雙層結(jié)構(gòu)模型預(yù)測(cè)控制算法性能分析

孫浩杰 鄒 濤李麗娟

(1.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所中國(guó)科學(xué)院網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧沈陽(yáng) 110016;2.中國(guó)科學(xué)院機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院,遼寧沈陽(yáng) 110016;3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049;4.南京工業(yè)大學(xué)電氣工程與控制科學(xué)學(xué)院,江蘇南京 211816)

1 引言

模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control,MPC)是先進(jìn)過(guò)程控制策略的典型代表,自20世紀(jì)70年代中期提出以來(lái),在工業(yè)過(guò)程諸多領(lǐng)域中得到成功應(yīng)用[1],現(xiàn)已成為工業(yè)界最受認(rèn)可的先進(jìn)控制解決方案[2-3].

分層遞階結(jié)構(gòu)優(yōu)化控制是目前工業(yè)過(guò)程普遍采用的一種過(guò)程控制架構(gòu)[4],MPC在該體系架構(gòu)中位于核心部位.其上層為實(shí)時(shí)優(yōu)化層(real time optimization,RTO),RTO面向全過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化[5],為MPC提供外部目標(biāo)(external target,ET);下層為基礎(chǔ)控制層,一般為PID控制回路.中間層MPC采用集成穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算(steady state target calculation,SSTC)的雙層結(jié)構(gòu)MPC控制策略,由于穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層通常利用線性規(guī)劃(linear programming,LP)或二次規(guī)劃(quadratic programming,QP)優(yōu)化問(wèn)題實(shí)現(xiàn),一些文獻(xiàn)中也將雙層結(jié)構(gòu)MPC稱為L(zhǎng)P-MPC或QP-MPC[6].

雙層結(jié)構(gòu)MPC在工程實(shí)踐中的成功應(yīng)用引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注并展開相關(guān)研究[7].在國(guó)內(nèi),鄒濤等闡釋了雙層結(jié)構(gòu)MPC在方系統(tǒng)與非方系統(tǒng)中解的相容性與唯一性問(wèn)題[8],并提出雙層結(jié)構(gòu)MPC框架下含積分過(guò)程控制的解決策略[9-10].為雙層結(jié)構(gòu)模型預(yù)測(cè)控制的理論研究奠定了基礎(chǔ),在文獻(xiàn)[11-12]中闡述了雙層結(jié)構(gòu)MPC策略在工業(yè)過(guò)程控制中的實(shí)現(xiàn)策略及應(yīng)用優(yōu)勢(shì).文獻(xiàn)[13-15]將雙層MPC算法推廣至狀態(tài)空間模型下進(jìn)行闡述,對(duì)穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層引入多優(yōu)先級(jí)及約束可行性問(wèn)題進(jìn)行討論,并詳細(xì)描述了其在工程軟件中的實(shí)現(xiàn)流程.以上研究大多針對(duì)雙層結(jié)構(gòu)MPC的基礎(chǔ)理論算法與工程實(shí)施策略,缺乏針對(duì)雙層結(jié)構(gòu)MPC算法性能的系統(tǒng)分析與討論.

Nikandrov等人[16]在假設(shè)穩(wěn)態(tài)模型有偏差的情況下,分析了穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層對(duì)于誤差的靈敏性問(wèn)題.Kassmann等人[17]針對(duì)模型不確定性研究穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算問(wèn)題.Rao等人[18]針對(duì)帶有可測(cè)噪聲的線性時(shí)不變系統(tǒng),采用無(wú)限時(shí)域二次性能指標(biāo),以綜合方法為基本工具給出系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性的結(jié)果.Maeder等人[19]在假設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的前提下,對(duì)雙層結(jié)構(gòu)MPC的無(wú)靜差性進(jìn)行了分析.以上分析均在有條件假設(shè)的鋪墊下得出研究結(jié)論,沒有揭示雙層結(jié)構(gòu)MPC的實(shí)用價(jià)值及內(nèi)在性能優(yōu)勢(shì),從而闡明其被工業(yè)過(guò)程控制所青睞的原因.Ying等人[6]對(duì)雙層結(jié)構(gòu)MPC與常規(guī)MPC在穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性等方面進(jìn)行了分析比較,但在經(jīng)濟(jì)性及控制性能方面的分析較為籠統(tǒng),本文將在其研究基礎(chǔ)上作進(jìn)一步深入分析.

