用裂項(xiàng)相消求等差乘等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

高春香

[摘 ?要] 文章采用待定系數(shù)法對(duì)等差乘等比數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)，利用“裂項(xiàng)相消”代替“錯(cuò)位相減”對(duì)等差乘等比數(shù)列求和，并證明了此方法的通用性. 用裂項(xiàng)相消對(duì)等差乘等比數(shù)列求和，運(yùn)算量小，且運(yùn)算結(jié)果簡(jiǎn)潔工整.

[關(guān)鍵詞] 等差乘等比數(shù)列;待定系數(shù)法;裂項(xiàng)相消;錯(cuò)位相減

“用錯(cuò)位相減法求等差乘等比數(shù)列的前項(xiàng)和”是高中數(shù)列求和的一種基本類型.錯(cuò)位相減法求和，針對(duì)數(shù)列類型單一，計(jì)算過(guò)程程序化、計(jì)算煩瑣且計(jì)算中存在較多的易錯(cuò)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的計(jì)算水平要求較高. 在實(shí)際教學(xué)中通常存在知道求和方法，但運(yùn)算結(jié)果永遠(yuǎn)算不對(duì)的情況. 筆者在教學(xué)實(shí)踐中尋找到一種代替錯(cuò)位相減的求和新方法，方法簡(jiǎn)單，容易推廣且為通性通法. 現(xiàn)將結(jié)果呈現(xiàn)如下.

例1：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（4n-1）3n，Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求{Sn}的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)an=[λ（n+1）+μ]3n+1-（λn+μ）3n，

則an=[2λn+（3λ+2μ）]3n.

由已知得2λ=4，3λ+2μ=-1，

解得λ=2，μ=- ，

記bn=2n- 3n，則an=bn+1-bn.

Sn=（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn+1-bn）

=（b2+b3+b4+…+bn+1）-（b1+b2+b3+…+bn）

=bn+1-b1

=2n- 3n+1+ ，

綜上Sn=2n- 3n+1+ .

例2：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（kn+t）qn，其中k，t，q為常數(shù)且q≠1. Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求{Sn}的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)an=[λ（n+1）+μ]qn+1-（λn+μ）qn，

則a =[（λq-λ）n+（qλ+qμ-μ）]qn.

由已知得λq-λ=k，qλ+qμ-μ=t，

解得λ= ，μ= - .

記bn=（λn+μ）qn，則an=bn+1-bn，

Sn=（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn+1-bn）

=（b2+b3+b4+…+bn+1）-（b1+b2+b3+…+bn）

=bn+1-b1

=[λ（n+1）+μ]qn+1-（λ+μ）q

= （n+1）+ - qn+1- + - q.

本文采用待定系數(shù)法對(duì)等差乘等比數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消求和，運(yùn)算量較少，運(yùn)算結(jié)果整齊，且為等差乘等比數(shù)列求和的通用方法.