準(zhǔn)型：

(14)

借助MATLAB軟件計(jì)算得mbhs=35.5480,x1=0.6667,x2=0.1444,x3=0,也就是對(duì)項(xiàng)目一的投資比例為66.67%，對(duì)項(xiàng)目二投資比例為14.44%，對(duì)項(xiàng)目三不投資。

若當(dāng)年資金可用于下年投資使用，則有線性規(guī)劃方程為：

(15)

對(duì)上述線性規(guī)劃方程整理并化為標(biāo)準(zhǔn)型：

(16)

由MATLAB得出最優(yōu)解mbhsz=57.2058,x1=1.3385,x2=0,x3=0,即對(duì)項(xiàng)目一的投資比例為1.3385，對(duì)項(xiàng)目二、項(xiàng)目三不投資。

2.3 數(shù)據(jù)結(jié)果分析

2.3.1 完全自由資金投資分配結(jié)果對(duì)比

由例一可以看到對(duì)完全自由資金投資分配的兩種結(jié)果。當(dāng)年資金不可留作下年利用時(shí)，可獲得的盈利最大凈現(xiàn)值為27.2165萬(wàn)元；當(dāng)年資金可以在下年循環(huán)利用時(shí)，可獲得的最大盈利凈現(xiàn)值為27.9910萬(wàn)元。顯然，可以在下年循環(huán)利用資金的狀況下，工程投資企業(yè)能夠獲得更大的利潤(rùn)。

在各項(xiàng)目中，項(xiàng)目二的凈現(xiàn)值最大，為30.33萬(wàn)元。按照傳統(tǒng)的遵循凈現(xiàn)值法最大原理，所選擇的方案應(yīng)當(dāng)為項(xiàng)目二。但是通過(guò)建立線性規(guī)劃方程后得出的結(jié)果是對(duì)項(xiàng)目二投資0.0732。通過(guò)對(duì)結(jié)果的分析可以發(fā)現(xiàn)，如果選擇項(xiàng)目二進(jìn)行投資，第一年投資費(fèi)用需要8萬(wàn)元，而部門(mén)可用資金為7萬(wàn)元，假設(shè)7萬(wàn)元全部用于投資，則對(duì)項(xiàng)目二的投資份額為87.5%，收益為8×0.875=7萬(wàn)元。按線性規(guī)劃所得結(jié)果，對(duì)項(xiàng)目一投資0.7886，對(duì)項(xiàng)目二進(jìn)行投資0.0732，對(duì)項(xiàng)目三投資0.1789，則第一年所需費(fèi)用成本為0.7886×7+0.0732×8+0.1789×5=7.00萬(wàn)元，收益為0.7886×7+0.0732×8+0.1789×6=7.2205>7萬(wàn)元。由此可見(jiàn)，單一的凈現(xiàn)值方法對(duì)方案的評(píng)選是不夠全面的。凈現(xiàn)值法具有諸多的局限性，如不能反映項(xiàng)目自身的報(bào)酬率及投資額有時(shí)無(wú)法做出正確決策等問(wèn)題[14]。借助線性規(guī)劃方程的方法結(jié)合凈現(xiàn)值法能夠更加科學(xué)系統(tǒng)的評(píng)選方案。

2.3.2 含有借入資金的投資分配結(jié)果

當(dāng)工程投資企業(yè)將借入資金也用于投資資金分配時(shí)，通過(guò)例二可以得知，當(dāng)項(xiàng)目情況、投資期、基準(zhǔn)收益率等條件不變時(shí)，借入資金進(jìn)行投資，每年多余的投資資金未用于下一年時(shí)，最大的投資凈終值為35.5480萬(wàn)元，將凈終值轉(zhuǎn)換為凈現(xiàn)值后最大投資凈現(xiàn)值為33.8239萬(wàn)元。結(jié)果大于只有自有資金時(shí)的盈利凈現(xiàn)值，可見(jiàn)當(dāng)工程投資企業(yè)投資決策時(shí)使用一定的借入資金是有利于工程投資企業(yè)把握投資機(jī)會(huì)，從而實(shí)現(xiàn)更好盈利。

當(dāng)工程投資企業(yè)可以將多余的投資資金用于下一年時(shí)，投資的凈現(xiàn)值為57.2058×0.9519=54.4542萬(wàn)元，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同等情況下未借入資金時(shí)的盈利情況，同時(shí)也遠(yuǎn)大于未將資金利用于下年的情況。可見(jiàn)，當(dāng)工程投資企業(yè)借入一定資金用于生產(chǎn)，并且在投資決策時(shí)考慮資金的循環(huán)使用時(shí)，更有利于工程投資企業(yè)實(shí)現(xiàn)高效率的盈利。

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于非公益性工程投資企業(yè)而言，獲得盈利是工程投資企業(yè)的第一目標(biāo)。工程投資企業(yè)通過(guò)各類(lèi)生產(chǎn)、投資來(lái)獲得盈利，謀求發(fā)展。特別是當(dāng)投資者處于劣勢(shì)競(jìng)爭(zhēng)地位的時(shí)候更傾向于關(guān)注自己收益的大小[15]。傳統(tǒng)的項(xiàng)目往往通過(guò)貼現(xiàn)值等經(jīng)濟(jì)手段來(lái)進(jìn)行選擇，手段單一，并且考慮的影響因素不夠全面。本文通過(guò)結(jié)合線性規(guī)劃模型方法，對(duì)兩種資金來(lái)源情況下的投資項(xiàng)目分配問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，建立模型并求解。這一方法相比較于傳統(tǒng)凈現(xiàn)值法而言，解決問(wèn)題的速度更快，效率更高，同時(shí)考慮的因素更加全面。