數(shù)形結(jié)合在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

曾國(guó)鋒

進(jìn)入初中階段，函數(shù)內(nèi)容是重點(diǎn)知識(shí)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，同時(shí)又是“數(shù)形結(jié)合”思想方法體現(xiàn)得很充分的一個(gè)內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用能夠?yàn)楹瘮?shù)問(wèn)題的解決提供便利，本文從初中數(shù)學(xué)函數(shù)分析入手，對(duì)數(shù)形結(jié)合法在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用策略進(jìn)行探討，介紹一些解題技巧和教學(xué)方法。

一、利用數(shù)形對(duì)比學(xué)習(xí)函數(shù)圖像的性質(zhì)以及函數(shù)的變換

函數(shù)圖像可以直觀的研究函數(shù)性質(zhì)，從圖像上可以觀察函數(shù)的變化規(guī)律，整體上把握函數(shù)的性質(zhì)，但是難以深入局部和細(xì)節(jié)。而解析式可以對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)表達(dá)，但理解起來(lái)比較抽象，不夠直觀。所以我們通常會(huì)把函數(shù)圖像和解析式結(jié)合起來(lái)，研究函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)單，明了。如從一條具體的拋物線，指出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口方向，在y軸上的截距，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)值y隨x增大而增大的x的取值范圍，y隨x增大而減小的x的取值范圍等。相反，從一條解析式也可以得出函數(shù)圖像的有關(guān)性質(zhì)。在講授二次函數(shù)的圖像性質(zhì)時(shí)，數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)貫穿二次函數(shù)討論的始終，對(duì)于最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2的研究就是從畫(huà)這個(gè)函數(shù)的圖像開(kāi)始，然后通過(guò)圖像了解它的性質(zhì)，其后的二次函數(shù)的研究，也都展現(xiàn)了從解析式到圖像，從圖像到性質(zhì)的過(guò)程。

在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，可以從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的順序通過(guò)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行討論，每一個(gè)解析式的特點(diǎn)在坐標(biāo)系上如何變化，圖像上的特點(diǎn)在解析式上表現(xiàn)在哪些數(shù)，有哪些規(guī)律？通過(guò)圖形與數(shù)的對(duì)比總結(jié)出特點(diǎn)，如：y=x2的圖像最基礎(chǔ)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），比較y=x2+1和y=x2-1的圖像特點(diǎn)，“數(shù)”上與y=x2比較多了加1或者減1，“圖”上如何變化呢，讓學(xué)生觀察，得出：形狀不變，位置是向左或者向右移動(dòng)了一個(gè)單位而已。再探討y=（x+1）2和y=（x-1）2的圖像特點(diǎn)，從數(shù)形上對(duì)比得出：在y=x2的圖像基礎(chǔ)上，形狀不變，只是位置向上或者向下移動(dòng)了一個(gè)單位而已。最后綜合起來(lái)探討y=（x+1）2+1的圖像特點(diǎn)，從“數(shù)”上看有什么變化，從“圖”上看有哪些變化，通過(guò)圖形結(jié)合，可以對(duì)整個(gè)二次函數(shù)的圖像特點(diǎn)一目了然，總結(jié)出二次函數(shù)的性質(zhì)。

二、利用數(shù)形結(jié)合理解一次函數(shù)與方程

例如，講解《一次函數(shù)與方程》問(wèn)題3時(shí)，由于兩氣球上升的速度不同，開(kāi)始時(shí)A號(hào)氣球高，B號(hào)氣球低，那么永遠(yuǎn)如此嗎？什么時(shí)刻B號(hào)氣球的高度趕上A號(hào)氣球的高度、怎樣從數(shù)和形兩方面分別加以研究。我們可以把學(xué)生分成兩組，一組同學(xué)從數(shù)量關(guān)系的角度研究，另一組同學(xué)從圖形的角度研究。（1）從數(shù)量關(guān)系的角度研究：A號(hào)氣球的高度與時(shí)間關(guān)系為y=0.5x+15;B號(hào)氣球的高度與時(shí)間關(guān)系為y=x+5。當(dāng)兩氣球在同一時(shí)刻的高度相同時(shí)，時(shí)間a和高度b同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)方程，也就是由這兩個(gè)方程組成的方程組的解。

因此，氣球上升20min時(shí)，它們的高度相同，都是25m。

（2）從圖形的角度研究：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖，從中發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=20時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，都是25。也就是說(shuō)，兩直線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（20，25）。

由上可知，每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線。從“數(shù)”的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于求自變量為何值時(shí)相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是多少;從“形”的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條相應(yīng)直線交點(diǎn)的坐標(biāo)。

三、利用數(shù)形結(jié)合的方法理解函數(shù)與不等式

（1）一次函數(shù)與不等式

例如，解不等式如ax+b>0（或<0）類(lèi)型時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大于0（或小于0）時(shí)自變量的取值范圍，可以通過(guò)圖形得出自變量的取值范圍?！皵?shù)”可以解不等式得出答案，“形”也可以通過(guò)下圖這個(gè)一次函數(shù)的圖像來(lái)得出答案，通過(guò)數(shù)形結(jié)合把一次函數(shù)與不等式的聯(lián)系理解透徹。

（2）二次函數(shù)與不等式

例如，講解二次函數(shù)y=ax2+bx+c自變量取值范圍時(shí)，當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)值大于0（小于0）。

如果從代數(shù)的方式去解決這個(gè)問(wèn)題的話比較麻煩，比如，ax2+bx+c>0，在初中階段還沒(méi)有學(xué)會(huì)這個(gè)內(nèi)容，是解不出來(lái)的，但從圖像上去分析，推出答案就比較容易理解了，首先看拋物線與x軸的交點(diǎn)，在y軸的正半軸方向的部分就是函數(shù)值大于0，在y軸的負(fù)半軸的部分就是函數(shù)值小于0，從而確定x的取值范圍，比較特殊的就是拋物線可能與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或者沒(méi)有交點(diǎn)，那么這個(gè)從圖像上面就更容易分析了，所以，數(shù)形結(jié)合在二次函數(shù)的解題上應(yīng)用是非常廣泛的，而且作用很大，有些題目還必須通過(guò)圖像來(lái)得出結(jié)果的。

四、利用數(shù)形結(jié)合，理解有難度知識(shí)

（2）如圖，求出一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍。

本題從解不等式角度去解的話，對(duì)初中生來(lái)講同樣是一個(gè)很難的問(wèn)題，但從圖像來(lái)理解，就變得簡(jiǎn)單多了。首先找出直線和 拋物線的交點(diǎn)，如圖在橫坐標(biāo)上分別是-2和1，那么把它分成兩大部分，觀察當(dāng)x<-2或x>1時(shí)，直線在拋物線的上方，那么理解到一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值，當(dāng)-21。

函數(shù)知識(shí)在整個(gè)初中數(shù)學(xué)階段占據(jù)一定的比重，很多學(xué)生都望而卻步，學(xué)起來(lái)非常吃力，所以學(xué)習(xí)解題思維方法至關(guān)重要。數(shù)形結(jié)合的思維方式在函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中起到了關(guān)鍵作用，學(xué)生聽(tīng)起來(lái)也容易理解，教師講授起來(lái)也比較有條理，特別是在初中函數(shù)這一難度知識(shí)上，熟練地應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法會(huì)把繁雜的內(nèi)容簡(jiǎn)單起來(lái)，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)非常重要的思維方法。