關(guān)注高中數(shù)學(xué)重疊內(nèi)容，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式實(shí)施高等數(shù)學(xué)教學(xué)

郭從洲 張冬燕 王耀革 田園

【摘要】高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)部分內(nèi)容的重疊與脫節(jié)，使得大一學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和重要性產(chǎn)生誤解.本文堅(jiān)持“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，以導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)內(nèi)容為例題，設(shè)計(jì)一種問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)模式，在復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，引入高等數(shù)學(xué)中的同類概念，提升學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)高度.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);高等數(shù)學(xué);問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式

我國(guó)幾十年來(lái)的教學(xué)改革，不論采用什么樣的教學(xué)手段和什么樣的教學(xué)方法，最大的變化就是把“以教師為中心”的課堂轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙詫W(xué)生為中心”的課堂.這種轉(zhuǎn)變看似簡(jiǎn)單，實(shí)際操作起來(lái)卻非常困難.“以學(xué)生為中心”的課堂轉(zhuǎn)變不僅僅在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要思考與改革，在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中同樣需要思考與改革.

1 高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容銜接中存在的問(wèn)題

在我國(guó)新一輪的中學(xué)課程改革背景下，高中數(shù)學(xué)一直將導(dǎo)數(shù)、極值、定積分等作為選擇性必修內(nèi)容，并且將這些內(nèi)容列入了高考考試范圍.這不僅有利于與國(guó)際中學(xué)數(shù)學(xué)接軌，也有利于學(xué)生進(jìn)入大學(xué)以后迅速地投入高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí).高中數(shù)學(xué)中關(guān)于微積分的內(nèi)容是基于高中生年齡階段可以認(rèn)知的能力范圍內(nèi)撰寫(xiě)的，其中缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)極限概念，缺少微積分的基本分析.當(dāng)然，這基本符合微積分創(chuàng)立和完善的史實(shí)，也符合人們正常的認(rèn)知規(guī)律.如果大學(xué)的高等數(shù)學(xué)老師不能夠充分認(rèn)識(shí)高中數(shù)學(xué)關(guān)于微積分部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的上述目的和編寫(xiě)原則，不能夠在開(kāi)課伊始給學(xué)生講解清楚高等數(shù)學(xué)中函數(shù)、極限和連續(xù)的分析基礎(chǔ)的重要性，那么很容易給大學(xué)新生造成一種假象——高等數(shù)學(xué)僅僅是高中數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單重復(fù)和個(gè)別延伸，課下自學(xué)就可以達(dá)到考試基本要求.殊不知，高等數(shù)學(xué)是微積分發(fā)展歷史的倒敘，是一種完備的、嚴(yán)密的數(shù)學(xué)知識(shí)，更是學(xué)生第一次使用嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)潔、明晰的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述自然世界.

很多學(xué)生認(rèn)為，高中學(xué)過(guò)的知識(shí)要略講，簡(jiǎn)單介紹一下背景就可以，而高中沒(méi)學(xué)過(guò)的知識(shí)要詳細(xì)講解.表面上看這是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接的問(wèn)題，而實(shí)質(zhì)上是學(xué)生每天都希望老師講授新穎的、沒(méi)見(jiàn)過(guò)的知識(shí).為了面對(duì)高考，很多學(xué)校在高中二年級(jí)上學(xué)期就已經(jīng)把高中數(shù)學(xué)所有的內(nèi)容講解完畢，利用一年半甚至更多的時(shí)間進(jìn)行復(fù)習(xí)和刷題，學(xué)生經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的磨煉進(jìn)入大學(xué)，更渴望學(xué)習(xí)的是新知識(shí)、新內(nèi)容.在課堂教學(xué)和作業(yè)批改中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生不愿意使用高等數(shù)學(xué)中介紹的簡(jiǎn)便的、高等的方法解題，更愿意使用初等的方法，很多解題的思路還停留在高中階段.比如，判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否存在極值的問(wèn)題上，學(xué)生大都喜歡使用第一充分條件，不愿意使用第二充分條件.

堅(jiān)持“以學(xué)生為中心”的教學(xué)改革理念，就是要教師充分了解學(xué)生的知識(shí)背景和學(xué)習(xí)過(guò)程，在教學(xué)過(guò)程中對(duì)舊的知識(shí)簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)，對(duì)新的內(nèi)容詳細(xì)講解，使學(xué)生在每節(jié)課的學(xué)習(xí)中都有新的收獲和感受，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的欲望和潛能.

2 針對(duì)重疊內(nèi)容的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容重疊既有有利的一面，又有不利的一面.作為大學(xué)數(shù)學(xué)老師，要通過(guò)各種教學(xué)模式的引入，想方設(shè)法將不利的一面化為有利的一面，努力為國(guó)家培養(yǎng)合格的人才.本文以我國(guó)絕大部分高中數(shù)學(xué)選修系列2-2（人民教育出版社A版教材）與高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)大學(xué)編著教材）重疊的教學(xué)內(nèi)容之一——導(dǎo)數(shù)為例，設(shè)計(jì)一種以學(xué)生為中心的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式，希望能夠總結(jié)出提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力的教學(xué)經(jīng)驗(yàn).

