Doubling Fock空間之間的正Toeplitz算子

簡舒曼， 王曉峰， 夏 錦

(廣州大學數(shù)學與信息科學學院，廣州 510006)

1 引 言

記C為復平面.令D(z,r)={w∈C:|w-z|0.若對于復平面C上的正Borel測度,存在常數(shù)C>0使得

μ(D(z,2r))≤Cμ(D(z,r)),

r>0,稱μ為doubling測度,其中z∈C.

設dA為C上的Lebesgue面積測度，φ次調(diào)和、實值且不恒為0,μ=ΔφdA為doubling測度.則對任意z∈C,總存在函數(shù)ρ(z)使得μ(D(z,ρ(z)))=1.稱ρ(z)為正半徑.函數(shù)ρ-2可看做是φ的正規(guī)化.

設H(C)為C上的全體整函數(shù),加權(quán)Fock空間Fp(φ)定義為

Fp(φ)=Lp(φ)∩H(C).

令K(·,·)為F2(φ)的Bergman核,即對于f∈F2(φ)，

若μ為C的Borel測度,合測度μ符號的Toeplitz算子定義為

對經(jīng)典Fock空間上Toeplitz算子，已有很多結(jié)果, 如文獻[6].當μ>0時，Isralowitz和Zhu[7]刻畫了經(jīng)典Fock空間上正測度符號Toeplitz算子Tμ的有界性和緊性,其中測度μ滿足

Schuster與Varolin[8]利用均值函數(shù)與t-Berezin變換刻畫了廣義Fock空間上Toeplitz算子Tμ的有界性和緊性及其充要條件.Hu等人[9]利用Fock-Carleson測度刻畫了廣義Fock空間Fp(φ)與Fq(φ)之間的Toeplitz算子的有界性與緊性,其中0

在文獻[13]中，Hu和Lv討論了加權(quán)doubling Fock空間Fp(φ)與Fq(φ)之間的以正測度符號的Toeplitz算子的有界性與緊性的充要條件,其中0

在證明本文結(jié)果前，先介紹一些記號.對兩個量A和B,AB表示存在無關緊要的常數(shù)C使得A≤CB,A?B表示AB和BA同時成立.

其中Dr(z)=D(z,rρ(z)),r>0,z∈C.對于p>0,z∈C,Fp(φ)中的正規(guī)化Bergman核定義為

給定t>0,設μ的t-Berezin變換定義為

2 預備知識

引理2.1[13]加權(quán)Fock空間Fp(φ)滿足如下性質(zhì):

(i) 給定p,t>0,實數(shù)k,存在C>0使得

其中z∈C;

(ii) 對于0

其中z∈C；

(iv) 存在與z,w無關的常數(shù)ε,C,z,w∈C使得

(v) 存在常數(shù)r0使得

其中z∈C,w∈Dr0(z).

引理2.2[13]設00.則存在常數(shù)C,f∈H(C),使得

其中z∈C,

引理2.3[13]設0

引理2.4[13]設{ak}k為一個r-格.對于0

證明 由文獻[13],當0

命題真.

引理2.6[13]設0

(i)Tμ:Fp(φ)→Fq(φ)有界;

引理2.7[13]設0

(i)Tμ:Fp(φ)→Fq(φ)緊;

引理2.8[13]設0

(i)Tμ:Fp(φ)→Fq(φ)有界;

(ii)Tμ:Fp(φ)→Fq(φ)緊;

3 具有正測度符號的Toeplitz算子

定理3.1設0

(i)Tμ:Fp(φ)→F∞(φ)有界;

證明 由引理2.3,(iii)?(iv)成立，且

由引理2.6知

(iv)?(ii)成立.

則

定理3.2設0

(i)Tμ:Fp(φ)→F∞(φ)緊;

證明 由定理3.1，(iii)?(iv)和(ii)?(iii)顯然成立.由引理2.7可知(iv)?(ii)成立.

(i)?(ii).設Tμ:Fp(φ)→F∞(φ)緊.由引理2.1(v)知{kp,z:z∈C}在Fp(φ)有界，且在任意緊子集上一致收斂于0.則

定理3.3設0

(i)Tμ:F∞(φ)→Fq(φ)有界;

(ii)Tμ:F∞(φ)→Fq(φ)緊;

證明 由定理3.1,(iii)?(iv)?(v),(ii)?(i)成立.下證(i)?(v),(iv)?(i)及(iv)?(ii).

(i)?(v).對任意一r-格{ak}k,{λk}k∈l∞,令

由引理2.4，

則

由Khinchine不等式和Tμ的有界性有

另一方面,由{ak}k的r-格性質(zhì)知

則