高職數(shù)學(xué)函數(shù)極限概念教學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

袁立新

【摘要】從理解的角度，函數(shù)極限的概念包括它的形式化定義，對(duì)于高職學(xué)生而言并非遙不可及.函數(shù)極限概念教學(xué)的重難點(diǎn)集中于兩次抽象過程上，即先把具體教學(xué)材料抽象成描述性定義，然后將描述性定義抽象為形式化定義.抽象過程需要用學(xué)生熟悉的、可理解的方式進(jìn)行，如類比、直觀、計(jì)算.同時(shí)，要重視情感在極限概念教學(xué)中的作用，積極地從所學(xué)內(nèi)容、教師、教材等方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)極限;概念教學(xué);實(shí)踐;抽象

一、引言

“若從今天的數(shù)學(xué)中抽去了極限的思想，……，那么說得嚴(yán)重一點(diǎn)，這時(shí)的數(shù)學(xué)幾乎近于一無所剩了.”[1]高職階段的學(xué)生具備了一定的抽象思維能力，對(duì)極限思想有了初步的了解.函數(shù)極限概念是學(xué)生進(jìn)一步理解極限思想的一個(gè)重要途徑，也是深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要準(zhǔn)備.它的ε-δ定義（以下稱為形式化定義）更是數(shù)學(xué)概念符號(hào)化的典型代表，能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)謹(jǐn)性.但是在高職數(shù)學(xué)的教學(xué)中，對(duì)于極限概念的理解，要么避而不談形式化定義，認(rèn)為它超出學(xué)生的思維能力;要么直接給出定義，著重語義分析，忽視形成過程，概念理解也缺乏層次[2].所以，從理解的角度，函數(shù)極限概念教學(xué)需要過程性、階段性地展現(xiàn)，即要重視其形成過程（或抽象過程），同時(shí)需要從學(xué)習(xí)者已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，特別是從已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容中找到適合的認(rèn)知根源，努力通過類比、直觀、計(jì)算等策略幫助其理解.為了能把上述概念教學(xué)建議和要求落到實(shí)處，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)與實(shí)踐的統(tǒng)一，教學(xué)需要構(gòu)建深入課堂的、整體性的認(rèn)知與策略，給出基于理解的函數(shù)極限概念有效教學(xué)框架與過程.同時(shí)，教學(xué)過程也需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，避免因?qū)W習(xí)困難導(dǎo)致的情緒障礙.

二、函數(shù)極限概念的教學(xué)認(rèn)識(shí)

（一） 第一次抽象：形成函數(shù)極限的描述性定義

函數(shù)極限概念的形成需要經(jīng)歷兩次抽象.第一次是從學(xué)生已有的現(xiàn)實(shí)出發(fā)，把具體的教學(xué)材料抽象成描述性定義（以limx→x0f（x）=A為例）.教學(xué)重點(diǎn)是指出日常“極限”的理解經(jīng)驗(yàn)與極限概念的不同，以便對(duì)極限概念形成恰當(dāng)?shù)男睦肀碚?除了給出豐富的函數(shù)圖像外，利用數(shù)值表也是一個(gè)好的選擇，如根據(jù)x→2時(shí)，x2-4x-2的值的變化情況，直觀上幫助學(xué)生消除部分“00”的困惑.

（二）進(jìn)一步抽象的必要性

通過觀察、猜想的方法研究極限并不總是可行的.例如，通過函數(shù)圖像猜測(cè)函數(shù)y=sin 1x在x=0處的極限比較困難.同樣，通過數(shù)值表猜測(cè)也容易誤入陷阱.如對(duì)于函數(shù)y=sin πx，x分別取0.1，0.01，0.001，…結(jié)果都是0，這容易導(dǎo)致limx→0sin πx=0這樣的不正確的猜測(cè)結(jié)果.所以，除了從文化歷史角度讓學(xué)生了解極限形式化定義的重要性外，更重要的是讓學(xué)生親身體驗(yàn)描述性定義的不足.類似地，函數(shù)單調(diào)性概念最初被描述為“函數(shù)值隨著自變量的變化而變化”，雖然從直觀上很容易理解，但不夠嚴(yán)謹(jǐn).后來學(xué)習(xí)了嚴(yán)格定義后，不需要直觀，更能對(duì)單調(diào)性進(jìn)行嚴(yán)格討論.所以，要深入理解極限概念或運(yùn)用它解決問題，需要形式化定義.

