圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用舉例

摘?要：圓具有高度的對(duì)稱性，有著豐富的幾何性質(zhì)。我們經(jīng)常利用兩條直線的垂直相交的條件來判斷點(diǎn)共圓;阿波羅尼斯圓的性質(zhì)體現(xiàn)了圓半徑和到兩定點(diǎn)距離比值之間的關(guān)系。在解題過程中注意數(shù)形結(jié)合，利用好圓的幾何性質(zhì)，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：圓;幾何性質(zhì);舉例

《直線與圓的位置關(guān)系》是高中數(shù)學(xué)人教版必修二的內(nèi)容，在該章中介紹了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系。圓是一種簡(jiǎn)單的曲線，具有高度的對(duì)稱性，有豐富的幾何性質(zhì)。在解題過程中注意數(shù)形結(jié)合，利用好圓的幾何性質(zhì)，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，達(dá)到事半功倍的效果。

例1?過拋物線y2=4px（p>0）的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影M的軌跡。

解1：（交軌法）：點(diǎn)A、B在拋物線y2=4px（p>0）上，設(shè)Ay2A4p，yA，By2B4p，yB

所以kOA=4pyA?kOB=4pyB，由OA垂直O(jiān)B得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2，

又可求得AB方程y-yA=yA-yBy2A4p-y2B4px-y2A4p，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0，把yAyB=-16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2=0?①?又OM的方程為y=yA+yB-4px?②

由①②消去得yA+yB即得x2+y2-4px=0，即得（x-2p）2+y2=4p2。

所以點(diǎn)M的軌跡方程為（x-2p）2+y2=4p2，其軌跡是以（2p，0）為圓心，半徑為2p的圓，除去點(diǎn)（0，0）。

解2：（幾何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p2=0可得AB過定點(diǎn)（4p，0）而OM垂直AB，所以由圓的幾何性質(zhì)可知：M點(diǎn)的軌跡是以（2p，0）為圓心，半徑為2p的圓。所以方程為（x-2p）2+y2=4p2，除去點(diǎn)（0，0）。

該題應(yīng)用了“已知l1和l2是平面內(nèi)互相垂直的兩條直線，它們的交點(diǎn)是A，動(dòng)點(diǎn)B，C分別在l1和l2上，過A，B，C三點(diǎn)的動(dòng)圓是以BC為直徑的圓?！庇纱四苎杆偬釤挸鰩缀蔚攘筷P(guān)系，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果。

例2?（2008年江蘇13）若AB=2，AC=2BC，則S△ABC的最大值。

該題考查三角形面積公式，余弦定理及函數(shù)思想，但是運(yùn)算量大處理有難度。

解1：設(shè)BC=x，則AC=2x，

根據(jù)面積公式得S△ABC=12AB×BCsinB=x1-cos2B，

根據(jù)余弦定理cosB=AB2+BC2-AC22AB×BC=4+x2-2x24x=4-x24x，

代入上式得S△ABC=x1-4-x24x2=128-

（x2-12）216

由三角形三邊關(guān)系有2x+x>2

x+2>2x解得22-2

故當(dāng)x=23時(shí)取得S△ABC最大值22。

解2：設(shè)AB所在的直線為x軸，其中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），

設(shè)C（x，y），得（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2，化簡(jiǎn)得（x-3）2+y2=8，

又S△ABC=12AB·|yc|=|yc|≤22。

解3：利用阿波羅尼斯圓性質(zhì)，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上。半徑r=

222-1=22，S=22。

解法3中利用了阿波羅尼斯圓相關(guān)性質(zhì)。

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius）在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)論：到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓。

點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB（λ>0），則λ=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線;

當(dāng)λ≠1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓。

以下給出證明（圖略）。

以直線AB為x軸，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系。

設(shè)AB=2m，則A（-m，0），B（m，0）

設(shè)點(diǎn)P（x，y），由PA=λPB可得（x+m）2+y2=λ（x-m）2+y2，

兩邊平方整理可得：（λ2-1）x2-2m（λ2+1）x+（λ2-1）y2=m2（1-λ2）

當(dāng)λ=1時(shí)，可得x=0，軌跡是線段AB的中垂線;

當(dāng)λ≠1（λ>0）時(shí)，x-λ2+1λ2-1m2+y2=4λ2m2（λ2-1）2，軌跡是以λ2+1λ2-1m，0為圓心，半徑為2λmλ2-1的圓。

阿波羅尼斯圓的常見性質(zhì)如下：

（1）設(shè)AB=a，AP1P1B=AP2P2B=λ，則所做出的阿波羅尼斯圓

直徑P1P2=2aλλ2-1=2aλ-1λ，面積為πaλλ2-12。

（2）當(dāng)λ>1時(shí)，點(diǎn)A在圓O外，點(diǎn)B在圓O內(nèi);當(dāng)0<λ<1時(shí)，點(diǎn)A在圓O內(nèi)，點(diǎn)B在圓O外;

（3）當(dāng)λ=OAr=rOB，即r2=OA·OB，λ越大，圓半徑越小。

例3?已知向量a，b滿足|b|=3，|a|=2|b-a|，若|a+λb|≥3恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為。

解：由題意可知向量a的端點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓。

設(shè)A（x，y），可得A的方程為x2+y2-8y+12=0。

由|a+λb|≥3恒成立，可得x2+y2+6λy+9λ2-9≥0，

即（8+6λ）y+9λ2-21≥0對(duì)y∈[2，6]恒成立。

可得（8+6λ）·2+9λ2-21≥0

（8+6λ）·6+9λ2-21≥0，解得λ≥13或λ≤-3。

思考：以上可知在已知定點(diǎn)A、B的條件下，阿波羅尼斯圓的圓心一定在直線AB上。反之，若對(duì)一個(gè)確定圓，在其對(duì)稱直線上是否存在確定的兩點(diǎn)A、B，使圓上任意一點(diǎn)P到這兩點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)λ呢？

以下以圓心在原點(diǎn)的圓為例給出證明。

不妨設(shè)P（x，y）是x2+y2=r2上任意一點(diǎn)，已知定點(diǎn)A（m，0），在x軸上是否存在異于點(diǎn)A的一點(diǎn)B，使得PB=λPA？

設(shè)點(diǎn)B（n，0）（n≠m），由PA=λPB可得P的軌跡方程為：

（λ2-1）（x2+y2）+（2n-2λ2m）x+λ2m2-n2=0，

由x2+y2=r2可得（λ2-1）r2+（2n-2λ2m）x+λ2m2-n2=0對(duì)任意的x恒成立，

故可得2n-2λ2m=0

（λ2-1）r2+λ2m2-n2=0，所以λ=r|m|

n=λ2m=r2m。

故存在點(diǎn)B，且A、B在x軸的同側(cè)，即圓和其中一點(diǎn)確定，則另一點(diǎn)和比值λ也隨之確定。

同理可得，圓和比值λ確定，則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可確定，即xA=±rλ

xB=λ2·xA。

例4?在平面直角坐標(biāo)系中，MN是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是x2+y2=1上任意一點(diǎn)，且滿足PM=2PN，則MN的長(zhǎng)為。

解：由阿波羅尼斯圓的半徑和比值λ之間的關(guān)系可得r=MNλ-1λ=23MN=1，∴MN=32。

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘順榮.淺談圓的性質(zhì)在解析幾何中的應(yīng)用[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2018（2）：31-33.

作者簡(jiǎn)介：陶恒聰，浙江省金華市，浙江省金華市武義縣武義第一中學(xué)。