眾所周知,雙層結(jié)構(gòu)MPC的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層具有可行性判定及在優(yōu)化問(wèn)題不存在可行域時(shí)根據(jù)約束優(yōu)先級(jí)等策略進(jìn)行軟約束調(diào)整的功能.本文在假定存在可行域的前提下,立足于分析增加穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層對(duì)常規(guī)MPC算法在控制性能、經(jīng)濟(jì)性能、魯棒性等方面的影響,從而闡明雙層結(jié)構(gòu)MPC相對(duì)于常規(guī)MPC的性能優(yōu)勢(shì).內(nèi)容安排如下:第2小節(jié)對(duì)雙層結(jié)構(gòu)MPC穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層的不同功能模式分別進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹;第3小節(jié)從動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能兩方面討論了穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層對(duì)MPC控制性能方面的影響;第4小節(jié)分析了穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層采用兼有跟蹤控制及經(jīng)濟(jì)優(yōu)化的性能指標(biāo),在滿足對(duì)外部目標(biāo)跟蹤的同時(shí)利用操作自由度對(duì)部分關(guān)鍵經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化來(lái)提升系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)性能;第5小節(jié)簡(jiǎn)單分析了增加穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層對(duì)系統(tǒng)魯棒性的影響;第6小節(jié)是實(shí)驗(yàn)仿真部分,對(duì)所做分析進(jìn)行一一驗(yàn)證.

2 穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層算法描述

雙層結(jié)構(gòu)MPC在實(shí)時(shí)優(yōu)化(RTO)層和常規(guī)MPC層中間增加了局部穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層,其結(jié)構(gòu)框架如圖1所示,所增加的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層一方面可以對(duì)外部目標(biāo)(上層實(shí)時(shí)優(yōu)化器RTO給出或由操作人員設(shè)定)進(jìn)行跟蹤控制,另一方面也可以獨(dú)立完成局部經(jīng)濟(jì)優(yōu)化,并將優(yōu)化結(jié)果傳送至動(dòng)態(tài)MPC作為設(shè)定值.下面將分別對(duì)雙層結(jié)構(gòu)MPC的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化模型及穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層所實(shí)現(xiàn)的不同功能進(jìn)行描述.

圖1 雙層結(jié)構(gòu)MPC結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 The structure diagram of double-layered MPC

2.1 穩(wěn)態(tài)優(yōu)化模型

雙層結(jié)構(gòu)MPC上層穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層采用MPC動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型穩(wěn)態(tài)增益作為穩(wěn)態(tài)優(yōu)化模型,在無(wú)不可測(cè)外部擾動(dòng)的情況下,穩(wěn)態(tài)優(yōu)化模型可描述為

其中:Kssu,Kssf分別表示輸入變量穩(wěn)態(tài)增益矩陣和可測(cè)擾動(dòng)變量穩(wěn)態(tài)增益矩陣,yssT,ussT,fssT分別表示穩(wěn)態(tài)輸出、穩(wěn)態(tài)輸入和過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)時(shí)的可測(cè)擾動(dòng)變量,essk為穩(wěn)態(tài)預(yù)測(cè)誤差修正項(xiàng).由于實(shí)際應(yīng)用中控制輸入輸出變量均以實(shí)際值形式出現(xiàn),而式(1)中輸入輸出使用的是以穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)為基點(diǎn)的相對(duì)值,則將式(1)進(jìn)行變換如下增量形式作為穩(wěn)態(tài)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行應(yīng)用:

2.2 穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算模式

1)外部目標(biāo)跟蹤模式.

穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層對(duì)外部目標(biāo)進(jìn)行跟蹤可描述為一個(gè)QP問(wèn)題如下:

其中:(y?,u?)表示外部目標(biāo)值;(y0,u0)為該目標(biāo)函數(shù)在系統(tǒng)初始穩(wěn)態(tài)(yssT,ussT)下尋找穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)使之與(y?,u?)在最小二乘意義下距離最短;和分別為穩(wěn)態(tài)輸入輸出目標(biāo)權(quán)重系數(shù)矩陣;為放松因子權(quán)重系數(shù)矩陣;ε為輸出約束放松因子;uTmin和uTmax分別為穩(wěn)態(tài)輸入變量的約束下界和約束上界;yTmin和yTmax分別為穩(wěn)態(tài)輸出變量的約束下界和約束上界;和為穩(wěn)態(tài)輸入增量約束下界和上界.