2.1 高中數(shù)學(xué)關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義的講解過(guò)程

高中數(shù)學(xué)是通過(guò)兩個(gè)具體例子引入導(dǎo)數(shù)定義的：一是氣球膨脹率——?dú)馇虬霃皆黾拥乃俾剩歉吲_(tái)跳水——運(yùn)動(dòng)員下降的速率，通過(guò)分析、對(duì)比歸納出一個(gè)關(guān)于平均變化率的數(shù)學(xué)式子：f（x2）-f（x1）x2-x1.然后開(kāi)始做大量的練習(xí)題，計(jì)算函數(shù)的平均變化率，鞏固學(xué)生對(duì)平均變化率的記憶，使得后面在講解曲線割線斜率的概念時(shí)也比較容易些.當(dāng)學(xué)生熟悉了平均變化率以后，教材中有這樣一段話：“從物理角度看（瞬時(shí)速度），當(dāng)時(shí)間間隔無(wú)限變小時(shí)，平均速度v-就無(wú)限趨近于瞬時(shí)速度，為了表述方便，我們用limΔt→0h（2+Δt）-h（2）Δt=-13.1表示“當(dāng)t=2，Δt趨近于0時(shí)，平均速度v-趨近于確定值-13.1.”這是學(xué)生第一次接觸到極限的概念和符號(hào)，雖然只是一個(gè)描述性的定義.最后給出導(dǎo)數(shù)的定義是這樣描述的：

2.2 高等數(shù)學(xué)關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義的講解過(guò)程

高等數(shù)學(xué)也是通過(guò)兩個(gè)具體例子引入導(dǎo)數(shù)定義的，一個(gè)是平面曲線在固定點(diǎn)處切線的斜率，另一個(gè)是物體沿直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.通過(guò)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的分析、歸納抽象出一個(gè)特殊的極限式子：

2.3 高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義的異同

高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義的相同點(diǎn)有三個(gè)方面：一是在講解過(guò)程中都是通過(guò)兩個(gè)具體的問(wèn)題引入的，二是對(duì)例題的分析過(guò)程中都是通過(guò)觀察、分析、歸納的合情推理方式總結(jié)出數(shù)學(xué)規(guī)律的，三是都抽象形成了一個(gè)利用極限表述的數(shù)學(xué)公式.從問(wèn)題的引入到概念的形成基本都是一致的.

高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義內(nèi)容講解的不同點(diǎn)主要表現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)定義的描述上.高中數(shù)學(xué)由于沒(méi)有學(xué)習(xí)精確的極限定義，所以通過(guò)物理意義和幾何直觀，用描述性的極限定義給出了導(dǎo)數(shù)的概念，是一種定性化的概念;高等數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)過(guò)精確極限定義的基礎(chǔ)上，很自然地把一個(gè)特殊代數(shù)分式的極限命名為導(dǎo)數(shù)，是一種定量化的概念.可見(jiàn)，高中數(shù)學(xué)是在高中生的認(rèn)知能力上定性化地定義了導(dǎo)數(shù)，而高等數(shù)學(xué)是在大學(xué)新生學(xué)習(xí)了精確極限概念的基礎(chǔ)上定量化地定義了導(dǎo)數(shù).

2.4 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)模式設(shè)計(jì)

堅(jiān)持“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，教學(xué)過(guò)程就不能忽視學(xué)生以前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).基于學(xué)生高中學(xué)習(xí)過(guò)導(dǎo)數(shù)的概念，我們認(rèn)為采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)模式比較適合本節(jié)內(nèi)容教學(xué).首先，教師需要在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)設(shè)置不同的問(wèn)題讓學(xué)生回憶高中知識(shí)，引出高中極限概念，其次，設(shè)置不同的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)中學(xué)到的精確極限定義，重新審視高中關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義，進(jìn)而引出導(dǎo)數(shù)的精確極限定義概念，再次，通過(guò)精確極限定義形式，引出導(dǎo)數(shù)存在的必要條件和充要條件，最后，總結(jié)高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的異同點(diǎn).主要教學(xué)環(huán)節(jié)和流程如下：

3 結(jié)束語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接問(wèn)題，除了內(nèi)容的銜接以外，還涉及學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)動(dòng)力等部分的銜接.這些銜接問(wèn)題的解決更需要堅(jiān)持“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，在教學(xué)過(guò)程中逐漸滲透講解.從教學(xué)模式、考核方式、問(wèn)題引入和歷史回顧等方面深入改革，培養(yǎng)新時(shí)代大學(xué)生自我學(xué)習(xí)、終生學(xué)習(xí)的正確學(xué)習(xí)觀.

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