透視橢圓，策略探討，教學(xué)思考

黃水連

[摘 ?要] 橢圓是一種較為特殊的圖形，以其為基礎(chǔ)命制的解析幾何問題具有較強(qiáng)的綜合性，在解法上也極為靈活，基于問題特點(diǎn)可以從不同的角度加以轉(zhuǎn)化突破，例如利用定義、函數(shù)、對(duì)稱性、幾何關(guān)聯(lián)來解析問題. 文章以上述四種解題策略為依托，開展橢圓問題的解法探究，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 橢圓;策略;函數(shù);定義;函數(shù);幾何

解析幾何中的橢圓問題是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問題，由于具有綜合性強(qiáng)、靈活度高、計(jì)算過程復(fù)雜等特點(diǎn)，很容易使學(xué)生解析受阻. 實(shí)際上對(duì)于橢圓問題可以采用相應(yīng)的解析策略來降低思維難度，簡(jiǎn)化過程，下面舉例探析.

橢圓問題的策略探討

策略1：回歸定義

橢圓的定義可以揭示橢圓的本質(zhì)屬性，在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)需要從其定義入手，掌握橢圓的基本特性，只有這樣才能深刻理解橢圓的內(nèi)容本質(zhì). 在解析問題時(shí)可以考慮使用橢圓的基本定義，利用其定義來轉(zhuǎn)化問題，構(gòu)建思路.

例1：線段AB的長(zhǎng)度為dd≥ ，其兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在橢圓 + =1（a>b>0）上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，試求點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線l的最短距離.

解析：設(shè)點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，M，B作右準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)A′，M′，B′，如圖1所示，則就是求MM′的最小值. 可利用橢圓的定義對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即MM′= = ?+ = （AF+BF）≥ = ，當(dāng)且僅當(dāng)AB經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線l的最短距離為 .

總結(jié)：利用定義法來轉(zhuǎn)化問題可以避免煩瑣的運(yùn)算過程，而在定義學(xué)習(xí)時(shí)需要立足幾何特征，深刻理解定義的內(nèi)涵，掌握定義轉(zhuǎn)化問題的思路.

策略2：巧借函數(shù)

解析幾何具有函數(shù)的特性，對(duì)于有些橢圓問題可以借用函數(shù)知識(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)來分析，尤其是函數(shù)的單調(diào)性和最值. 例如分析取值問題時(shí)可以構(gòu)建關(guān)于未知量的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性來確定取值.

例2：橢圓 + =1的左、右端點(diǎn)分別為A和B，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)P位于橢圓上，且在x軸的上方，PA⊥PF，試回答下列問題.

（1）試求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）設(shè)點(diǎn)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到直線AP的距離為MB，試求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M距離的最小值.

解析：（1）略. （2）該問求兩點(diǎn)之間距離的最小值，可以構(gòu)建兩點(diǎn)之間距離的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)來加以分析.AP的方程為x- y+6=0，設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)M到AP的距離為 ， =m-6. 又知-6≤m≤6，可解得m=2. 設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），該點(diǎn)到M的距離為d，則d2= x- ?+15，結(jié)合-6≤x≤6可知當(dāng)x= 時(shí)，d可以取得最小值，且最小值為 ，即橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M距離的最小值為 .

總結(jié)：上述是涉及動(dòng)點(diǎn)的橢圓最值問題，最為簡(jiǎn)潔的方式就是設(shè)定點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的函數(shù)方程，利用函數(shù)性質(zhì)來求解，該思路也是求解橢圓線段最值問題最為有效的方法策略，解析時(shí)需要關(guān)注參數(shù)的取值范圍.

策略3：妙用對(duì)稱

橢圓具有一定的對(duì)稱美，是典型的對(duì)稱圖形，包括軸對(duì)稱和中心對(duì)稱. 在解析問題時(shí)可以從幾何角度觀察，利用橢圓的對(duì)稱性來發(fā)掘結(jié)論，簡(jiǎn)化過程，提高解析效率.

例3：已知橢圓 +y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，點(diǎn)A和B均位于橢圓上，如果 =5 ，試求點(diǎn)A的坐標(biāo).

解析：本題目求橢圓上點(diǎn)A的坐標(biāo)，其核心條件是向量關(guān)系，可以延長(zhǎng)直線AF1，與橢圓的交點(diǎn)為點(diǎn)B1，如圖2所示.橢圓屬于中心對(duì)稱圖形，由其對(duì)稱性可知 = ，進(jìn)而有 =5 ，則可將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的相交問題.根據(jù)橢圓的焦半徑公式可得F1A= ·x1+ ，F(xiàn) B = x2+ ，根據(jù)向量關(guān)系可得 x1+ =5· x2+ ，又知x1+5x2= -6 ，從而可解得x1=0，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，±1）.

