核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)研究

李向婷

[摘 ?要] 文章以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷為例，分析學(xué)生核心素養(yǎng)在高考數(shù)學(xué)試題中的考查情況，對(duì)核心素養(yǎng)的考查呈現(xiàn)出以基礎(chǔ)為載體，對(duì)多個(gè)素養(yǎng)綜合性考查以及六大素養(yǎng)考查不均衡等特點(diǎn).

[關(guān)鍵詞] 課程標(biāo)準(zhǔn);高考數(shù)學(xué);核心素養(yǎng)

引言

2017年教育部頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，并指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析[1]. 每一個(gè)素養(yǎng)都對(duì)應(yīng)劃分成了3個(gè)水平，其中高考數(shù)學(xué)命題水平依據(jù)主要參照水平二.

在已有研究中，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵[2-5]、構(gòu)成要素及特征[6-8]、教學(xué)培養(yǎng)[9-13]的研究較多，較少有對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測(cè)評(píng)研究，且集中于初中學(xué)段，高中學(xué)段甚少. 如殷容儀、周雪兵、李賀等人分別對(duì)初二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，分析出六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的現(xiàn)狀結(jié)果[14-19]. 李作濱分析高考中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查情況以2018年高考為例[20]. 陳影等人例析高考試題對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查， 以2016年四川省高考數(shù)學(xué)卷為例[21]. 本文從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角例析高考數(shù)學(xué)試題，以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷為例，以窺探數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷如何考查核心素養(yǎng)，進(jìn)一步探析對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查呈現(xiàn)出的特點(diǎn).

研究對(duì)象

1. 研究對(duì)象的選取

全國(guó)Ⅱ卷適用范圍?。ㄊ校┌ㄖ貞c等共計(jì)10個(gè)?。ㄊ校液w內(nèi)蒙古、寧夏和新疆等以少數(shù)民族為主的地區(qū)，覆蓋地區(qū)范圍廣、民族多樣，2019年使用人數(shù)約達(dá)197萬(wàn)，因此選取高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷具有一定的代表性.

2. 研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征

使用全國(guó)Ⅱ卷的10個(gè)?。ㄊ校瑑H重慶和遼寧于2018實(shí)行新一輪的高考綜合改革，故2019全國(guó)Ⅱ卷仍然有文理卷之分.數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷與2018年相比結(jié)構(gòu)不變，各部分所占分值比例保持不變.但文理同題情況有所改變，詳情見(jiàn)表1.

從表1可知，2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷文理同題共有9道，分值達(dá)56分，占總分的37.3%，相對(duì)較高. 進(jìn)一步分析表1發(fā)現(xiàn)，文理科相同題目的設(shè)置集中在以選擇題為主的客觀題，但所處位置有所不同，這也體現(xiàn)文理卷為適應(yīng)不同學(xué)生難度的不同.

核心素養(yǎng)的考查分析

1. 直觀想象素養(yǎng)

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)[1]. 全國(guó)Ⅱ卷中有多題對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的考查，如理數(shù)第7、11、16、17題，文數(shù)第12、16、17題等，下面以理數(shù)第11題為例進(jìn)行說(shuō)明.

（5分，理數(shù)第11題）設(shè)F為雙曲線C： - =1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)坐標(biāo)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點(diǎn)，若OF=PQ，則C的離心率為（ ? ?）

A. ? ? ? ?B.

C. 2 ? ? ?D.

解析：依題意作出圖形，如圖1所示.

圖1

設(shè)M為圓心，因?yàn)镺F=PQ且F為右焦點(diǎn)，所以O(shè)M=MP= . 又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=a2上，所以O(shè)P=a. 故在Rt△OMP中有OM2+MP2=OP2，即

+ ?=a2，整理得出e= .

本題考查雙曲線離心率的求法，根據(jù)題干之意得出圖1所示的示意圖，這樣做就將數(shù)形之間的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型構(gòu)建出來(lái)，進(jìn)而探索出將雙曲線離心率問(wèn)題放到Rt△OMP中得出含有a，c的等式的問(wèn)題解決思路.學(xué)生不僅要掌握關(guān)于雙曲線、圓的基本知識(shí)點(diǎn)，還要將數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何圖形，借助幾何直觀去理解問(wèn)題，故該題是一道從基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)的綜合性題目，但偏重于對(duì)直觀想象素養(yǎng)的考查，從側(cè)面也反映出高考數(shù)學(xué)對(duì)核心素養(yǎng)的考查是以基本知識(shí)技能為載體的.

2. 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)[1]. 數(shù)學(xué)學(xué)科是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的主要學(xué)科，全國(guó)Ⅱ卷有多題對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)進(jìn)行考查，如理數(shù)第16題.