2)局部經(jīng)濟(jì)自優(yōu)化模式.

穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層可在MPC對(duì)應(yīng)可行域內(nèi)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)目標(biāo)自優(yōu)化,進(jìn)而為下層MPC提供可靠的目標(biāo)設(shè)定值,優(yōu)化周期與動(dòng)態(tài)MPC執(zhí)行周期相同.該優(yōu)化問(wèn)題可被描述為如下線性規(guī)劃問(wèn)題(LP問(wèn)題):

3)兼具目標(biāo)跟蹤及經(jīng)濟(jì)優(yōu)化模式.

在以往對(duì)雙層結(jié)構(gòu)MPC算法的描述中[20-21],穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層所包含性能指標(biāo)函數(shù)只有式(7)-(8)所描述的兩種形式,對(duì)于某些控制過(guò)程,若在優(yōu)化指標(biāo)中同時(shí)包含穩(wěn)態(tài)跟蹤型指標(biāo)和經(jīng)濟(jì)優(yōu)化指標(biāo),則能更大程度的體現(xiàn)雙層結(jié)構(gòu)MPC的優(yōu)勢(shì).現(xiàn)將該類性能優(yōu)化指標(biāo)描述如下:

3 控制性能分析

雙層結(jié)構(gòu)MPC相較于常規(guī)MPC增加了穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層,就對(duì)外部目標(biāo)的跟蹤實(shí)現(xiàn)來(lái)講,雙層結(jié)構(gòu)MPC分兩步進(jìn)行:首先是在穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層,從穩(wěn)態(tài)可達(dá)的角度,在局部可行域內(nèi)計(jì)算出理想的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值,然后傳至動(dòng)態(tài)層進(jìn)行跟蹤控制.這種分步操作不僅有利于穩(wěn)態(tài)控制參數(shù)和動(dòng)態(tài)控制參數(shù)的分別調(diào)節(jié),而且可在工況改變時(shí),首先從穩(wěn)態(tài)控制角度進(jìn)行調(diào)節(jié)和優(yōu)化,有助于控制系統(tǒng)性能的提升.下面在不考慮控制參數(shù)影響的情況下,從動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能兩方面分析增加穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層對(duì)系統(tǒng)性能的影響,為分析過(guò)程簡(jiǎn)單明了,本文以無(wú)約束MPC算法為基礎(chǔ)進(jìn)行分析,其結(jié)論可拓展至有約束的MPC算法中.

3.1 動(dòng)態(tài)性能分析

假設(shè)一個(gè)包含m個(gè)控制輸入和n個(gè)被控輸出的多變量過(guò)程,控制時(shí)域?yàn)镸,被控時(shí)域?yàn)镻.為實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入輸出目標(biāo)[uT(k) wT(k)]的跟蹤,動(dòng)態(tài)層MPC在每個(gè)執(zhí)行周期內(nèi)優(yōu)化如下性能指標(biāo):

均為正定或半正定加權(quán)矩陣,A為模型動(dòng)態(tài)矩陣.uM(k?1),?uM(k),umin,umax,?umin,?umax均為mM ×1維向量矩陣,ymin,ymax為pP ×1維向量矩陣,B=block-diag{B0,···,B0},

在無(wú)約束情況下推導(dǎo)即時(shí)控制增量?u(k)如下:

可一次離線計(jì)算得出

由上式可知,控制增量?u(k)的計(jì)算依賴于跟蹤目標(biāo)[uT(k) wT(k)]的給定,常規(guī)單層MPC算法中,[uT(k) wT(k)]由RTO提供或人為給定,即

其中F為平滑濾波函數(shù).在雙層結(jié)構(gòu)MPC中跟蹤目標(biāo)[uT(k) wT(k)]由穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層給出:

下面在無(wú)約束情況下推導(dǎo)穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層輸入輸出目標(biāo)(ussT,yssT)的計(jì)算過(guò)程:

上式中矩陣均為常數(shù)矩陣,可轉(zhuǎn)換表述如下:

其中:

其中f1,f2,g1,g2,g3均為常數(shù)矩陣,由此可見,上層穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層相當(dāng)于一個(gè)前饋控制器.可優(yōu)先綜合考慮外部目標(biāo)值和預(yù)測(cè)誤差,為動(dòng)態(tài)層提供設(shè)定值(ussT,yssT).由式(11)可知,動(dòng)態(tài)層輸入輸出設(shè)定值更符合實(shí)際,則計(jì)算得到的控制量就更加合理.

