考慮裂尖塑性區(qū)影響的水力壓裂縫高計(jì)算模型

李玉偉，龍敏，湯繼周，陳勉,3，付曉飛

（1.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江大慶 163318；2.School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University，Cambridge 02138，USA；3.中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249）

0 引言

水力壓裂作為一種高效的增產(chǎn)工藝技術(shù)，已廣泛應(yīng)用于各類油氣儲(chǔ)集層改造，并取得顯著效果。但現(xiàn)有水力壓裂模型在應(yīng)用時(shí)均存在一定的局限性，不適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)井或復(fù)雜儲(chǔ)集層[1-2]，限制了水力壓裂技術(shù)的發(fā)展。裂縫高度作為水力壓裂二維模型的輸入?yún)?shù)，以及三維模型的輸出結(jié)果，是水力壓裂模型精確求解的重要影響因素。水力壓裂縫高的計(jì)算是水力壓裂裂縫模型研究的核心問題[3-4]，尤其在當(dāng)前以頁巖氣為代表的非常規(guī)油氣資源需要大規(guī)模壓裂開發(fā)的技術(shù)背景下[5-7]，能否準(zhǔn)確預(yù)測和控制裂縫縫高已經(jīng)成為壓裂施工成敗與否的關(guān)鍵。對于埋深較淺、地層應(yīng)力水平不高的頁巖儲(chǔ)集層，現(xiàn)有縫高模型都表現(xiàn)出較好的適用性[8]；而對于深部高應(yīng)力多分層的復(fù)雜地層，水力裂縫的縫高往往很難預(yù)測[9-10]，亟需一種準(zhǔn)確計(jì)算此類地層水力壓裂縫高的新方法。

在高應(yīng)力多分層的復(fù)雜地層壓裂時(shí)，裂縫縫高的生長受多種因素制約，包括層間界面及其剪切強(qiáng)度、施工壓力、壓裂液漏失、天然裂縫發(fā)育情況、壓裂液密度和黏度等[11-16]。盡管多種因素影響復(fù)雜地層中的裂縫高度生長，但在某一泵注壓力下，裂縫高度的增長值存在上限，即平衡高度理論[17]，當(dāng)裂縫上部和下部尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子小于裂縫上部和下部尖端所處地層巖石的斷裂韌性時(shí)，裂縫尖端不會(huì)增長；否則裂縫尖端增長，裂縫高度增加。

自20世紀(jì)70年代，學(xué)者們建立了多種用于計(jì)算水力壓裂裂縫高度的模型。Simonson等[18]建立的水力壓裂縫高預(yù)測模型將地層分為對稱的上下 3層，要求上覆巖層與下部巖層巖石物性相同，這與實(shí)際壓裂地層環(huán)境差別較大，模型實(shí)用性較差。Ahmed[19]、Newberry 等[20]和 Economides等[21]對 Simonson 模型進(jìn)行修正，將地層分為非對稱的 3層且上覆巖層與下部巖層巖石物性不同，增強(qiáng)了模型的實(shí)用性。Fung等[22]考慮不同地層的巖石物性不同，建立了包含 6層地層的壓裂縫高模型，該模型假定裂縫沿高度方向內(nèi)部凈壓力恒定。Economides等[23]建立的壓裂縫高預(yù)測模型考慮了裂縫沿高度方向的內(nèi)部凈壓力變化。Weng等[14]對Economides的模型進(jìn)行了修正，進(jìn)一步完善了壓裂縫高預(yù)測模型。Liu等[24-25]建立了更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃毫芽p高數(shù)學(xué)模型（MFEH），首次解決了適用于任意層數(shù)地層條件下的水力壓裂裂縫高度計(jì)算問題。

以往對水力壓裂縫高模型的研究均沒有考慮裂縫尖端塑性區(qū)對縫高延伸的影響。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，考慮水力裂縫擴(kuò)展過程中裂縫尖端塑性區(qū)的影響并對裂縫擴(kuò)展高度進(jìn)行修正，建立全新的水力壓裂縫高計(jì)算模型。研究成果更好地完善了水力壓裂縫高求解的理論方法，為高應(yīng)力多分層的復(fù)雜地層壓裂縫高計(jì)算和預(yù)測提供了理論依據(jù)。

