基于初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)研究與案例分析

吳若林

【摘要】本文闡述了數(shù)形結(jié)合思想的概念，并結(jié)合實(shí)際案例對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)應(yīng)用進(jìn)行了深入分析.希望能夠通過對(duì)數(shù)形結(jié)合教學(xué)案例的展示，幫助更多數(shù)學(xué)教師領(lǐng)悟教學(xué)方法、提高教學(xué)技能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高其解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);教學(xué)方法;數(shù)形結(jié)合;案例分析

引 言

小學(xué)學(xué)段，隨著課程教學(xué)的不斷深入，小學(xué)生掌握了部分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí).在初中學(xué)段，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、體會(huì)數(shù)學(xué)方法和了解數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的核心內(nèi)容.美國教育心理學(xué)家布魯納指出：掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和更利于記憶，領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”.因此，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想是幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績、建立科學(xué)思維方式、形成創(chuàng)造性思維的有效途徑.

一、我國初中數(shù)形結(jié)合教學(xué)存在的問題

（一）重視程度不足

部分?jǐn)?shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用的重視程度不足.在實(shí)際教學(xué)過程中，教師不僅需要講解概念、定理、法則和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，還需要引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想，提高自身數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用能力.例如，角平分線性質(zhì)的定理就和數(shù)形結(jié)合思想緊密聯(lián)系，需要教師在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)明確指出并強(qiáng)化學(xué)生記憶.

（二）教學(xué)方法單一

在教學(xué)方法上，很多教師的教學(xué)形式過于單一，一味地追求“口述+板書”的傳統(tǒng)教學(xué)形式.教師想通過這種簡單的教學(xué)方式，使學(xué)生熟練地掌握數(shù)形結(jié)合思想，但是，多數(shù)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不扎實(shí)、理解能力不過關(guān)，需要教師在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上靈活地運(yùn)用多媒體課件進(jìn)行教學(xué)，運(yùn)用分組合作教學(xué)，為學(xué)生營造討論氛圍，使學(xué)生相互取長補(bǔ)短.例如，在學(xué)習(xí)平方差公式時(shí)，很多學(xué)生無法充分理解公式的幾何意義.這時(shí)，教師應(yīng)運(yùn)用多媒體課件，運(yùn)用分組合作的方式教學(xué)，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度.

（三）忽視能力培養(yǎng)

部分教師過度重視培養(yǎng)學(xué)生解題技巧，忽視學(xué)生思維能力的培養(yǎng).很多教師都希望能夠通過課堂教學(xué)環(huán)節(jié)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，一味地使用題海戰(zhàn)術(shù)，忽略了學(xué)生是否真的從例題中獲得啟示，不關(guān)注學(xué)生是否形成了數(shù)形結(jié)合思想.這種教學(xué)方式下，學(xué)生僅初步了解了解題方式和基本思路.顯然地，粗獷的題海戰(zhàn)術(shù)無法滲透和訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，甚至很多教師的這種教學(xué)理念直接導(dǎo)致學(xué)生不具備數(shù)形結(jié)合思想和能力.

二、數(shù)形結(jié)合教學(xué)開展的有效策略

教師需要明確數(shù)形結(jié)合思想是一種運(yùn)動(dòng)的思想，是一種變化的思想，同時(shí)也是一種在運(yùn)用和計(jì)算的過程中需要不斷轉(zhuǎn)化的思想.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)態(tài)思維模式下學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想.例如，均勻地向一個(gè)容器注水，最后把容器注滿.在注水的過程中，水面高度h隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖1所示（圖中OABC為一折線），這個(gè)容器的形狀是圖中的哪一個(gè)？你能畫出向另兩個(gè)容器注水時(shí)水面高度h隨時(shí)間t變化的圖像（草圖）嗎？

如上題所示，運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維方式研究這一例題，將每一個(gè)容器的形狀和坐標(biāo)系中的折線規(guī)律進(jìn)行同步思考，更有利于學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，同時(shí)可以有效加快學(xué)生的解題速度.在了解了O到A，A到B，B到C三段折線的角度之后，可以推導(dǎo)出B到C這一階段液面高度增長速度最快，容器最頂層的體積最小.由此可以排除第2選項(xiàng).再對(duì)比O到A，A到B兩段可以得到第2層的液面上升速度最慢，由此可以排除1，最終答案為3號(hào)容器.此外，根據(jù)上述問題，學(xué)生在找出相對(duì)應(yīng)的容器形狀之后，還需要進(jìn)行反向思維，運(yùn)用坐標(biāo)系中的折線反推出其他兩個(gè)容器在注水時(shí)的液面高度.值得注意的是，在解題的全過程都需要學(xué)生保持動(dòng)態(tài)思維模式.

