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    妙用數(shù)形結合 讓初中生數(shù)學解題思路更清晰

    2023-06-26 03:36:12黃漢財
    關鍵詞:數(shù)形結合初中數(shù)學思維

    摘 要:要想巧妙運用有效的數(shù)學解題技巧,需要能夠深刻理解數(shù)學概念并能靈活運用數(shù)學知識.本課題的研究是基于數(shù)形結合視角,引導學生展開數(shù)學問題的解答,以使學生能夠在解題之中尋求技巧的運用之法,更好地將數(shù)學解題技巧靈活、巧妙運用.通過課題內容的分析,幫助學生構建清晰的數(shù)學解題思路.

    關鍵詞:初中數(shù)學;數(shù)形結合;思維;方法

    中圖分類號:G632 文獻標識碼:A 文章編號:1008-0333(2023)02-0008-03

    在眾多解題方法中,數(shù)形結合是數(shù)學常用的一種解題技巧,能夠給數(shù)學教學帶來很大的推進作用.初中數(shù)學知識中存在大量數(shù)與形的關系,利用數(shù)形結合思想,引導初中生展開對數(shù)學問題的解答,構建起問題中數(shù)與形的關系,是一個值得研究與探索的課題.本文主要是尋找數(shù)形結合思想的應用之法,從對數(shù)形結合思想的理解與分析,到解題技巧的應用注意點,再到數(shù)形結合的應用方法探索,一路展開課題分析,以做到對數(shù)形結合思想的有效探索,從而引導初中生形成良好的數(shù)形結合解題意識.

    1 數(shù)形結合的概念及應用意義

    1.1 數(shù)形結合概念

    數(shù)學問題之中大多存在著“數(shù)”與“形”的關系,將二者聯(lián)系起來,突破單方面的思維探究,即是一次數(shù)與形的結合.在解題過程中以數(shù)促形、以形觀數(shù),讓整個數(shù)學問題能夠迎刃而解,這就是數(shù)形結合思想.

    1.2 數(shù)形結合思想應用意義

    首先,將數(shù)形結合思想應用于數(shù)學問題的解答,可以構建起數(shù)與形之間的聯(lián)系,讓數(shù)學問題不再單單是解答一方面的關系,而是二者的思維融合與探討,使整個數(shù)學問題解答變得有趣味,有層次;其次,數(shù)形結合思想也能夠讓原本復雜的數(shù)量關系變得簡單,學生不用再去計算大量的數(shù)量關系,可以直接觀察由題目給出的圖形關系,結合具體的數(shù)量關系內容,展開問題的規(guī)律解答,大大降低了解題的錯誤率,同時解答的時間也能夠大大縮短,有利于數(shù)學問題解答質量的整體提升.

    2 數(shù)形結合解題技巧的應用注意點

    2.1 懂得從全局出發(fā)

    學生要能從全局出發(fā),學會觀察由數(shù)量之間的關系能構建出一個圖形關系,反之出現(xiàn)一個圖形關系,可以將其轉化為數(shù)量關系.教師要引導學生做好數(shù)量與圖形之間關系的思考與探索,搭建起一條彼此相互聯(lián)系的橋梁.

    2.2 懂得從簡思維

    運用數(shù)形結合思想解題是為了讓數(shù)學解題變得有邏輯、有技巧、有效率,是將一個數(shù)學問題由難到簡的過程,因此學生要有一個從簡思維,學會從問題中尋找簡便的解答方式.

    2.3 懂得概念掌握

    在解答一些復雜的方程問題時,如果學生沒有掌握好方程的概念,或不懂得從方程之中尋找到與之對應的函數(shù)關系,就無法將一個數(shù)量關系轉為圖形關系.因此,做好學生對數(shù)學概念知識的認識與理解尤為重要,是教師教學的重中之重.

    3數(shù)形結合解題技巧應用于初中數(shù)學問題解答的方法

    3.1 數(shù)形結合與初中數(shù)學函數(shù)解題

    在數(shù)學學習中,多數(shù)學生都喜歡用數(shù)量關系來解答問題,導致計算時間過長,既耽誤解題的時間,也容易產生解題失誤.函數(shù)問題一直是初中數(shù)學的一個重要問題,鼓勵學生應用數(shù)形結合思想解答函數(shù)問題,是一種有效的初中數(shù)學解題教學.

    學會應用數(shù)形結合思想解答初中函數(shù)問題,要先從初中數(shù)學問題之中獲取到函數(shù)中的數(shù)量關系.再由這些數(shù)量關系信息構建起函數(shù)的圖像,由函數(shù)圖像去破解問題之中的數(shù)量關系,從而將看似復雜的函數(shù)問題從簡解答.根據數(shù)與形構建起來的關系,從一個整體層面去解答函數(shù)問題,可以使學生不只去思考一個數(shù)字或者一個圖形的問題.

    下面讓我們看一個初中數(shù)學函數(shù)問題:在平面直角坐標系中,分別過點A(m,0),B(m+2,0)作x軸的垂線l1和l2,探究直線l1,直線l2與雙曲線y=3/x的關系.請解答如下的問題:

    (1)當m=1時,兩直線與雙曲線的交點到原點的距離是否相等?

    (2)兩直線中總有一條與雙曲線相交嗎?

    (3)當﹣2<m<0時,兩直線與雙曲線的交點在y軸兩側嗎?

    (4)當兩直線與雙曲線都有交點時,兩交點的最短距離是否為2?

    解題分析 根據題干中的信息條件,可以構建起數(shù)量與圖形間的關系.即看到了題目中的坐標信息及雙曲線,可以快速地從大腦之中檢索出反比例函數(shù)的圖象繪制方法,思考如何利用這些信息去構建圖形,同時,問題中提到的x軸的垂線l1和l2也是用于圖象繪制的條件,所以應先去構建一條數(shù)與形結合的解題思路,再去展開具體問題的解答.