1 裂縫尖端塑性區(qū)特征及等效裂縫求解

水力壓裂裂縫尖端區(qū)域存在明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象[26-28]。在高應(yīng)力作用下，裂縫尖端的巖石會(huì)由彈性向塑性轉(zhuǎn)變，當(dāng)巖石性質(zhì)表現(xiàn)為塑性時(shí)，裂縫尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子無法使用經(jīng)典斷裂力學(xué)理論模型進(jìn)行計(jì)算，裂縫實(shí)際的擴(kuò)展情況發(fā)生改變。如圖1所示，若不考慮裂縫尖端塑性區(qū)域應(yīng)力集中的影響，裂縫的左右端點(diǎn)分別為A1和B1，對應(yīng)的裂縫高度為2a；若考慮裂縫尖端塑性區(qū)域應(yīng)力集中的影響，裂縫的左右端點(diǎn)最終能夠延伸到A2和B2，對應(yīng)的裂縫高度為2(a+e)，裂縫的高度發(fā)生明顯的改變。

圖1 Dugdale等效裂縫高度模型[29]

為了進(jìn)一步說明裂縫尖端塑性區(qū)應(yīng)力集中對縫高的影響，給出平面應(yīng)變條件下裂縫尖端塑性區(qū)分布計(jì)算模型及考慮塑性區(qū)應(yīng)力影響的等效裂縫高度計(jì)算方法。根據(jù)斷裂力學(xué)理論，裂縫尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子為[30]：

裂縫端部任一點(diǎn)的3個(gè)主應(yīng)力為[31-33]：

巖石材料服從Mises屈服條件式[34]：

將（2）式代入（3）式中，可得到塑性區(qū)邊界極坐標(biāo)形式的曲線方程為：

考慮裂縫擴(kuò)展高度對裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子KI的影響，通過（4）式分析裂縫尖端塑性區(qū)域分布的變化。應(yīng)用MATLAB編程，確定裂縫高度分別為5，15，35，55 m時(shí)產(chǎn)生的塑性區(qū)域（見圖2）。由圖可知，隨著裂縫高度的增大，裂縫尖端產(chǎn)生的塑性區(qū)逐漸增大。當(dāng)裂縫高度為5 m時(shí)，裂縫尖端僅產(chǎn)生微小的塑性區(qū)域；當(dāng)裂縫高度為55 m時(shí)，產(chǎn)生的塑性區(qū)高度為2.3 m，達(dá)到當(dāng)前裂縫高度的4.18%。因此在不同縫高下裂縫尖端確實(shí)存在塑性區(qū)應(yīng)力集中的影響，且裂縫縫高較大時(shí)，裂縫尖端塑性區(qū)分布范圍大，必然會(huì)對裂縫縫高的延伸產(chǎn)生顯著影響。所以計(jì)算縫高時(shí)，需要考慮裂縫尖端塑性區(qū)應(yīng)力集中及其對縫高延伸的影響。

圖2 不同裂縫半高條件下裂縫尖端塑性區(qū)分布

Dugdale[29]提出裂縫端部產(chǎn)生塑性區(qū)后可以用一個(gè)等效裂縫代替，如圖1所示。原裂縫A1B1高為2a，等效裂縫A2B2的高度為 2(a+e)，其中，e為塑性區(qū)尺寸。塑性區(qū)內(nèi)裂縫實(shí)際并沒有張開，塑性區(qū)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量均為σy。由于A1A2段和B1B2段未裂開，所以等效裂縫端點(diǎn)A2及B2處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為零。在塑性區(qū)內(nèi)等效裂縫面間相互作用著均勻分布的拉應(yīng)力σy，σy產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子K′為負(fù)數(shù)，因?yàn)樗淖饔檬鞘沽芽p閉合。K′的絕對值等于外載作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子K′：

