一類p-Laplacian方程徑向?qū)ΨQ解的存在性

姚紫嫣,梁載濤,段 煉

(安徽理工大學數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院, 中國 淮南 232001)

眾所周知，p-Laplacian方程是一類特殊的橢圓型方程，是Laplacian方程的推廣。近幾十年來，該類方程在物理、生物及數(shù)學等領域得到了廣泛應用，逐漸成為國內(nèi)外學者研究的熱點問題，當前處理該類問題的方法主要有單調(diào)迭代理論[1]、變分法[2]、不動點定理[3]等。近些年，p-Laplacian方程Dirichlet問題受到了學者們的關注，該類問題產(chǎn)生于非牛頓流體理論和多孔介質(zhì)氣體的湍流理論[4,5]，具體見文獻[6-10]。

本文繼續(xù)研究此類問題，我們考慮如下Dirichlet問題

(1)

徑向?qū)ΨQ解的存在性，其中p>1，B={x∈RN:|x|<1,N≥2}且f:[0,∞)→[0,∞)。

根據(jù)徑向?qū)ΨQ解u(x)=v(r)，其中r=|x|>0，問題(1)可轉(zhuǎn)化為如下問題

(2)

在文獻[6]中，Wang等人研究了n維p-Laplacian系統(tǒng)的Dirichlet問題。而本文研究一維p-Laplacian方程Dirichlet問題，顯而易見，當n=1時，有如下結(jié)果。

定理1若f0=∞且f∞=0，則問題(1)存在一個正徑向解。其中

經(jīng)過對上述結(jié)果進行分析，發(fā)現(xiàn)其條件較強，受其啟發(fā)，我們將給出相對較弱的條件?；阱F不動點定理[11]，得到了如下結(jié)果。

定理2假設f滿足下列條件之一：

本文其余部分結(jié)構(gòu)如下，第1節(jié)，主要介紹本文所需預備知識；第2節(jié)，主要對定理2進行證明；第3節(jié)，舉例加以驗證。

1 預備知識

如引言所示，本文主要結(jié)果的證明基于錐不動點定理，以下先簡單介紹一下錐的定義和所需的引理。

若一個連續(xù)算子從有界集映射到一個相對緊集上，則它是一個連續(xù)緊算子。因此，若G是X中的子集，則定義GK=G∩K且?KG=(?G)∩K。

定義1設X為Banach空間，K是X中的非空閉子集，若K滿足：

(d1) 對任意m,n∈K，a,b>0，有am+bn∈K；

(d2) 若m,-m∈K，則m=0，

則稱K為X中的一個錐。

(A1) ‖Tv‖≤‖v‖，這里v∈?KΩa；

(A2) 存在g∈K(〗0}使得v≠Tv+μg，其中，任意v∈?KΩb且任意μ>0，

上述方法已被用于研究二階微分方程正周期解[12]和Monge-Ampére方程徑向解[13]問題。

引理2[14]對于任意的函數(shù)ω∈C[0,1]，滿足ω(r)≥0，且ω′(r)在[0,1]上是遞減的，則有

設

(3)

在證明主要結(jié)果之前，需回顧下列結(jié)果。

引理3[15,16]在(3)中定義的 Ωγ和Bγ具有下列性質(zhì)：

(h4) 若v∈?KΩγ，則σγ≤v(r)≤γ，σ≤r≤1-σ。

2 定理2的證明

(4)

容易驗證，K為X中的錐。

為了證明定理2，先給出并證明如下更一般的情形。

引理4假設下列兩個條件成立：

(H3) 存在常數(shù)α>0,N>0和一個連續(xù)非遞減函數(shù)φ:[0,∞)→[0,∞)使得

f(v)≤Nφ(α),0≤v≤α;

(H4) 存在常數(shù)β>0,N>0和一個連續(xù)非遞減函數(shù)φ:[0,∞)→[0,∞)使得

那么下列兩個結(jié)果成立：

(C1) 若α<σβ，則問題(2)至少存在一個正解v(r)使得

(C2) 若α>β，則問題(2)至少存在一個正解v(r)使得

證明由引理1可知，需證明

(A1) ‖Tv‖≤‖v‖，這里v∈?KBα，

(A2) 存在e∈K(〗0}使得v≠Tv+μe，這里v∈?KΩβ且任意μ>0。

首先證明(A1)。由(H3)可知，對于任意v∈?KBα且s∈[0,1]，有

再證明(A2)。設e(r)≡1∈K(〗0}，需證明v≠Tv+μ,?v∈?KΩβ,μ>0。利用反證法。如若上式不成立，則存在v0∈?KΩβ和μ0>0，使得v0=Tv0+μ0。由于v0∈?KΩβ，則由引理3的(h4)，可得σβ=σ‖v0‖≤v0(r)≤β,σ≤r≤1-σ。由(H4)可知，

定理2的證明只需驗證(H1)成立的情況，(H2)的驗證與其類似。

3 舉例

為了驗證主要結(jié)果的正確性，給出如下例子。

例子考慮下列Dirichlet問題

(5)

結(jié)論：當l>p-2時，問題(5)至少存在一個非平凡徑向?qū)ΨQ解。

證明若l>p-2，通過計算可得

因此，由定理2可知，問題(5)至少存在一個非平凡徑向?qū)ΨQ解。