（5分，理數(shù)第16題）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或者圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信是“半正多面體”（圖2）. 半正多面體是由兩種或者兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，圖3是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則該半正面體共有______個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)_____. （本題第一空2分，第二空3分.）

解析：（1）由圖3可以得到上層8個(gè)面，中層8個(gè)面，下層8個(gè)面，上下底各1個(gè)面，共26個(gè)面.

（2）作出該幾何體的截面圖，如圖4所示，若設(shè)棱長(zhǎng)為a，則CD= ，CE=a.又△CDE為等腰直角三角形，則 × =a，解得a= -1，則棱長(zhǎng)為 -1.

圖4

此題考查學(xué)生的閱讀理解和空間想象能力.第1空的關(guān)鍵是抓住題干的“對(duì)稱”二字，即可數(shù)出面數(shù)，在這個(gè)過(guò)程中讓學(xué)生進(jìn)一步感受了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查體現(xiàn)在第2空中需要從圖3中抽象出圖4的截面圖，這是解題的關(guān)鍵，把立體的圖形抽象出來(lái)放在平面幾何中研究是解決立體幾何的重要手段.此外該題將5分拆成2分+3分，使不同程度的學(xué)生拿到不同分?jǐn)?shù)，具有更好的區(qū)分度，擺脫以往高考填空壓軸題一個(gè)空，大部分學(xué)生拿不到分的局面.此題不僅考查數(shù)學(xué)抽象，還重點(diǎn)考查了直觀想象的素養(yǎng)，是一道綜合性題目，對(duì)學(xué)生的抽象思維和空間想象思維要求較高.

3. 邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)[1].全國(guó)Ⅱ卷中理數(shù)第6、12、17、19、21題，文數(shù)第5、17、21題等都是對(duì)學(xué)生邏輯推理的考查，以文數(shù)第5題為例進(jìn)行說(shuō)明.

（5分，文數(shù)第5題）在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè). 甲：我的成績(jī)比乙高. 乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙：我的成績(jī)比乙高.

成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)椋?? ?）

A. 甲、乙、丙 ? ?B. 乙、甲、丙

C. 丙、乙、甲 ? D. 甲、丙、乙

解析：由題知，甲>乙，丙>乙且丙>甲，丙>乙. 因僅1人正確，故需分3種情形進(jìn)行討論：①若甲正確，乙丙均錯(cuò);②若乙正確，甲丙均錯(cuò);③若丙正確，甲乙均錯(cuò). ①若甲正確，乙丙均錯(cuò)，則乙丙的否定就正確. 乙的否定為：丙≤乙或丙≤甲，丙的否定為：丙≤乙，又甲>乙，故三者同時(shí)成立為：甲>乙>丙，即選A. 同理得到②③種情形出現(xiàn)矛盾，故不成立.

此題以命題等學(xué)科知識(shí)為載體，要求學(xué)生能夠利用題目中給出的已知條件，將問(wèn)題分為3種不同的情況分別進(jìn)行邏輯推理，進(jìn)而判斷是否符合題意. 首先學(xué)生要有嚴(yán)謹(jǐn)分類討論思想，其次使用邏輯“錯(cuò)誤的否定為正確”進(jìn)行推理，這些思想貫穿數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的始終，有利于培養(yǎng)學(xué)生全面思考問(wèn)題的思想意識(shí).該題既落實(shí)了對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的考查，又于無(wú)形中培養(yǎng)了學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷.

4. 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)[1]. 縱觀發(fā)達(dá)國(guó)家（如新加坡、美國(guó)）的數(shù)學(xué)課程，不難發(fā)現(xiàn)都非常強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力主要的方式就是通過(guò)數(shù)學(xué)建模，在建模的過(guò)程中應(yīng)用所學(xué)知識(shí).

在2018年的全國(guó)Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)中沒(méi)有重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的解答題[20]，但理科數(shù)學(xué)中有一道解答題. 經(jīng)過(guò)對(duì)2019年的全國(guó)Ⅱ卷文理卷分析可見(jiàn)，均無(wú)以考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為主的解答題，這與新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重視存在矛盾，可能是與新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施還處于銜接狀態(tài)的緣故，在接下來(lái)的高考試卷中可能會(huì)加大含數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)題目的比例，使得對(duì)核心素養(yǎng)的考查更加全面.

5. 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)[1]. 雖數(shù)學(xué)就是計(jì)算這種認(rèn)識(shí)有偏差，但計(jì)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的伊始，故會(huì)精準(zhǔn)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本功和必備素養(yǎng)，高考中除理數(shù)第7題外，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查是題題覆蓋，處處滲透，僅有運(yùn)算難度不同.