（5）式積分后得：

（9）式為考慮塑性區(qū)應(yīng)力集中影響后，裂縫尖端在縫高延伸方向上產(chǎn)生的塑性區(qū)尺寸，即裂縫擴(kuò)展所產(chǎn)生的附加高度，在此基礎(chǔ)上可以對裂縫尖端實(shí)際應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行計(jì)算，從而確定裂縫高度。

2 水力壓裂縫高模型

2.1 縫高模型的推導(dǎo)

建立地層中垂直裂縫的縫高物理模型（見圖3），圖中只展示了垂向上 6個(gè)不同性質(zhì)的地層，但建立的縫高模型不受地層層數(shù)限制，可應(yīng)用于任意層數(shù)地層的縫高計(jì)算。

圖3 裂縫垂向延伸物理模型

為建立縫高模型進(jìn)行如下假設(shè)：①地層巖石為線彈性介質(zhì)；②假定流體在整個(gè)裂縫高度上起作用；③裂縫擴(kuò)展區(qū)離井筒位置足夠遠(yuǎn)；④水力裂縫的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于裂縫高度；⑤裂縫高度在裂縫尖端的擴(kuò)展始終處于平衡狀態(tài)；⑥裂縫內(nèi)垂直方向的壓力分布滿足靜水壓力，不考慮流體在裂縫中流動(dòng)的壓降。

不考慮裂縫尖端產(chǎn)生的塑性區(qū)影響時(shí)（圖3藍(lán)色區(qū)域），參考Liu等[24-25]的模型，裂縫上、下端的應(yīng)力強(qiáng)度因子可以分別表示為：

考慮裂縫尖端產(chǎn)生的塑性區(qū)影響時(shí)（圖3橙色區(qū)域），裂縫下端塑性區(qū)使裂縫閉合的應(yīng)力σh,i產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子為負(fù)值，其絕對值大小與裂縫內(nèi)壓作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子KI2+相等，根據(jù)（11）式得：

積分后得：

考慮裂縫尖端塑性區(qū)影響時(shí)，參考（11）式得到裂縫下尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子：

積分后得到：

簡化可得：

同理可對裂縫上尖端的縫高進(jìn)行推導(dǎo)得：

假設(shè)A=2C+ed+eu，B=A/2。當(dāng)考慮裂縫尖端塑性區(qū)時(shí)，垂直裂縫上、下端的應(yīng)力強(qiáng)度因子分別表示為：

對其進(jìn)行積分可得到考慮縫尖塑性區(qū)影響的水力壓裂裂縫上、下端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。裂縫上任意位置x所對應(yīng)的裂縫下端應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

考慮裂縫端部塑性區(qū)影響時(shí)，在第i層地層的裂縫下端的應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

裂縫在多層地層延伸過程中裂縫下端的總應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

同理可以得到裂縫上端的總應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

考慮裂縫端部塑性區(qū)影響時(shí)，裂縫上端延伸條件為KI2-≥KIC,i；裂縫下端延伸條件為KI2+≥KIC,i。

2.2 縫高模型求解方法

水力壓裂縫高模型求解時(shí)，輸入各層的物理參數(shù)，計(jì)算出不考慮裂縫尖端塑性區(qū)影響時(shí)的裂縫上下尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子KI-和KI+，計(jì)算塑性區(qū)高度ed、eu，積分計(jì)算考慮塑性區(qū)影響的尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子KI2-和KI2+，比較KI2-、KI2+與地層巖石斷裂韌性KIC,i的大小。如果KI2-、KI2+小于KIC,i，裂縫縫高停止擴(kuò)展，求出B；如果KI2-、KI2+大于KIC,i，裂縫縫高繼續(xù)擴(kuò)展，進(jìn)一步累計(jì)積分求得KI2-、KI2+，直到滿足KI2-、KI2+小于KIC,i的條件，裂縫縫高停止擴(kuò)展，求出半縫高B。