總結(jié)：上述利用橢圓的對(duì)稱性進(jìn)行了線段關(guān)系轉(zhuǎn)化，實(shí)際上還可以用于運(yùn)算過程的簡(jiǎn)化. 而在學(xué)習(xí)時(shí)要對(duì)橢圓對(duì)稱性產(chǎn)生深刻的理解，其對(duì)稱性不僅體現(xiàn)在外表上，同樣體現(xiàn)在性質(zhì)特征上，甚至對(duì)應(yīng)方程中.

策略4：幾何關(guān)聯(lián)

解析幾何中的橢圓問題同樣可以視為幾何問題，也可以依托橢圓來構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形，因此在求解某些問題時(shí)可以利用幾何性質(zhì)、結(jié)論來突破求解.

例4：如圖3所示，橢圓C的方程為 + =1，點(diǎn)M是橢圓上的一點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，以M，F(xiàn)1和F2構(gòu)建△MF1F2，設(shè)三角形的內(nèi)心為點(diǎn)I，連接MI，并將其延長(zhǎng)，與F1F2的交于點(diǎn)N，試求 的值.

解析：本題目在橢圓中構(gòu)建了相應(yīng)的三角形，并給出了三角形的內(nèi)心，求相關(guān)線段的長(zhǎng)，需要利用相應(yīng)的幾何知識(shí).設(shè)△MF1F2底邊F1F2上的高為h，點(diǎn)I到x軸的距離就為△MF1F2內(nèi)切圓的半徑，可以設(shè)為r，由等面積法可知S△MF1F2=S△IF1F2+S△MF1I+S△MF2I，即 ·F F ·h= （F1F2+MF1+MF2）r，進(jìn)而可得h= ·r，所以 = = = ，即 的值為 .

總結(jié)：上述在求解線段比值時(shí)利用了幾何上的等面積法，利用面積關(guān)系得出了代數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了問題的求解. 對(duì)于涉及幾何圖形的問題，需要利用幾何與函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，利用幾何與函數(shù)知識(shí)來對(duì)其簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化.

橢圓問題的解析思考

解析幾何中的橢圓問題是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問題之一，上述是對(duì)其問題常用的解析方法和構(gòu)建思路的剖析，同樣適用于同類型解析幾何問題，解題時(shí)需要靈活選用，巧妙轉(zhuǎn)化，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 立足基本定義，牢實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

方法是輔助解題的工具，而定義和性質(zhì)才是問題突破的核心，因此在橢圓問題的學(xué)習(xí)中需要立足基本定義，從橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，逐步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)的解題思路，這也是課堂教學(xué)的正確流程. 教學(xué)時(shí)需要教師引導(dǎo)學(xué)生深入理解定義、性質(zhì)的內(nèi)涵，使學(xué)生掌握利用定義思考問題的方法，逐步內(nèi)化吸收，形成自我的知識(shí)儲(chǔ)備.

2. 關(guān)注知識(shí)關(guān)聯(lián)，拓展解題思維

橢圓問題的突破方法和轉(zhuǎn)化策略是多樣的，但實(shí)際上是對(duì)關(guān)聯(lián)知識(shí)的有效利用，例如利用橢圓與函數(shù)的關(guān)聯(lián)分析最值，利用橢圓與向量的聯(lián)系轉(zhuǎn)化問題等. 因此解析方法的學(xué)習(xí)需要從知識(shí)關(guān)聯(lián)入手，把握知識(shí)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓問題與前后知識(shí)的聯(lián)系，以解析幾何的內(nèi)容特性為基礎(chǔ)展開知識(shí)拓展，構(gòu)建相應(yīng)的知識(shí)體系. 而在考題教學(xué)中可以開展問題變式，一題多解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度思考問題，探索解題方法，提升學(xué)生思維的多樣性.

3. 重視問題總結(jié)，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

開展考題教學(xué)的關(guān)鍵是對(duì)問題進(jìn)行總結(jié)思考，即完成問題探究后還需要對(duì)問題的結(jié)構(gòu)特征、突破思路及方法進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)，反思優(yōu)化點(diǎn)和拓展點(diǎn)，上述就是基于橢圓問題進(jìn)行的策略探究. 從問題的突破過程來看，除了需要靈活利用關(guān)聯(lián)知識(shí)和方法外，還需要結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，例如方程思想、模型思想、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想等，這些思想是解題思路構(gòu)建的基礎(chǔ)，也是解題的靈魂所在. 教學(xué)中需要結(jié)合具體的內(nèi)容來剖析解題思想，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的整體能力.