J對(duì)稱分塊算子矩陣的譜

錢志祥

(廣東理工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部， 廣東 肇慶 526100)

引 言

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[14]總假定X是Hilbert空間，則正交直接和X×X也是Hilbert空間，不產(chǎn)生混淆的前提下空間X和X×X的內(nèi)積都記為(·,·)，對(duì)任意x∈(x1,x2)T，y∈(y1,y2)T∈X×X的內(nèi)積定義為：

(x,y)(x1,y1)+(x2,y2)

(1)

令A(yù)i,Bi,Ci,Di∈B(X),則

且對(duì)任意α∈C和x∈(x1,x2)T∈X×X,定義：

(2)

常數(shù)和分塊算子矩陣的乘積，定義為：

(3)

兩個(gè)分塊算子矩陣的和規(guī)定為：

(4)

兩個(gè)分塊算子矩陣的積規(guī)定為：

(5)

零空間為

Ν(T)=

(6)

值域?yàn)?/p>

R(T)=

(7)

定義2[15]設(shè)X是復(fù)的可分Hilbert空間，J表示X上的復(fù)共軛算子，即?x,y∈X,(Jx,Jy)=(y,x)，而且具有如下性質(zhì)：

J(x+y)=Jx+Jy

(8)

(9)

J2x=x

(10)

定義3[15]設(shè)T是定義在Hilbert空間X上的稠定線性算子，若?x,y∈D(T)，有(Jx,Ty)=(JTx,y)，則稱算子T是J對(duì)稱算子。

由定義容易發(fā)現(xiàn)，T是J對(duì)稱算子的充要條件即JT?T*J(T?JT*J,或JYJ?T*)。

定義5[15]如果JT=T*J(T=JT*J,或JTJ=T*)，則稱算子T是J自伴算子。

定義6[15]對(duì)于定義在Hilbert空間X上的閉稠定線性的算子T，若對(duì)任意λ∈C，存在常數(shù)K=K(λ)>0，使得對(duì)所有

則稱數(shù)λ為算子T的正則型點(diǎn)，T的所有正則型點(diǎn)的全體稱為算子的正則型域，記為Π(T)，即：

(11)

而σK(T)=CΠ(T)稱為算子T的譜核。

定義7[15]記m(λ)=dimR(λI-T)⊥=def(T,λ)=dim(XRλ(T))，m(λ)是一個(gè)常數(shù)，它稱為算子T的虧數(shù)，若T是定義在Hilbert空間X上的一個(gè)稠定的J閉對(duì)稱的算子，且Π(T)≠Φ，稱虧數(shù)m(λ)為算子T的虧指數(shù)，記為d(T)。

定義8[15]記Nλ(T) 和n(λ)分別表示算子T-λI的零空間和其零空間的維數(shù)，即

n(λ)=dimNλ(T)=dim ker(λI-T)=

dim{f|(T-λI)f=0,f∈D(T)}

(12)

2 主要結(jié)論

(13)

又因?yàn)?/p>

(14)

比較式(13)和式(14)得：

當(dāng)A,B,C,D是J對(duì)稱的且B=C時(shí)，有(Tx,y)=(x,JTy)，則T是J對(duì)稱的。

所以(Cx1,Jy2)=(x1,JBy2)所以B=C且是J對(duì)稱的。

即

(15)

(16)

所以

JA?A*JJB?C*JJC?B*JJD?D*J

(17)

JA?A*JJB?C*JJC?B*JJD?D*J

(18)

(19)

所以，A=JA*J,B=JB*J,C=JC*J,D=JD*J，所以A,B,C.D均是J自伴算子且B=C。

反之，當(dāng)A,B,C,D均是J自伴算子且B=C時(shí)，有：

A=JA*J,B=JB*J=C=JC*J,D=JD*J

(20)

于是

(21)

即T=JT*J，因此，T是J自伴算子。

且B=C，A=JA*J,B=JB*J,C=JC*J,D=JD*J。

故

JAJ=A*,JBJ=B*,JCJ=C*,JDJ=D*

(22)

(23)

T=JT*J=JJT*JJ=T**

(24)

T**=JT*J

(25)

(26)

于是

(27)

于是

所以

(29)

這表示

即：

(30)

(31)

(32)

這表示：

(33)

即有JT*J?(JTJ)*，所以，(JTJ)*=JT*J

(34)

即

(35)

所以

(36)

從而

(37)

即

(38)

(39)

(40)

(41)

根據(jù)(40)式可知，

使得

(42)

由引理3知T是J對(duì)稱算子，所以式(42)可表示為：

(43)

根據(jù)式(41)和式(43)得：

(44)

(45)

由引理5知T*也是J自伴算子，T*=JTJ，故

(46)

可以導(dǎo)出

(47)

即

(48)

所以λ?σr(T)，這與λ∈σr(T)矛盾，故σr(T)=Φ。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究了Hilbert空間中J對(duì)稱有界2×2分塊算子矩陣的譜，將進(jìn)一步開展對(duì)于Hilbert空間中J對(duì)稱無(wú)界2×2分塊算子矩陣的譜方面的研究。