（一）以數(shù)化形

在了解了數(shù)形結(jié)合思想是一種持續(xù)不斷運(yùn)動(dòng)和變化的思維模式之后，數(shù)學(xué)教師就可以向?qū)W生滲透以數(shù)化形這一思維概念，讓學(xué)生了解數(shù)字和圖形之間的基本關(guān)系.

例如，平方差公式是初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中相對(duì)基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，而平方差的運(yùn)用也是數(shù)形結(jié)合思想.運(yùn)用的主要內(nèi)容之一，比如，計(jì)算多項(xiàng)式 （x+1）（x-1）， （m+2）（m-2），（2x+1）（2x-1），通過計(jì)算并比較計(jì)算結(jié)果，找到其中存在的規(guī)律，從而計(jì)算出（a+b）（a-b）.教師可以在結(jié)合多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則基礎(chǔ)上，運(yùn)用幾何圖形來闡述這個(gè)知識(shí)點(diǎn).根據(jù)教材內(nèi)容，學(xué)生可以了解到（a+b）（a-b）=a2-b2，根據(jù)幾何公式，配合圖2進(jìn)行分析，可以得到a加b以及a減b的長度再利用圖形面積的方式得到 a2，b2，2ab的面積由此計(jì)算出相應(yīng)的平方差公式.

這種計(jì)算方式能夠結(jié)合教材內(nèi)容，根據(jù)公式的幾何背景，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)也能夠讓學(xué)生對(duì)代數(shù)知識(shí)的認(rèn)識(shí)更加具體、形象，便于其觀察和計(jì)算.另外，教師也可以用割補(bǔ)法講解上述例題.割補(bǔ)法是我國古代數(shù)學(xué)最重要的發(fā)現(xiàn)之一，是通過圖形面積來表示多項(xiàng)式關(guān)系的一種有效途徑.用圖形來解釋公式更加直觀、形象，也有利于學(xué)生接受和記憶.教師通過幾何方法將代數(shù)運(yùn)算具體化，是數(shù)形結(jié)合思想的基本體現(xiàn).然而這種數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，雖然能夠降低教學(xué)難度，但同時(shí)也存在局限性.

（二）以形變數(shù)

對(duì)學(xué)生來說，圖形更加直觀、形象，其能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)關(guān)系以具體的形式表現(xiàn)出來.但是，由于圖形只能表示相應(yīng)的比例和區(qū)間，因此想要明確定量，還需要借助數(shù)字計(jì)算的過程.尤其是當(dāng)學(xué)生在面對(duì)過于簡單或過于復(fù)雜的圖形時(shí)，很難通過直接觀察得到需要的規(guī)律和結(jié)論.為此，教師需要在圖形教學(xué)的基礎(chǔ)上以數(shù)字作為標(biāo)準(zhǔn)，使圖形具有幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，將圖形數(shù)字化，進(jìn)而有效解決圖形問題.

例如，在教學(xué)“角平分線的性質(zhì)”這一知識(shí)點(diǎn)的過程中，如何使學(xué)生熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)，這需要教師利用圖形和教材向?qū)W生闡述平分角的性質(zhì)，介紹平分角儀器，讓學(xué)生熟悉其操作方法并根據(jù)其工作原理結(jié)合動(dòng)手實(shí)踐，了解角的平分線性質(zhì)和定理，在推導(dǎo)過程中總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想.最基礎(chǔ)的教學(xué)方法是讓學(xué)生折疊角，利用一個(gè)直角三角形來觀察折痕數(shù)量和位置，從而得到角的平分線.