（三） 第二次抽象：形成函數(shù)極限的形式化定義

第二次抽象是由函數(shù)極限概念的描述性定義轉(zhuǎn)變?yōu)樾问交x.第二次抽象過程應(yīng)以第一次抽象過程為基礎(chǔ)，無法逾越，因?yàn)闃O限概念的描述性定義是學(xué)生理解形式定義的一個(gè)良好的認(rèn)知根源.但這個(gè)過程比較困難，關(guān)鍵是抽象過程中的概念語言的嚴(yán)格化與符號(hào)化過程.

1.日常語言的數(shù)學(xué)化表達(dá)

這方面的教學(xué)準(zhǔn)備工作容易被忽略.只有適應(yīng)數(shù)學(xué)化的表達(dá)，特別是數(shù)學(xué)符號(hào)語言的表達(dá)，學(xué)生才能對(duì)形式化定義進(jìn)行分析與理解，避免形式化定義的形式與內(nèi)容的脫節(jié).事實(shí)上，在中學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)如函數(shù)單調(diào)性或周期性的嚴(yán)格定義時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)由日常語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的不適應(yīng).教學(xué)研究表明，這些不適應(yīng)也會(huì)遷移到極限形式化定義的理解上面來[3].數(shù)學(xué)語言，主要是數(shù)學(xué)符號(hào)語言，可以簡(jiǎn)化自然語言，擴(kuò)充和完善其表達(dá)范圍，使表達(dá)更嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué).而數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性主要體現(xiàn)在邏輯表達(dá)與推理上，這也是第二次抽象的難點(diǎn)所在，即不僅要把日常語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，而且要注重?cái)?shù)學(xué)語言所表達(dá)的邏輯性.對(duì)于數(shù)學(xué)抽象過程中的邏輯困難，弗萊登塔爾給出了一組由日常語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言的邏輯準(zhǔn)備工作，并把日常語言“很小的事能產(chǎn)生很大的影響”逐步數(shù)學(xué)化為函數(shù)不連續(xù)的ε-δ定義[4]，值得借鑒.教學(xué)過程中可以給出，如“沒有最大的自然數(shù)”“兩個(gè)實(shí)數(shù)之間距離可以任意小”等的數(shù)學(xué)化表達(dá)練習(xí).

2.函數(shù)極限描述性定義的形式化轉(zhuǎn)換

這樣的轉(zhuǎn)換過程是一種數(shù)學(xué)建模的過程，即定量、具體地刻畫兩個(gè)無限過程及其聯(lián)系.其中需要一套符號(hào)表示這兩個(gè)過程，并通過符號(hào)系統(tǒng)化體現(xiàn)兩者的聯(lián)系.為了方便理解，教學(xué)時(shí)需要借助具體的函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并盡可能用學(xué)生熟悉的語言表達(dá).

在形式化過程中，重點(diǎn)有兩方面：一是“函數(shù)值f（x）無限接近A”表述為：對(duì)任給的正數(shù)ε，|f（x）-A|都能小于ε.二是“自變量x充分接近x0”的表述轉(zhuǎn)換.上表中的進(jìn)程由第④步推進(jìn)到第⑤步是關(guān)鍵.因?yàn)榻虒W(xué)時(shí)不僅要把“自變量x充分接近x0”數(shù)學(xué)化、符號(hào)化，更要定量地建立兩個(gè)無限過程之間的聯(lián)系，因此，為了使學(xué)生理解轉(zhuǎn)換過程，教學(xué)需要具體化.如第④步能否實(shí)現(xiàn)，可以通過計(jì)算試一試：ε取一具體值ε1，要使|f（x）-A|<ε1，那么x離x0有多接近？即x與x0的距離在多少以內(nèi)，能使函數(shù)值f（x）與A的距離在ε1以內(nèi)？即“0<|x-x0|<？時(shí)，|f（x）-A|<ε1.”通過圖形計(jì)算（即函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算）或不等式|f（x）-A|<ε1計(jì)算尋找這樣的范圍（即δ）.ε可再取一些值，體會(huì)尋找具體的δ的過程和方法.在此基礎(chǔ)上，形成第⑤步的表述水到渠成.