2.3 縫高模型的驗(yàn)證

在相同條件下，將本文模型與 2種行業(yè)模型（FracPro、MFEH）的裂縫高度計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證本文模型準(zhǔn)確性。計(jì)算采用費(fèi)耶特維爾頁巖地層參數(shù)[24]，地層分為 7層，各層巖石物理力學(xué)參數(shù)如表1所示，比較3種模型計(jì)算得到的縫高。當(dāng)射孔位置的壓裂液壓力為31.3 MPa時(shí)，MFEH模型計(jì)算的縫高為60.61 m，本文模型計(jì)算的縫高為66.47 m；當(dāng)射孔位置的壓裂液壓力為32.0 MPa時(shí)，本文模型計(jì)算的縫高為71.24 m，F(xiàn)racPro模型計(jì)算的縫高為82.68 m。通過對比可以看出，本文模型計(jì)算的裂縫高度高于MFEH模型的計(jì)算結(jié)果，而低于FracPro模型的計(jì)算結(jié)果，與行業(yè)模型計(jì)算結(jié)果相當(dāng)，表明本文模型具有較好的正確性。由于本文模型在MFEH模型基礎(chǔ)上考慮了裂縫尖端塑性區(qū)的影響，在每次進(jìn)行縫高修正求解過程中，均需要對原縫高產(chǎn)生的塑性區(qū)進(jìn)行計(jì)算，因此模型的運(yùn)算效率低于MFEH模型。

表1 費(fèi)耶特維爾頁巖地層巖石物理力學(xué)參數(shù)[24]

3 模型實(shí)例計(jì)算與敏感性分析

基于美國天然氣研究中心（GRI）在德克薩斯州哈里森縣Waskom油田現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)（見表2），采用本文模型和MFEH模型分別計(jì)算水力裂縫縫高變化，地層分為6層，射孔層位于第3層。如圖4所示，本文模型計(jì)算的縫高變化趨勢與MFEH模型計(jì)算結(jié)果整體較為一致。在裂縫高度較小時(shí)，本文模型與MFEH模型的計(jì)算結(jié)果差異小，當(dāng)裂縫高度達(dá)到較大值后，本文模型計(jì)算的縫高呈階梯狀增長。這是因?yàn)閷?shí)際壓裂過程中，地層中壓裂裂縫的高度并非持續(xù)生長，壓力達(dá)到裂縫增長的延伸壓力時(shí)，裂縫會(huì)突然擴(kuò)展延伸，導(dǎo)致裂縫內(nèi)流體壓力下降；之后隨泵注時(shí)間增加，裂縫內(nèi)流體壓力會(huì)重新上升，達(dá)到裂縫延伸壓力后會(huì)再次發(fā)生裂縫擴(kuò)展，所以裂縫高度呈現(xiàn)階梯狀增長。另外，從對比結(jié)果也可以看出，本文模型計(jì)算的裂縫縫高在射孔位置的壓裂液壓力為50.51 MPa時(shí)突破頂層界面，而MFEH模型計(jì)算的裂縫高度在射孔位置壓裂液壓力為52.21 MPa時(shí)才突破頂層界面，表明如果不考慮裂縫尖端塑性區(qū)應(yīng)力集中的影響，可能會(huì)低估裂縫高度生長的能力，在實(shí)際壓裂施工中會(huì)導(dǎo)致裂縫穿層，從而壓漏上部地層，造成嚴(yán)重的壓裂事故。

表2 GRI現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)[35]

圖4 與MFEH模型計(jì)算的縫高剖面對比圖

3.1 下伏地層地應(yīng)力對裂縫縫高生長的影響

為了研究下伏地層地應(yīng)力對水力裂縫縫高生長的影響，將下伏地層地應(yīng)力（σh,6）設(shè)置為35，45，55，65 MPa，繪制不同下伏地層地應(yīng)力下的縫高變化曲線（見圖5）。當(dāng)下伏地層地應(yīng)力小于等于45 MPa時(shí)，由于第5層、第6層地應(yīng)力相對較小，射孔位置壓裂液壓力達(dá)到44.81 MPa時(shí)，裂縫下尖端迅速擴(kuò)展到達(dá)下邊界；當(dāng)下伏地層地應(yīng)力大于等于55 MPa時(shí)，裂縫下尖端擴(kuò)展困難。當(dāng)下伏地層地應(yīng)力達(dá)到65 MPa后，裂縫在下伏地層延伸有限，縫高生長止于第5層、第6層地層界面附近，呈現(xiàn)出憋壓階梯生長的形態(tài)?？傮w上隨著下伏地層地應(yīng)力的增加，裂縫向下端擴(kuò)展越來越難。