基于以上分析,對(duì)于給定外部目標(biāo)(u?,y?)的跟蹤控制問(wèn)題,可總結(jié)如下:i)若(u?,y?)在MPC可行域內(nèi)且被控過(guò)程不存在擾動(dòng)的情況下,雙層結(jié)構(gòu)MPC的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算無(wú)須對(duì)跟蹤目標(biāo)進(jìn)行調(diào)節(jié),動(dòng)態(tài)層參數(shù)設(shè)置相同的情況下二者動(dòng)態(tài)跟蹤性能并無(wú)區(qū)別;ii)當(dāng)(u?,y?)不在其可行域內(nèi)時(shí),穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層可對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié),給出一個(gè)合理的最接近外部目標(biāo)的設(shè)定值(ussT,yssT);iii)過(guò)程存在不可測(cè)擾動(dòng)時(shí),雙層結(jié)構(gòu)MPC可在考慮擾動(dòng)影響下實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值傳至動(dòng)態(tài)層,保證所提供的設(shè)定值為動(dòng)態(tài)不確定性下的實(shí)時(shí)最優(yōu)值.

相對(duì)于常規(guī)MPC,由于雙層結(jié)構(gòu)MPC可在外部給定目標(biāo)不合理及存在過(guò)程不可測(cè)擾動(dòng)的情況下實(shí)時(shí)給出實(shí)際最優(yōu)的穩(wěn)態(tài)設(shè)定值,故控制量給定更加合理,控制波動(dòng)更小,具有更優(yōu)的控制性能.

3.2 穩(wěn)態(tài)性能分析

常規(guī)MPC控制策略包含對(duì)穩(wěn)態(tài)輸入目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí),在實(shí)際應(yīng)用中常常出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)靜差,其主要有兩方面原因所致:一方面是因?yàn)橥獠磕繕?biāo)值(u?,y?)不滿足動(dòng)態(tài)MPC層所采用的線性模型關(guān)系,系統(tǒng)在跟蹤控制量u?的同時(shí)不能同時(shí)滿足對(duì)y?的跟蹤,最終輸入輸出變量將呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)靜差(與輸入輸出權(quán)重系數(shù)有關(guān)).另一方面,由于外部目標(biāo)的更新周期與底層MPC的執(zhí)行周期不在一個(gè)數(shù)量級(jí),當(dāng)被控對(duì)象工況發(fā)生變化,或被控過(guò)程中出現(xiàn)外部擾動(dòng)時(shí),實(shí)時(shí)最優(yōu)操作點(diǎn)已發(fā)生改變,而動(dòng)態(tài)MPC層始終跟蹤原外部目標(biāo)值,從而導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)靜差.

相較而言,雙層結(jié)構(gòu)MPC在穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層采用動(dòng)態(tài)控制層的穩(wěn)態(tài)模型作為其預(yù)測(cè)模型,且穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層優(yōu)化周期可與動(dòng)態(tài)控制層執(zhí)行周期一致,從而規(guī)避了常規(guī)MPC的以上兩個(gè)缺陷,當(dāng)外部目標(biāo)給定不合理及被控過(guò)程存在恒值擾動(dòng)時(shí),雙層結(jié)構(gòu)MPC能夠?qū)崿F(xiàn)無(wú)靜差控制,分析如下:

過(guò)程存在恒值擾動(dòng)(如階躍型擾動(dòng))時(shí),穩(wěn)態(tài)輸出模型可表示為

其中:f表示過(guò)程的可測(cè)擾動(dòng)變量,es表示由過(guò)程不可測(cè)擾動(dòng)帶來(lái)的模型誤差,對(duì)模型精度進(jìn)行補(bǔ)償.

在底層MPC控制達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí),其穩(wěn)態(tài)目標(biāo)函數(shù)可描述為

其中:

(yss,uss)表示被控過(guò)程達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的輸出值與輸入值,且滿足關(guān)系式

則當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題的解為yss=KssTussT+Kssff+es=yssT及uss=ussT時(shí),使得目標(biāo)函數(shù)Θ=0,滿足優(yōu)化解.由此可見,雙層結(jié)構(gòu)MPC對(duì)于恒值擾動(dòng)可實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差控制.