3.對(duì)極限形式化定義的整體意義的領(lǐng)悟

經(jīng)過上述抽象過程獲得形式化定義之后，因?yàn)槎x中的符號(hào)多，邏輯層次復(fù)雜，需要對(duì)符號(hào)的關(guān)系及邏輯結(jié)構(gòu)的語義作整體性認(rèn)識(shí).整體領(lǐng)悟的方法通常有如下幾種：一是函數(shù)極限形式化定義的幾何意義;二是用更為簡(jiǎn)潔或易于理解的等價(jià)表述方法;三是定義的否定形式;四是類比或比喻.例如，定義可以看成甲與乙兩個(gè)人之間的競(jìng)賽或?qū)筟5].

4.關(guān)于函數(shù)極限形式化定義的兩個(gè)關(guān)鍵問題

函數(shù)極限形式化定義教學(xué)中的難點(diǎn)眾多，但在教學(xué)中以下兩個(gè)問題甚為關(guān)鍵.

（1）形式化定義如何以“有限”展示“無限”

有學(xué)生提出，“根據(jù)函數(shù)極限的ε-δ定義，要說明‘A是x趨于x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限需要無數(shù)步的驗(yàn)證，給出具體的ε1，ε2，ε3，…，找出相應(yīng)的δ1，δ2，δ3，….這是不可能實(shí)現(xiàn)的，從而不能保證A是它的極限.”事實(shí)上，涉及類似無限的命題是常見的，并非極限概念特有的.例如，要說明一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，不必把無數(shù)對(duì)互為相反數(shù)的函數(shù)值求出來檢驗(yàn);利用定義證明直線與平面垂直，也不必檢驗(yàn)直線是否與平面內(nèi)所有直線都垂直.一步的完成，意味著無窮多步類似推理的完成，或者說一件事等價(jià)于無窮多件的現(xiàn)象，這在變量數(shù)學(xué)里是常見的.這種現(xiàn)象恰恰反映出數(shù)學(xué)統(tǒng)一的思想和經(jīng)濟(jì)思維的特點(diǎn)[6].只要能找出ε與δ的關(guān)系，即可替代無數(shù)步的檢驗(yàn)，以有窮的方式討論無窮.

（2）形式化定義的否定形式

邏輯關(guān)系復(fù)雜的命題，要給出其否定形式也會(huì)很困難.要理解形式化定義的否定形式，需要從具體的函數(shù)出發(fā).例如，要說明limx→3（2x-1）不等于5.1，假設(shè)5.1是x趨于3時(shí)函數(shù)f（x）=2x-1的極限，那么對(duì)任意給定的正數(shù)ε，都能找到正數(shù)δ，當(dāng)0<|x-3|<δ時(shí)，使|f（x）-5|<ε.例如當(dāng)ε=0.5時(shí)，則能找到δ=0.2時(shí)，使|f（x）-5|<0.5.但是當(dāng)ε=0.05時(shí)，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，這樣的δ找不到了，或者說此時(shí)不管δ取什么樣的正數(shù)，在集合{x|0<|x-3|<δ}中都能找到x不滿足|f（x）-5.1|<0.05.這說明limx→3f（x）不等于5.1.在此基礎(chǔ)上討論函數(shù)在某點(diǎn)極限不存在的情況就變得容易了.當(dāng)然也可利用一些可探索的信息技術(shù)環(huán)境幫助學(xué)生表達(dá)和理解極限定義的否定形式，而不必只從純邏輯角度機(jī)械地以對(duì)偶形式給出否定形式，以避免“只講推理，不講道理”.

三、 函數(shù)極限概念教學(xué)中的情感支持

數(shù)學(xué)情感是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否滿足學(xué)生自身求知欲需要的一種體驗(yàn)，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生和發(fā)展起來的.數(shù)學(xué)概念的抽象性與嚴(yán)謹(jǐn)性決定了要形成對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，需要長(zhǎng)期積極情緒體驗(yàn)的積累.厭惡甚至痛苦的數(shù)學(xué)體驗(yàn)會(huì)讓學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而影響對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知.而函數(shù)極限概念符號(hào)眾多，語義抽象，令學(xué)生望而生畏.

