數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用案例研究

李清華 王旭

【摘要】引入數(shù)學(xué)建模是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的有效方式.本文以返券銷售系統(tǒng)設(shè)計為案例，通過構(gòu)造消費效用函數(shù)和利潤函數(shù)設(shè)計最優(yōu)策略模型，利用高等數(shù)學(xué)中的積分和偏導(dǎo)運算解決實際問題.教學(xué)設(shè)計引入數(shù)學(xué)模型對學(xué)生理解和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)具有積極作用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;高等數(shù)學(xué);效用函數(shù);利潤函數(shù)

1 引言

高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代各個學(xué)科知識的理論基礎(chǔ)，其教學(xué)過程中無處不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)建模的思維方法.極限、微積分、連續(xù)和微分方程等數(shù)學(xué)思想，以及待定系數(shù)法、最小二乘法、連續(xù)離散化等數(shù)學(xué)方法都蘊含了數(shù)學(xué)模型的建構(gòu).數(shù)學(xué)建?？梢栽诔橄髥栴}和實際問題之間建立聯(lián)系.在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中可以通過引入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容和思維方法分析實際問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和學(xué)習(xí)動力.本文以經(jīng)濟生活中的返券促銷現(xiàn)象實施數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用教學(xué).

2 返券系統(tǒng)設(shè)計

某商店采用“返券”優(yōu)惠促銷，當(dāng)消費者消費金額滿100元時，該店可贈送50元的“返券”，不足100元的部分不能獲得返券.返券的用法是：每消費100元的商品，可以使用該店的50元返券，在付款時可以抵消50元，不足100元的部分忽略不計.

根據(jù)這個問題可以進行延拓，進一步考慮商家如何設(shè)計返券，從而獲得最大利潤.首先對符號進行說明.

2.1 消費者的消費行為

將消費者的消費行為分為兩個階段，第一個階段是消費者第一次消費得到返券，第二個階段是消費者使用返券進行抵扣消費.當(dāng)消費者自我感覺最為劃算的時候效用達(dá)到最大.消費者對若干消費品的選擇，在達(dá)到每一種消費品的單位貨幣支付所得的邊際效用相等時，實現(xiàn)最大總效用，即稱之為效用最大化原則[1].

假設(shè)商家在沒有使用返券促銷活動的情況下，消費者在兩個階段均按照自己的預(yù)期消費金額進行消費，設(shè)兩次預(yù)期消費金額的均值為x.當(dāng)商家使用返券活動時，在第一個階段，當(dāng)消費者消費金額大于等于Y1時即可以得到價值Γ的返券，但是該返券并不能用于第一個階段的消費，只能用于第二個階段消費抵扣.在第二個階段，即返券使用時期，當(dāng)消費金額大于等于Y2時，消費者就可以使用返券來抵扣本次消費，如果消費小于Y則不能使用該返券.

為更好地刻畫消費者的行為，構(gòu)建消費者消費的效用函數(shù)[2]如下：

其中x為消費者最佳的預(yù)期消費金額，s為實際的消費金額;ω是消費者實際消費金額小于等于預(yù)期消費金額時，每單位一消費金額的效用值（ω>1）;α是消費者實際消費金額大于預(yù)期消費金額時，提高單位一消費金額所得到的邊際效用（0<α<1）.消費者的凈效用是效用與成本之差，定義消費者消費行為中獲得的凈效用函數(shù)[3]為：

當(dāng)返券點等于用券點時，消費者的預(yù)期消費一共有兩種情況，一是預(yù)期消費金額大于等于返券點和用券點，二是預(yù)期消費金額小于返券點和用券點.當(dāng)返券點不等于用券點時，比第一種情況多了一種預(yù)期消費金額介于返券點和用券點之間.因此一共有三種情況，在此一一進行討論.

1.當(dāng)消費者預(yù)期消費金額大于等于Y1和Y2時，消費者可直接獲得一張返券，并且在下次消費時也不需要提高預(yù)期消費，可以直接使用返券進行抵扣消費.

2.當(dāng)消費者預(yù)期消費金額同時小于Y1和Y2時，且Y1

Ⅱ.當(dāng)用券點小于預(yù)期消費金額小于返券點，并且預(yù)期消費金額在Y2，Y1-r·Γ1-α?xí)r，消費者不會提高預(yù)期消費金額來獲得返券.預(yù)期消費金額在Y1-r·Γ1-α，Y1時，消費者會提高預(yù)期消費金額從而得到返券，并且第二次消費仍然按照預(yù)期消費即可使用返券進行抵扣.

2.2 商家利潤函數(shù)

現(xiàn)在考慮商家的利潤，要想研究商家使用返券后的利潤情況，需要同未使用返券促銷的利潤相比較，因此首先考慮未使用返券時商家的盈利模型.

返券促銷和其他的促銷方式不盡相同，返券促銷的對象是在商店中消費達(dá)到一定數(shù)額的消費者.因此需考慮商店中物品的平均預(yù)付資本，即平均進價C以及平均售價P，則利潤可以表示為π=P-C.利潤率是剩余價值和全部的預(yù)付資本的比率，利潤率是剩余價值率的轉(zhuǎn)化形式.利潤率可以考察商家預(yù)期利潤的完成情況，也可以用于比較不同商家和不同時期的經(jīng)營管理水平，從而提高經(jīng)濟效益[4].用A（0

當(dāng)商家不使用返券促銷，此時的利潤模型[4]為：

2.3 商家最優(yōu)策略

現(xiàn)在考慮商家制定返券促銷的最優(yōu)策略模型，在此假設(shè)返券點和用券點相同，記Y1=Y2=Y.通過商家利潤函數(shù)可以得到：

3 總結(jié)

本案例建構(gòu)的返券銷售系統(tǒng)最優(yōu)策略模型、消費效用函數(shù)和利潤函數(shù)，有效地幫助學(xué)生理解和掌握了高等數(shù)學(xué)中的知識點，比如積分和求偏導(dǎo).可見，在實際教學(xué)過程中，從問題中提煉出需要的數(shù)學(xué)知識，運用數(shù)學(xué)建模思想，構(gòu)造模型的案例，不僅能夠讓學(xué)生感受到學(xué)以致用，也能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的實際意義，對提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模思想觀察問題、分析問題、解決問題的能力具有積極作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬維娜.教育：“有價”“無價”的互構(gòu)究竟是怎樣的？——“澤利澤視角”的觸發(fā)[J].南京師大學(xué)報（社會科學(xué)版）， 2019（5）：22-31.

[2]陳奧杰.消費者跨境電商信息偏好程度測算及其影響因素——基于跨境物流產(chǎn)品選擇視角[D].杭州：浙江大學(xué)，2018.

[3]王煒.基于零售商返券促銷的供應(yīng)鏈運作決策與協(xié)調(diào)策略研究[D].四川：電子科技大學(xué)，2014.

[4]安欣.零售商返券促銷策略與模式設(shè)計研究[D].四川：電子科技大學(xué)，2012.