4 利用操作自由度提升經(jīng)濟(jì)性能

與常規(guī)MPC相比,雙層結(jié)構(gòu)MPC的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層可在局部可行域內(nèi)進(jìn)行獨(dú)立經(jīng)濟(jì)優(yōu)化,直接考慮經(jīng)濟(jì)指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化決策.此外,雙層結(jié)構(gòu)MPC穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層還可采用包含目標(biāo)跟蹤和經(jīng)濟(jì)優(yōu)化的性能指標(biāo),在保證對(duì)部分關(guān)鍵變量無(wú)靜差跟蹤的前提下,利用操作自由度對(duì)經(jīng)濟(jì)型關(guān)鍵變量進(jìn)行優(yōu)化,從而最大程度提升經(jīng)濟(jì)效益.

對(duì)于有m個(gè)輸入變量和n個(gè)輸出變量的多變量系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層在k時(shí)刻采用如下優(yōu)化性能指標(biāo):

在不同優(yōu)化條件下可分析如下:

情形1被控系統(tǒng)為方系統(tǒng)(n=m),輸出變量約束均為等式約束:

由上可知,若實(shí)現(xiàn)對(duì)輸出變量無(wú)靜差跟蹤,由于操作自由度缺失無(wú)法進(jìn)行經(jīng)濟(jì)性優(yōu)化,要獲取更大的經(jīng)濟(jì)性能必然導(dǎo)致部分輸出被控變量存在穩(wěn)態(tài)靜差.

情形2被控系統(tǒng)為胖系統(tǒng)(n

對(duì)于胖系統(tǒng),對(duì)n個(gè)變量實(shí)現(xiàn)跟蹤可能存在無(wú)數(shù)多個(gè)可行解,對(duì)m個(gè)操作變量經(jīng)濟(jì)性由低到高排序:

此時(shí)可優(yōu)先選擇經(jīng)濟(jì)代價(jià)小的前n個(gè)操作變量實(shí)現(xiàn)對(duì)輸出變量進(jìn)行跟蹤,然后利用多余的m?n個(gè)操作自由度對(duì)經(jīng)濟(jì)性關(guān)鍵變量進(jìn)行經(jīng)濟(jì)優(yōu)化,從而實(shí)現(xiàn)更高的經(jīng)濟(jì)能效.

情形3對(duì)于方系統(tǒng)和瘦系統(tǒng)(n ≥m),假設(shè)前n′(n′

上式中,?yi,ss為允許控制裕度,輸出權(quán)重系數(shù)設(shè)置為

被控變量區(qū)間約束使得操作變量有可操作空間,從而根據(jù)經(jīng)濟(jì)性對(duì)關(guān)鍵經(jīng)濟(jì)變量在滿足被控變量區(qū)間的情況下進(jìn)行優(yōu)化,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)性能提高,這也是雙層結(jié)構(gòu)MPC最大的優(yōu)勢(shì)所在.

以2輸入2輸出的方系統(tǒng)為例,控制目標(biāo)及可行域如圖2所示,圖中虛線v表示優(yōu)化指標(biāo)中對(duì)進(jìn)行無(wú)靜差跟蹤,被控輸出y2滿足約束,同時(shí)經(jīng)濟(jì)型關(guān)鍵變量為u2,經(jīng)濟(jì)代價(jià)系數(shù)為正.即穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層優(yōu)化目標(biāo)為在滿足對(duì)被控輸出y1實(shí)現(xiàn)跟蹤的前提下,操作變量u2要求最大化以獲取經(jīng)濟(jì)效益.圖2中,虛線段中間位于陰影區(qū)域內(nèi)的實(shí)線段表示在滿足對(duì)輸出y1實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤的前提下,經(jīng)濟(jì)型關(guān)鍵變量為u2的可優(yōu)化自由度,通過(guò)優(yōu)化得到實(shí)現(xiàn)最大經(jīng)濟(jì)效益的圓點(diǎn)SST.

圖2 包含外部目標(biāo)跟蹤和經(jīng)濟(jì)優(yōu)化示意圖Fig.2 Schematic of include external target tracking and economic optimization

5 利用操作自由度提高系統(tǒng)魯棒性

被控過(guò)程存在不可測(cè)擾動(dòng)可視為擾動(dòng)未建模引起的模型失配,所以模型失配及過(guò)程不可測(cè)擾動(dòng)對(duì)控制系統(tǒng)的影響是相同的,均導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差存在,預(yù)測(cè)誤差超出可控范圍即導(dǎo)致系統(tǒng)控制呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)靜差甚至不穩(wěn)定現(xiàn)象.常規(guī)MPC算法具有反饋校正環(huán)節(jié),可對(duì)一定程度模型失配進(jìn)行補(bǔ)償校正.