3.2 上覆地層地應(yīng)力對裂縫縫高生長的影響

分別將上覆地層地應(yīng)力（σh,1）設(shè)置為35，45，55，65 MPa，應(yīng)用本文模型計(jì)算并繪制水力裂縫高度生長曲線（見圖6）。上覆地層地應(yīng)力為35 MPa時(shí)，由于地應(yīng)力相對較小，對裂縫阻擋效果較差，射孔位置壓裂液壓力達(dá)到46.21 MPa時(shí)，裂縫上尖端失穩(wěn)，縫高迅速增長達(dá)到頂部界面（見圖6a）。隨著上覆地層地應(yīng)力的增加，裂縫上尖端生長越來越困難。上覆地層地應(yīng)力達(dá)到55 MPa時(shí)，裂縫上尖端已經(jīng)無法突破到達(dá)頂部界面；當(dāng)上覆地層地應(yīng)力達(dá)到65 MPa時(shí)，裂縫上尖端難以進(jìn)入上部地層，呈現(xiàn)較為平坦的生長形態(tài)，縫高擴(kuò)展維持在第1層、第2層界面處，裂縫主要向下部地層延伸，突破地層底界面。

3.3 下伏地層巖石斷裂韌性對裂縫縫高生長的影響

分別將下伏地層巖石的斷裂韌性（KIC,6）設(shè)定為0.5，5.5，10.5，15.5 MPa·m1/2，應(yīng)用本文模型計(jì)算相應(yīng)水力裂縫高度。如圖7所示，隨著下伏地層巖石斷裂韌性的增大，裂縫縫高的生長變化并不明顯，所以下伏地層巖石斷裂韌性對裂縫高度擴(kuò)展的影響較小，增加下伏地層巖石斷裂韌性只能在一定程度上抑制裂縫縫高的擴(kuò)展。

3.4 上覆地層巖石斷裂韌性對裂縫縫高生長的影響

分別將上覆地層巖石斷裂韌性（KIC,1）設(shè)為0.5，5.5，10.5，15.5 MPa·m1/2，應(yīng)用本文模型計(jì)算水力裂縫高度。如圖8所示，當(dāng)上覆地層巖石斷裂韌性很小時(shí)，裂縫容易突破上部地層到達(dá)地層頂界面。隨著上覆地層斷裂韌性的增大，裂縫上尖端的擴(kuò)展變得困難，裂縫下尖端向下部地層擴(kuò)展的高度逐漸增大。

圖5 下伏地層地應(yīng)力對裂縫縫高生長的影響

圖6 上覆地層地應(yīng)力對裂縫縫高生長的影響

圖7 下伏地層巖石斷裂韌性對裂縫縫高生長的影響

圖8 上覆地層巖石斷裂韌性對裂縫縫高生長的影響

3.5 斷裂韌性與地應(yīng)力的共同作用對裂縫縫高生長的影響

為了研究斷裂韌性和地應(yīng)力的共同作用對裂縫縫高生長的影響，分別設(shè)計(jì)了高地應(yīng)力低斷裂韌性和低地應(yīng)力高斷裂韌性兩種情況。對于高地應(yīng)力低斷裂韌性地層，分別設(shè)σh,2為65 MPa，KIC,2為0.5 MPa·m1/2