（三）形數(shù)互變

如圖3所示，平面直角坐標(biāo)系是學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想最關(guān)鍵的一種工具，平面直角坐標(biāo)系不只能表示相應(yīng)的位置關(guān)系，同時(shí)也是幾何與代數(shù)兩個(gè)大模塊之間的重要橋梁.平面直角坐標(biāo)系能夠?qū)⒂行驅(qū)崝?shù)對(duì)和平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，通過圖像的形式表述函數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生能夠用幾何方法來表述代數(shù)關(guān)系或者運(yùn)用代數(shù)方法來研究幾何性質(zhì).尤其是在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過程中，所涉及的變量與函數(shù)概念是學(xué)生在未來學(xué)習(xí)更高難度數(shù)學(xué)知識(shí)的重要前提.函數(shù)、變量、圖像在后續(xù)學(xué)段中的應(yīng)用極其廣泛，學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系能夠幫助學(xué)生有效解決各類問題.

例如，一次函數(shù) y=kx+b，k≠0.首先，可以確定的是k的正負(fù)值會(huì)決定直線在圖像中的變化趨勢(shì)，也可以說 k決定了函數(shù)y隨x的變化規(guī)律.當(dāng)了解上述情況后，教師就可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將k>0，k<0兩種方式進(jìn)行推導(dǎo)并在這兩種情況下分別觀察 b>0，b=0，b<0三種情況，畫出函數(shù)圖像，確定其經(jīng)過的象限，并最終得到直線的變化趨勢(shì).同時(shí)，教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生在解一次函數(shù)問題時(shí)構(gòu)建思維導(dǎo)圖，用核心詞、箭頭表述不同情況，從而得到精準(zhǔn)的答案.數(shù)形結(jié)合思維讓解題方式更簡單有效，這也是學(xué)生未來學(xué)習(xí)更高難度函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ).

（四）數(shù)形結(jié)合的教學(xué)建議

為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，教師需要在教學(xué)過程中結(jié)合教材內(nèi)容，了解學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)和理解能力，在各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)充分滲透數(shù)形結(jié)合思想.從課前預(yù)習(xí)、課上教學(xué)、課后復(fù)習(xí)、隨堂小結(jié)、教學(xué)評(píng)價(jià)等環(huán)節(jié)不斷強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的重要性，并循序漸進(jìn)地提高自身數(shù)形結(jié)合思想能力.另外，由于初中學(xué)段部分知識(shí)點(diǎn)抽象性、綜合性較強(qiáng)，因此需要教師注重對(duì)學(xué)生思維形式的培養(yǎng)，讓學(xué)生能夠發(fā)掘數(shù)軸、絕對(duì)值、坐標(biāo)系、函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合思想之間的潛在聯(lián)系.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師需要著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)字和圖形的敏感度和聯(lián)想能力，讓學(xué)生在了解了形的特征和數(shù)字的定量關(guān)系之后，不斷挖掘其存在的內(nèi)在等式和不等式，了解不同數(shù)字、點(diǎn)、公式在圖像上的運(yùn)用方法，了解數(shù)字在圖像中的特性，提高學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.

結(jié)束語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想既是初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)能力之一，同時(shí)也是轉(zhuǎn)化學(xué)生學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)理念的重要途徑.無論在加深各知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)性，還是學(xué)習(xí)新知識(shí)點(diǎn)時(shí)都發(fā)揮著積極的作用.為了讓學(xué)生更好地掌握數(shù)形結(jié)合思想，教師需要結(jié)合不同案例向?qū)W生滲透以數(shù)化形、以形變數(shù)、數(shù)形互變、數(shù)形結(jié)合等概念的實(shí)際應(yīng)用方式，同時(shí)，強(qiáng)調(diào)各類知識(shí)點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合思想潛在的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生能夠?qū)?shù)形結(jié)合當(dāng)成一種學(xué)習(xí)習(xí)慣，加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)知，深入挖掘教材，挖掘例題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.為了讓學(xué)生更加直觀地了解數(shù)形結(jié)合在解題和實(shí)際生活中的運(yùn)用，教師需要在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)發(fā)揮互聯(lián)網(wǎng)教學(xué)資源，運(yùn)用信息化教學(xué)模式、多媒體教學(xué)方法和分組合作教學(xué)探究的特點(diǎn)，讓學(xué)生充分討論、積極聯(lián)想，提高其思維靈活性和思維延展度.

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