雙層結(jié)構(gòu)MPC不僅在動(dòng)態(tài)控制層具有反饋校正環(huán)節(jié),還具有穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層的前饋調(diào)節(jié)功能,預(yù)測(cè)誤差信息同時(shí)反饋至穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層,利用反饋獲得的預(yù)測(cè)誤差信息對(duì)穩(wěn)態(tài)優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行再調(diào)節(jié)及再優(yōu)化,從而使得雙層結(jié)構(gòu)MPC具有更強(qiáng)的抑制擾動(dòng)和模型失配的能力.同于經(jīng)濟(jì)優(yōu)化性能的提高,雙層結(jié)構(gòu)MPC魯棒性的提高也依賴于可利用的優(yōu)化自由度的大小,若無(wú)多余的操作自由度可利用,其魯棒性能則同于常規(guī)MPC.

在此需要指出的是,限于所擁有可優(yōu)化自由度的方向性,雙層結(jié)構(gòu)MPC相較于常規(guī)MPC只針對(duì)特定方向的擾動(dòng)及特定通道的模型失配時(shí)具有更強(qiáng)的魯棒性.

例如第6.3節(jié)的精餾塔實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?在設(shè)定的控制目標(biāo)下,雙層結(jié)構(gòu)MPC和常規(guī)MPC對(duì)擾動(dòng)及模型失配的魯棒性比較如表1和表2所示,即所構(gòu)造控制環(huán)境下,雙層結(jié)構(gòu)MPC在輸出端承受負(fù)向擾動(dòng)和y2?u2通道增益減小時(shí)有更強(qiáng)的魯棒性,反之則不存在明顯優(yōu)勢(shì).具體仿真分析在第6.3小節(jié)中闡述.

表1 雙層MPC與常規(guī)MPC所能承受最大擾動(dòng)幅值比較Table 1 Comparison of largest amplitude of disturbances double-layered MPC and single-layered MPC can handle

表2 雙層MPC與常規(guī)MPC所能承受y2?u2通道最大增益失配比較Table 2 Comparison of maximum gain mismatch of of double-layered MPC and single-layered MPC can handle

6 仿真

以精餾塔woodbery模型為實(shí)驗(yàn)對(duì)象,這是一個(gè)典型的2輸入2輸出模型,過(guò)程模型如下:

其中:y1,y2為系統(tǒng)輸出變量;u1,u2為輸入控制變量;ld為過(guò)程不可測(cè)擾動(dòng)變量;各變量滿足如下約束條件:

控制量u1,u2約束:

控制增量?u1,?u2約束:

穩(wěn)態(tài)增量?uss1,?uss2約束:

被控輸出y1,y2軟約束:

被控輸出y1,y2硬約束:

不可測(cè)干擾數(shù)學(xué)模型:

6.1 控制性能仿真比較

控制器模型取標(biāo)稱模型,即Gc=GP,為比較雙層結(jié)構(gòu)MPC與常規(guī)MPC控制策略的控制性能,現(xiàn)假設(shè)分別利用這兩種策略對(duì)RTO提供的被控輸出目標(biāo)進(jìn)行跟蹤:y?=[?5;?10],設(shè)置穩(wěn)態(tài)層和動(dòng)態(tài)控制層輸入輸出權(quán)重系數(shù):

在200 s ≥t ≥400 s時(shí)間段內(nèi)在輸出端加不可測(cè)擾動(dòng)ld=2.兩種控制策略的輸入輸出曲線如下圖3所示,綠色點(diǎn)劃線為給定的輸入輸出外部目標(biāo)曲線,供雙層結(jié)構(gòu)MPC及常規(guī)MPC進(jìn)行跟蹤控制;紅色虛線為雙層結(jié)構(gòu)MPC上層穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層輸出的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)設(shè)定值曲線;黑色虛線為常規(guī)MPC的實(shí)際輸入輸出曲線;藍(lán)色實(shí)線為雙層結(jié)構(gòu)MPC控制策略的實(shí)際輸入輸出曲線(各類型曲線代表意義在本文以下仿真中均相同).