和σh,5為 65 MPa，KIC,5為 0.5 MPa·m1/2（見圖9a 和圖9c）。結(jié)果表明當(dāng)?shù)貞?yīng)力高時(shí)，裂縫尖端生長緩慢，即使地層巖石的斷裂韌性較小，縫高也沒有出現(xiàn)頻繁的跳躍生長的失穩(wěn)現(xiàn)象。對于低地應(yīng)力高斷裂韌性地層，分別設(shè)σh,2為 45 MPa，KIC,2為 10.5 MPa·m1/2和σh,5為 45 MPa，KIC,5為 10.5 MPa·m1/2（見圖9b 和圖9d）。盡管地層巖石斷裂韌性比較高，但地應(yīng)力較小，裂縫高度擴(kuò)展較快，甚至在裂縫尖端出現(xiàn)了突破和跳躍式失穩(wěn)增長，說明地層應(yīng)力對裂縫縫高的生長起主要控制作用，地層巖石斷裂韌性只能在一定程度上對高度生長起抑制作用。

圖9 斷裂韌性與地應(yīng)力共同作用對裂縫縫高生長的影響

3.6 上覆地層與射孔層應(yīng)力差對裂縫縫高生長的影響

將上覆地層（第2層）與射孔層應(yīng)力差Δσ設(shè)置為-8，0，8，16 MPa，應(yīng)用本文模型計(jì)算并繪制裂縫高度生長變化曲線。上覆地層與射孔層應(yīng)力差為-8，0 MPa時(shí)，上覆地層地應(yīng)力小于等于射孔層的地應(yīng)力，地應(yīng)力對裂縫縫高生長無法起到阻擋作用，在射孔層裂縫起裂后，裂縫縫高擴(kuò)展突破射孔層和上覆地層（見圖10a和圖10b）。隨著上覆地層地應(yīng)力增加，上覆地層地應(yīng)力大于射孔層地應(yīng)力，應(yīng)力差逐步增大，裂縫向上覆地層的擴(kuò)展變得困難，較于圖10a和圖10b，裂縫在上覆巖層中增長相對緩慢（見圖10c和圖10d）。上覆地層與射孔層應(yīng)力差的增加，有效阻止裂縫縫高向上延伸，對裂縫縫高生長起到了明顯的抑制作用。

3.7 壓裂液密度對裂縫縫高生長的影響

分別設(shè)定壓裂液密度為 1.0×103，1.2×103，1.4×103，1.6×103kg/m3，計(jì)算分析壓裂液密度對裂縫縫高生長的影響（見圖11）。隨著壓裂液密度的增大，裂縫內(nèi)壓裂液的重力增大，作用在裂縫下端的凈壓力數(shù)值將大于裂縫上端，且密度越大，裂縫上下端凈壓力差值越大，使裂縫上尖端的生長減緩，下尖端生長加快，從而影響整個(gè)裂縫高度形態(tài)；當(dāng)壓裂液密度較小時(shí)，裂縫上下端凈壓力差值較小，即應(yīng)力強(qiáng)度因子差別小，通常上部地層地應(yīng)力逐漸減小，巖石壓實(shí)變差，斷裂韌性也減小，裂縫縫高容易向上部地層延伸到達(dá)地層頂界面。這對于實(shí)際壓裂施工具有很好的指導(dǎo)意義，如想控制裂縫在地層中的縫高延伸，可在一定程度上通過控制壓裂液密度來實(shí)現(xiàn)，通過設(shè)置合適的壓裂液密度來控制裂縫下端和上端在地層中的延伸。