首先，要努力融化極限形式定義的“冰冷”形式.事實(shí)上，極限形式定義是一種普通的靜態(tài)定義形式.從邏輯角度看，其外層邏輯結(jié)構(gòu)在中學(xué)里是常見的[7]，如“函數(shù)f（x）（x∈D）是無界的”，可定義為“M>0，x∈D，使|f（x）|>M.” 只是里層的結(jié)構(gòu)由一個(gè)簡(jiǎn)單命題變成了一個(gè)復(fù)合命題（假言命題），增加了理解的困難.對(duì)此，只要堅(jiān)持從特殊到一般、從具體至抽象的概念教學(xué)原則，努力展示定義中的抽象符號(hào)與圖形、數(shù)值或者可理解的自然語言的聯(lián)系，甚至借助信息技術(shù)手段，完全能讓學(xué)生產(chǎn)生火熱的思考.

其次，彌補(bǔ)教師教學(xué)中的情感缺失.無法動(dòng)之以情，何以曉之以理？教師需要“以情生情”，如果學(xué)習(xí)極限概念時(shí)向?qū)W生夸大其“枯燥、困難、高度抽象”，不寬容學(xué)生的錯(cuò)誤，那么教學(xué)效果會(huì)適得其反.張奠宙先生談到他自己開始學(xué)習(xí)ε-δ定義時(shí)，他的老師徐潤(rùn)炎先生在黑板上寫“ε”的讀法是“一不是龍”，至今使其印象深刻[8].有時(shí)教師的一個(gè)小小的輕松幽默，一個(gè)符號(hào)的歷史挖掘，或者一個(gè)有趣的類比，讓學(xué)生不僅對(duì)教師印象深刻，還能把這樣的情感遷移到所學(xué)知識(shí)上來.M·克萊因主張，教師不應(yīng)害怕幽默，而應(yīng)隨意使用它[9].波利亞的教學(xué)三原則，特別是最佳動(dòng)機(jī)原則，強(qiáng)調(diào)了培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)情感以及利用它進(jìn)行教學(xué)的重要性[10].所以教師在教學(xué)的時(shí)候，也需要情感設(shè)計(jì)，努力讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中保持積極的情緒狀態(tài)，獲得更好的情感與成就體驗(yàn).

最后，向?qū)W生提供通俗易懂的極限相關(guān)的閱讀材料.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀興趣是培養(yǎng)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)情感的有效途徑.以深入淺出的方式講解極限的概念，特別是其形式化定義的閱讀材料還很缺乏.正如柯朗所言：遺憾的是有些作者故弄玄虛，他們不做充分的準(zhǔn)備，而只是把這個(gè)定義直接向讀者列出，好像作些解釋就有損于數(shù)學(xué)家身份似的[5].

四、結(jié)束語

從其歷史過程看，“歷經(jīng)數(shù)千年時(shí)間，仍然沒有ε-δ的影子，那么要讓學(xué)生短短數(shù)十分鐘掌握‘ε-δ語言并不是一件容易的事情”[11]，因此，極限概念的理解與其他許多數(shù)學(xué)概念一樣，需要經(jīng)歷特殊到一般、實(shí)踐與認(rèn)識(shí)的不斷反復(fù)與深化.另外，雖然極限形式化的定義是為了擺脫對(duì)樸素直觀的依賴，但在學(xué)生頭腦中的心理表征并非是相應(yīng)的形式化定義，所以有必要充分發(fā)揮圖形圖像、數(shù)表的教育功能，采用類比、數(shù)形結(jié)合、一般化或特殊化等方法，借助信息技術(shù)手段，創(chuàng)設(shè)出與形式化定義相一致的精致直觀，使學(xué)生產(chǎn)生恰當(dāng)?shù)母拍钜庀?總之，極限形式化定義是一種普通的靜態(tài)定義形式，通過精準(zhǔn)施策，學(xué)生是可以理解的，多年的教學(xué)實(shí)踐也表明了這一點(diǎn).

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