例說高考函數(shù)壓軸題中的放縮策略

江蘇省無錫市洛社高級(jí)中學(xué)

縱觀近三年的全國(guó)卷試題,零點(diǎn)問題是函數(shù)壓軸題中的常客,每年都考.此類問題將函數(shù)、不等式、方程等知識(shí)綜合在一起,靈活多變,能有效地區(qū)分出學(xué)生在數(shù)學(xué)能力上的不同水平,故而廣受命題者青睞.從知識(shí)層面看,零點(diǎn)存在性定理是解決這類問題必不可少的工具,而應(yīng)用該定理的關(guān)鍵在于構(gòu)造異號(hào)函數(shù)值,這是頗具技巧性的一步.標(biāo)準(zhǔn)答案常給人眼前一亮的感覺,讓筆者驚嘆背后蘊(yùn)含的解題智慧.然而,解法固然精妙,卻略顯突兀,難以推廣.

波利亞說過:“掌握數(shù)學(xué)就意味著學(xué)會(huì)解題”.筆者認(rèn)為,解法是否自然,是教會(huì)學(xué)生解題的一個(gè)很重要的因素.基于這樣的觀點(diǎn),經(jīng)過深入的思考和實(shí)踐,筆者發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出解此類題的一種方法,簡(jiǎn)稱為放縮.這一方法的適用范圍更廣,不僅能處理零點(diǎn)問題,在其它函數(shù)問題中也有應(yīng)用,符合解題教學(xué)提倡的“注重通性通法,淡化特殊技巧”.下面通過具體問題的分析,介紹幾種常用的放縮策略.

一 觀察結(jié)構(gòu),代數(shù)變形

通過觀察,發(fā)現(xiàn)式子的結(jié)構(gòu)特征,與熟悉的代數(shù)公式產(chǎn)生聯(lián)系.這種情況下,可先做一點(diǎn)代數(shù)上的變形,給接下來的放縮帶來方便.

題目1(2018年高考全國(guó)2卷文科第21題)已知函數(shù)

(1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

解僅討論第二問.

從而g(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).

思路分析先分離a,將f(x)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為g(x)的零點(diǎn),便于求導(dǎo)討論單調(diào)性.從g(x)的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到公式通過變形再利用的有界性,這是放縮的依據(jù).

二 分清主部,目的使然

函數(shù)表達(dá)式中,各部分對(duì)函數(shù)變化趨勢(shì)的影響是不同的.決定函數(shù)變化趨勢(shì)的項(xiàng),筆者稱之為主部,其它項(xiàng)則稱為副部.舉個(gè)例子,對(duì)于函數(shù)y=(x >0),當(dāng)x→+∞時(shí),ex是主部;當(dāng)x→0時(shí),是主部.放縮的過程就是保留主部,略去副部的過程.

題目2(2018年高考全國(guó)2卷理科第21題)已知函數(shù)

(1)若a=1,證明:當(dāng)x ≥0時(shí),f(x)≥1;

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn),求a.

解f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)?在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn).

由(1),ex > x2(x >0),從而時(shí),當(dāng)取有g(shù)(x2)>0.所以g(x)在(0,2)和(2,+∞)各有一個(gè)零點(diǎn),即g(x)在(0,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn).

思路分析先分離a,將f(x)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為g(x)的零點(diǎn).對(duì)于函數(shù)g(x),當(dāng)0< x <2時(shí),是主部,利用ex的有界性,將ex縮小為1;當(dāng)x >2時(shí),ex是主部,結(jié)合(1)利用不等式將x2放大為

當(dāng)0< x <2時(shí),

三 借助常用不等式

指對(duì)數(shù)型函數(shù)在高考中頗為常見,下面列出幾個(gè)與之相關(guān)的不等式,它們的證明非常簡(jiǎn)單,故此處略去.

(1)ex ≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).

(2)ex ≥ex,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).

(3)lnx ≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).

可以發(fā)現(xiàn),這幾個(gè)不等式把指對(duì)數(shù)函數(shù)放縮為一次函數(shù),這是一個(gè)飛躍.

題目3(2017年高考全國(guó)1卷理科第21題)已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

解僅討論第(2)問.

若a ≤0,則f′(x)≤0,故f(x)在(-∞,+∞)遞減,與f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)矛盾.所以a>0.

令f′(x)=0 解得x=-lna,易知f(x)在(-∞,-lna)遞減,(-lna,+∞)遞增.

一方面,x<0時(shí),f(x)>(a-2)ex-x>a-2-x,當(dāng)x10.

另一方面,f(x)=ex(aex+a-2)-x,令aex+a-2>1,即取有f(x2)>ex2-x2≥1>0.所以f(x)在(x1,-lna)和(-lna,x2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上得到0

思路分析常規(guī)方法得出01 即可保證f(x)>0.

四 數(shù)形結(jié)合,圖象放縮

數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法.如果函數(shù)圖象容易作出,不妨從圖象入手,或許可以打開思路.

題目4(2018年高考全國(guó)3卷理科第21題)已知函數(shù)

(1)若a=0,證明:當(dāng)-1< x <0時(shí),f(x)<0; 當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0;

(2)若x=0 是f(x)的極大值點(diǎn),求a.

解僅討論第(2)問.

若a ≥0,則由(1),當(dāng)x>0時(shí)有f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0,與x=0 是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾,因此a<0.

設(shè)g(x)=f′(x)?

設(shè)h(x)=g′(x),則

1°當(dāng)x ∈(-1,0)時(shí),h′(x)>0,h(x)在(-1,0)遞增;當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)遞減.當(dāng)x ∈(-1,+∞)時(shí),g′(x)=h(x)≤h(0)= 0,g(x)在(-1,+∞)遞減.當(dāng)x ∈(-1,0)時(shí),f′(x)=g(x)>g(0)=0,f(x)在(-1,0)遞增;當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),f′(x)=g(x)< g(0)= 0,f(x)在(0,+∞)遞減.故x=0 是f(x)的極大值點(diǎn).

2° h′(0)>0?-0 即h′(x)>0.則g′(x)=h(x)在(-ε,ε)上遞增.當(dāng)x ∈(-ε,0)時(shí),g′(x)< g′(0)= 0; 當(dāng)x ∈(0,ε)時(shí),g′(x)> g′(0)= 0.f′(x)=g(x)在(-ε,0)遞減,(0,ε)遞增.故當(dāng)x ∈(-ε,ε)時(shí),f′(x)>f′(0)=0,即f(x)在(-ε,+ε)遞增,和x=0 是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾.

圖1

3° h′(0)<0同理,存在區(qū)間(-ε,ε),h′(x)<0.類似2°的討論,f(x)在(-ε,ε)遞減,和x=0 是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,a=

思路分析通過求導(dǎo)至三階,以0的情形為例,用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn),存在0的鄰域,使得h′(x)>0.問題是如何用中學(xué)數(shù)學(xué)的語言將其表述出來,仍考慮放縮.由于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是我們非常熟悉的,因此嘗試從圖象角度出發(fā),直接得到了我們想要的區(qū)間.

可以發(fā)現(xiàn)這四種放縮策略是一個(gè)整體,使用時(shí)往往需要綜合起來.當(dāng)然,放縮技巧千變?nèi)f化,值得進(jìn)一步去探究.筆者陳述的也僅僅是一己之見,希望與大家分享交流.