    解題過程 可知題中雙曲線可以看作是一個反比例函數(shù),畫出函數(shù)圖象,如圖1所示:

    首先,思考到y(tǒng)軸是反比例函數(shù)圖象的漸近線,且題中兩條垂線之間的距離為2,就會得到一個結論:這兩條垂線必有一條與反比例函數(shù)圖像相交,從而可以得到第二個問題的答案.其次,根據條件,我們可以得到m=1時,l1為x=1,l2為x=3.此時兩直線與雙曲線的交點分別為M(1,3),N(3,1),利用勾股定理可得MO=NO,從而得第一個問題的答案.最后,根據題目給出的條件信息,可以得到當l2和y軸重合時,即m+2=0,此時m=-2,當l1和y軸重合時,即m=0,進而可知第三個問題是正確的.由此證明下去,分別畫出雙曲線和直線l1、l2有兩個交點的三種情況,可得MN>2,故第四個問題的結論是錯誤的.

    解題反思 從本問題的解答過程可以看出,數(shù)形結合思想的應用會讓問題解決變得簡單且有效,有利于學生探究出其中的數(shù)學

    規(guī)律,有助于提升學生的數(shù)學解題效率和質量.

    3.2 數(shù)形結合與初中數(shù)學全等三角形判定學生要懂得去思考如何在一個復雜幾何圖形之中,將數(shù)量關系尋找出來,要能從問題之中構建圖形,再由圖形來分析出數(shù)量關系,從圖形中尋找到解答問題的突破口.

    請看下面這道全等三角形判定問題:如圖2,已知D是AB的中點,∠ACB=90°,求證CD=12AB.

    解題分析 根據題目中提供的各種信息,可以知道這是一個關于全等三角形判定的幾何問題.但若只是直觀地去看圖形,不會應用其中的數(shù)量關系去解答,解題也很困難.因此,教師要引導學生利用全等三角形的判定方法,去構建起以形助數(shù)的思路,將圖形之中的數(shù)量關系寫出來,以幫助獲得解題思路.

    解題過程 先延長CD至P點,使D為CP中點,連接AP,BP.因為DP=DC,DA=DB,所以四邊形ACBP為平行四邊形,又因為∠ACB=90°,所以平行四邊形ACBP為矩形;∴CD=DP=1/2AB.

    解題反思 從解題的過程可以看到圖形是存在的,但是學生必須學會利用圖形之中的條件信息,去構建起一個數(shù)學計算過程,才能有利于推進解題的開展與落實,有利于提升證明的效率和質量.解題過程中,很多學生能看到邊的數(shù)量信息,卻沒有真正看到數(shù)量與圖形之間的關系,不會利用數(shù)量與圖形的關系進行問題的解答,從而導致解答出來的內容無效或者錯誤,無法快速獲得問題的答案.所以,在反思這道問題的解決過程時,學生要懂得從圖形之間的邏輯結構之中探究其中的數(shù)量關系,這樣才能有效尋求出問題的答案.

    3.3 數(shù)形結合與初中數(shù)學不等式解答

    初中數(shù)學中的一些不等式問題,也可以利用數(shù)形結合思想,將不等式與圖形構建起聯(lián)系,將不等式問題轉化為圖形關系去解答,這樣的解題過程會很有趣,有利于學生尋找到更快、更高效的解題路徑.教師可以結合具體的不等式例題,引導學生學會去對照數(shù)形,探尋二者間相互滲透的方式,以提升解題的效率.學生要能從不等式概念知識之中尋找數(shù)與形的關系,學會利用概念去構建自己的大腦思維.在這個過程中,教師是引導者,要帶領學生去探索數(shù)與形的關系,體會思考問題的方式.

    如下題所示內容:根據圖3,使不等式|x-4|+|x-3|

    解題分析 先分析題中給出的不等式,可以知道|x-4|+|x-3|表示數(shù)軸上x所對應的點到與4、3所對應的兩點的距離之和,結合圖3可分析出其和的最小值為1,從而即可獲得a的取值范圍.

    解題過程 先根據“|x-4|+|x-3|”提示的信息,在數(shù)軸上標注對應的點,由x對應的點到與4、3所對應的兩點距離之和大于等于1,可知a>1.

    解題反思 學會利用數(shù)軸上的信息,構建起不等式與圖形之間的關系,將難度很大的問題轉化為簡單問題,是數(shù)形結合思想在解題中的有效體現(xiàn).

    綜上所述,通過巧妙應用數(shù)形結合思想,學會將這個思想應用于多種數(shù)學問題解答之中,是能夠提升解題效率的途徑,有助于學生掌握到有效的解題技巧.

    參考文獻:

    [1]李建成.論數(shù)形結合在初中數(shù)學教學中的有效運用[J].魅力中國,2022,8(14):58-58.

    [2] 李敏瑞.數(shù)形結合在初中數(shù)學解題過程中的妙用[J].課程教育研究,2021,3(5):99-102.

    [3] 陳元軍.分析數(shù)形結合在初中數(shù)學解題中的應用思路[J].速讀旬刊,2020,21(7):54.

    [4] 吳吉星.數(shù)形結合對培養(yǎng)初中生數(shù)學思維的價值探討[J].新課程導學,2021,3(11):9-16.

    [責任編輯:李 璟]

    收稿日期:2022-10-15

    作者簡介:黃漢財(1976.11-),男,福建省平和人,本科,中學一級教師,從事初中數(shù)學教學研究.

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