圖10 上覆地層與射孔層應(yīng)力差對裂縫縫高生長的影響

圖11 壓裂液密度對裂縫縫高生長的影響

3.8 討論

由上述計(jì)算實(shí)例可以看出，地層的應(yīng)力條件、地層巖石斷裂韌性以及壓裂液密度等因素對裂縫的縫高擴(kuò)展均存在不同程度的影響，應(yīng)用本文建立的縫高求解模型能夠?qū)Ω邞?yīng)力多分層地層的壓裂縫高進(jìn)行計(jì)算和預(yù)測。但在建立縫高求解模型時(shí)，為了簡化計(jì)算，忽略了一些因素對縫高擴(kuò)展的影響，如裂縫中流體在縫高方向的流動(dòng)壓降，和地層巖石斷裂韌性受地應(yīng)力以及裂縫擴(kuò)展的影響。今后仍需開展相關(guān)研究來進(jìn)一步完善本文縫高模型，使該模型更好地應(yīng)用于現(xiàn)場壓裂的縫高計(jì)算和預(yù)測。另外，本文模型主要研究了不同條件下裂縫內(nèi)壓裂液壓力對裂縫高度生長的影響，并沒有建立裂縫延伸的三維模型，所以無法實(shí)現(xiàn)裂縫長度和高度生長的耦合計(jì)算。

4 結(jié)論

水力壓裂的裂縫縫高在生長過程中，會(huì)呈現(xiàn)出階梯生長的擴(kuò)展形態(tài)，且裂縫縫高越大，階梯生長的現(xiàn)象越明顯。地應(yīng)力對水力裂縫縫高的擴(kuò)展有重要影響，當(dāng)?shù)貞?yīng)力較小，即本文實(shí)例中下伏地層地應(yīng)力或上覆地層地應(yīng)力低于45 MPa時(shí)，裂縫尖端容易發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展，縫高迅速增長；而隨著地應(yīng)力的增加，下伏地層地應(yīng)力或上覆地層地應(yīng)力達(dá)到55 MPa時(shí)，裂縫縫高擴(kuò)展變得越來越困難。地應(yīng)力對裂縫縫高的生長起主要控制作用，地層巖石斷裂韌性只能在一定程度上對裂縫高度生長起到抑制作用。壓裂液密度的增大有利于裂縫下尖端的擴(kuò)展，當(dāng)壓裂液密度低于1.2×103kg/m3時(shí)，裂縫縫高容易向上部地層延伸，隨著壓裂液密度的增大裂縫縫高則主要向下部地層延伸。

符號注釋：

a——水力裂縫半高，m；B——考慮塑性區(qū)影響的裂縫半高，m；C——未考慮塑性區(qū)影響的裂縫半高，m；dref——射孔位置垂直深度，m；dmid——裂縫中部垂直深度，m；e——塑性區(qū)尺寸，m；g——重力加速度，m/s2；hi——第i層地層的厚度，i=1，2，…n，m；KIC——地層巖石斷裂韌性，MPa·m1/2；KI——應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；K′——塑性區(qū)內(nèi)等效裂縫面間拉應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；K′——考慮裂縫尖端塑性區(qū)影響時(shí)裂縫尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；KI-——不考慮縫尖塑性區(qū)影響時(shí)裂縫上尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；KI+——不考慮縫尖塑性區(qū)影響時(shí)裂縫下尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；KI2-——考慮塑性區(qū)影響后上尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；KI2+——考慮塑性區(qū)影響后下尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；KI′+——裂縫下端塑性區(qū)使裂縫閉合的應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m1/2；n——總地層數(shù)；pmid——裂縫中部的壓裂液壓力，MPa；pnet——裂縫內(nèi)任一點(diǎn)流體凈壓力，MPa；pref——射孔位置的壓裂液泵注壓力，MPa；r——裂縫端部塑性區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)到裂縫端部的距離，m；r1——裂縫端部塑性區(qū)半徑，m；x——水力裂縫縫高擴(kuò)展方向，m；y——水力裂縫縫寬擴(kuò)展方向，m；θ——以裂縫端部為極坐標(biāo)端點(diǎn)，到塑性區(qū)任一點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的極角，（°）；υ——巖石泊松比，無因次；ρ——壓裂液密度，kg/m3；σ——分布載荷，MPa；σy——裂縫面間相互作用的拉應(yīng)力，MPa；σh,i——第i層地層的水平最小主應(yīng)力，i=1，2，…，n，MPa；σ1，σ2，σ3——裂縫端部任一點(diǎn)的3個(gè)主應(yīng)力，MPa。下標(biāo)：i——第i層地層；d——下端；u——上端。