由圖3可以看出,在控制初始階段(0 s≥t≥200 s),兩種策略均可實(shí)現(xiàn)對(duì)輸出設(shè)定點(diǎn)的無(wú)靜差跟蹤,雙層結(jié)構(gòu)MPC的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化層無(wú)需對(duì)輸入輸出設(shè)定值進(jìn)行調(diào)節(jié),在控制參數(shù)設(shè)置相同的情況下,兩種策略控制性能相同;當(dāng)過(guò)程存在不可測(cè)擾動(dòng)時(shí)(200 s

圖3 雙層結(jié)構(gòu)MPC與單層MPC控制性能比較(r1=r2=1)Fig.3 Control performance comparison of double-layered MPC and single-layered MPC(r1=r2=1)

圖3中,控制變量u1的曲線在t=200 s擾動(dòng)出現(xiàn)時(shí),初始動(dòng)作方向與穩(wěn)態(tài)時(shí)相反,其原因是輸出響應(yīng)由u1,u2共同決定,而控制量u2對(duì)輸出的穩(wěn)態(tài)增益較大,其較小的增量則引起較大的輸出量變化,則需要u1對(duì)其產(chǎn)生的過(guò)量動(dòng)作進(jìn)行彌補(bǔ).在此可通過(guò)輸入變量權(quán)重系數(shù)設(shè)置或輸入變量增量約束設(shè)置,限制控制變量u2的增量變化?u2幅值,使得擾動(dòng)產(chǎn)生時(shí),控制變量u1的初始動(dòng)作方向與穩(wěn)態(tài)方向一致,通常以下兩種方法實(shí)現(xiàn):

方法1增大控制變量u2的權(quán)重系數(shù):

方法2改變控制變量u2的增量約束:

采用方法1得到的輸入輸出曲線如圖4所示,圖中控制變量u2不再產(chǎn)生起始動(dòng)作方向與穩(wěn)態(tài)方向不一致的現(xiàn)象.如圖3-4所示,控制參數(shù)改變后,對(duì)系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)態(tài)值也有影響,存在過(guò)程擾動(dòng)時(shí),雙層結(jié)構(gòu)MPC的控制曲線u1,u2更加平穩(wěn).

圖4 雙層MPC與單層MPC控制性能比較(r2=200)Fig.4 Economic performance comparison of double-layered MPC and single-layered MPC(r2=200)

6.2 利用操作自由度提升系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)性能仿真

現(xiàn)假設(shè)在標(biāo)稱模型下,控制要求包含跟蹤型目標(biāo)和經(jīng)濟(jì)優(yōu)化指標(biāo):在對(duì)輸出變量y1進(jìn)行跟蹤的同時(shí),使操作變量u2最小化來(lái)實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)節(jié)能.t=200 s時(shí),在輸出端加不可測(cè)階躍型擾動(dòng)ld=?1.控制目標(biāo):y1=10,y2≥10,?2 ≥u1≥2.經(jīng)濟(jì)目標(biāo):min u2,set.

單層MPC依靠跟蹤RTO提供的優(yōu)化目標(biāo)值來(lái)實(shí)現(xiàn)控制,由于RTO的優(yōu)化周期較長(zhǎng)(通常為小時(shí)級(jí)),為仿真效果在此假定其優(yōu)化周期為400 s.雙層MPC和單層MPC輸入輸出仿真曲線對(duì)比如圖5所示.

圖5 雙層MPC與單層MPC經(jīng)濟(jì)性能比較Fig.5 Economic performance comparison of double-layered MPC and single-layered MPC

圖5中,藍(lán)色實(shí)線為雙層MPC控制曲線,黑色虛線為單層MPC控制曲線,紫色點(diǎn)劃線為輸出變量y2的區(qū)間約束下限.從圖中可得,當(dāng)被控過(guò)程在t=200 s處有輸出擾動(dòng)時(shí),雙層MPC隨即響應(yīng),在保證輸出y1跟蹤指標(biāo)和滿足y2約束時(shí),使得經(jīng)濟(jì)變量u2更小,實(shí)現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)節(jié)能.相反,單層MPC在擾動(dòng)出現(xiàn)后始終保持對(duì)前一時(shí)刻設(shè)定值的跟蹤,在RTO下個(gè)周期更新設(shè)定之后才實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化,與雙層MPC相比,其對(duì)過(guò)程擾動(dòng)的反應(yīng)更慢,從而造成經(jīng)濟(jì)損失,如圖中u2曲線構(gòu)成的陰影區(qū)域?yàn)榻?jīng)濟(jì)損失部分.