簡(jiǎn)單運(yùn)算的考查例如文理數(shù)第1、2、3題等，運(yùn)算步驟多、稍復(fù)雜需要一定的運(yùn)算技巧的如文理數(shù)第20、21題等，就理數(shù)第21題具體說(shuō)來(lái)考查的是橢圓的定義及性質(zhì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，以考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)為主，對(duì)（2）問(wèn)的解答方式多種多樣，可采用直接法、向量法、橢圓的圓周角定理、整體代入韋達(dá)定理法、點(diǎn)差法等. 運(yùn)算過(guò)程中學(xué)生需要進(jìn)行多步運(yùn)算，首先要確定合理的運(yùn)算思路，根據(jù)題意設(shè)方程等，進(jìn)行含有參數(shù)的運(yùn)算整理，進(jìn)一步表示所需要的結(jié)論，計(jì)算量偏大，運(yùn)算過(guò)程較復(fù)雜，也需要一定的運(yùn)算技巧，是一道難題.

6. 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)素養(yǎng)[1]. 當(dāng)今是大數(shù)據(jù)時(shí)代、“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，因此數(shù)據(jù)分析的應(yīng)用已經(jīng)深入社會(huì)生活的各個(gè)階層和領(lǐng)域，是當(dāng)今及未來(lái)社會(huì)人人都應(yīng)該擁有的一種關(guān)鍵能力. 下面以理數(shù)第5題進(jìn)行說(shuō)明.

（5分，理數(shù)第5題）演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某位選手的原始評(píng)分. 評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分. 7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（ ?）.

A. 中位數(shù) ? ? B. 平均數(shù)

C. 方差 ? ? ?D. 極差

該題從生活中熟悉的情景出發(fā)，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的基本認(rèn)識(shí)和含義，該題的考查有別于以往給定一組簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，而是從對(duì)數(shù)字特征本質(zhì)理解的角度進(jìn)行考查，更能深入地考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析和認(rèn)識(shí).進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，文數(shù)有對(duì)數(shù)據(jù)分析考查的解答題，而理數(shù)沒(méi)有，理科卷對(duì)數(shù)據(jù)分析的考查集中在選擇題和填空題.

核心素養(yǎng)考查的特點(diǎn)分析

通過(guò)對(duì)2019年全國(guó)數(shù)學(xué)Ⅱ卷核心素養(yǎng)的考查分析，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在高考的考查中呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：

（1）對(duì)核心素養(yǎng)的考查仍然注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以集合、函數(shù)、平面向量、數(shù)列等多章的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)為載體進(jìn)行考查，以真實(shí)的情景為依托，結(jié)合我國(guó)發(fā)展建設(shè)題材，更加靈活地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解而不再僅注重記憶的考查. 新一輪課程改革的逐步實(shí)施，將更加靈活把握試卷結(jié)構(gòu)，對(duì)題目的設(shè)置更加具有層次性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的靈活考查，更好地發(fā)揮核心素養(yǎng)導(dǎo)向的育人功能.

（2）對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查并不是獨(dú)立的. 在一道題目中相互交叉融合考查多個(gè)核心素養(yǎng)，主要集中在解答題的立體幾何和解析幾何題目、選擇題及填空題的壓軸題等. 在整體上突出了六大核心素養(yǎng)的綜合性考查，也反映出高考試題的綜合性特點(diǎn).

（3）對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查存在不均衡的現(xiàn)象. 其中考查最多的是數(shù)學(xué)運(yùn)算，較少考查的是數(shù)據(jù)分析，最少的是數(shù)學(xué)建模且今年的Ⅱ卷中幾乎不涉及.

（4）對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查文理卷的側(cè)重點(diǎn)不同. 文理同題數(shù)量為9道，與2018年同題8道相比有所增加[20]，這也進(jìn)一步說(shuō)明文理卷命題更加趨于統(tǒng)一化，對(duì)核心素養(yǎng)的考查將趨向于統(tǒng)一化，進(jìn)一步為新高考數(shù)學(xué)不分文理科的命題做探索.

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[18] 徐德同，錢云祥. 基于質(zhì)量監(jiān)測(cè)的初中學(xué)生直觀想象發(fā)展?fàn)顩r的調(diào)查研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（1）.

[19] 張愛(ài)平，馬敏. 基于質(zhì)量監(jiān)測(cè)的初中學(xué)生數(shù)據(jù)分析發(fā)展?fàn)顩r的調(diào)查研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（1）.

[20] 李作濱. 素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)研究——以2018年高考為例[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（6）.

[21] 陳影，濮安山. 2016年四川省高考數(shù)學(xué)卷對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查例析[J]. 理科考試研究（高中版），2017，24（5）.