6.3 利用操作自由度提高系統(tǒng)魯棒性仿真

采用如上所述2輸入2輸出woodbery模型,控制目標(biāo)與第6.2節(jié)中相同.下面分別單獨(dú)考慮系統(tǒng)存在外部擾動(dòng)和模型失配下的魯棒性,即在分析二者對(duì)外部不可測(cè)擾動(dòng)的承受能力時(shí),控制器模型取標(biāo)稱模型;分析二者對(duì)模型失配程度的魯棒性時(shí),假設(shè)無(wú)外部不可測(cè)擾動(dòng)影響.

由于對(duì)輸出y2控制要求為滿足區(qū)間約束,則對(duì)于該2輸入2輸出系統(tǒng)有一個(gè)自由度可以利用來(lái)應(yīng)對(duì)外部不可測(cè)擾動(dòng)和模型失配的發(fā)生.動(dòng)態(tài)控制層取相同的控制參數(shù):輸出變量權(quán)系數(shù):Q=[1 0;0 1],輸入變量權(quán)系數(shù):R=[1 0;0 1].在輸出端加不可測(cè)擾動(dòng)ld. t=200 s時(shí),分別在輸出端加ld=?3.2的不可測(cè)階躍型擾動(dòng),t=400 s時(shí),更新外部目標(biāo)設(shè)定值.雙層MPC和單層MPC的輸入輸出曲線如圖6所示.

圖6 雙層MPC與單層MPC抗擾動(dòng)性能比較Fig.6 Comparison of anti-disturbance performance of doublelayered MPC and single-layered MPC

由圖6可知,在輸出端添加ld=?3.2擾動(dòng)時(shí),對(duì)常規(guī)單層MPC策略,其可調(diào)節(jié)自由度已發(fā)揮至最大限度,若擾動(dòng)幅值更大,則無(wú)法滿足控制要求.然而雙層結(jié)構(gòu)MPC由于及時(shí)調(diào)整了穩(wěn)態(tài)輸入輸出目標(biāo)值,仍然有富余的操作自由度,可承受更大幅值的擾動(dòng)影響,通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可得:在該實(shí)驗(yàn)案例中,雙層結(jié)構(gòu)MPC最大可承受ld=?5的外部擾動(dòng).同理,對(duì)于模型失配情況,常規(guī)單層MPC可允許y2?u2通道模型增益失配至原增益的0.66倍,而雙層結(jié)構(gòu)MPC可允許其失配至原增益的0.5倍,仿真如圖7所示.可得,雙層結(jié)構(gòu)MPC對(duì)于不可測(cè)擾動(dòng)的抑制以及模型失配的魯棒性要強(qiáng)于常規(guī)MPC.

圖7 雙層MPC與單層MPC抗模型增益失配能力比較Fig.7 Comparison the ability of double-layered MPC and single-layered MPC resistance to model gain mismatch

7 結(jié)論

通過(guò)將雙層結(jié)構(gòu)MPC與常規(guī)MPC策略比較分析,闡明增加穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層在系統(tǒng)控制性能、經(jīng)濟(jì)性能、魯棒性方面的優(yōu)勢(shì),穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層相當(dāng)于一個(gè)前饋控制器,不僅可對(duì)外部目標(biāo)進(jìn)行預(yù)先調(diào)節(jié),在過(guò)程存在擾動(dòng)或突發(fā)工況的情況下,也可根據(jù)反饋信息首先從穩(wěn)態(tài)角度進(jìn)行調(diào)整,為底層動(dòng)態(tài)控制提供合理的跟蹤目標(biāo)值,有利于改善動(dòng)態(tài)控制性能.另一方面,所增加穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算層可在滿足對(duì)外部目標(biāo)跟蹤的前提下,利用多余的操作自由度進(jìn)行經(jīng)濟(jì)優(yōu)化,從而提高經(jīng)濟(jì)效益,且一定程度上有利于系統(tǒng)魯棒性的提升.正是由于雙層結(jié)構(gòu)MPC在性能方面擁有諸多優(yōu)勢(shì),故在主流的工業(yè)過(guò)程軟件中被廣泛采用.