基于細(xì)觀(guān)理論的粗粒土剪脹性及本構(gòu)模型

孫海忠

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2.上海巖土工程勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，上海 200032）

剪脹性是顆粒材料不同于一般連續(xù)體材料的重要標(biāo)志.剪脹性是指土體在剪應(yīng)力作用下體積發(fā)生膨脹的現(xiàn)象，無(wú)粘性粒狀土在密實(shí)狀態(tài)下易表現(xiàn)出剪脹性.粗粒土為單粒結(jié)構(gòu)，顆粒之間存在咬合作用，在密度較大的條件下受剪切時(shí)，位于剪切面附近的顆粒必須以某種方式滑動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)或折斷以克服顆粒之間的咬合，尋求剪應(yīng)變空間，致使體積發(fā)生變化.

土的剪脹性很早被發(fā)現(xiàn)并有了大量的研究工作，不少土的本構(gòu)模型能夠較好地模擬土的剪脹性，但未考慮實(shí)際的土體變形（如顆粒破碎等）是如何發(fā)生的，只是一種宏觀(guān)的唯像論方法.一些學(xué)者對(duì)粗粒土的剪脹性進(jìn)行了探索，Rowe［1］系統(tǒng)地研究了顆粒材料的變形機(jī)理，提出了最小能比原理，推導(dǎo)出了著名的Rowe剪脹模型.Ueng等［2］基于能量守恒原理和Rowe提出的最小能比原理從細(xì)觀(guān)角度建立了考慮顆粒破碎的剪脹方程，在Rowe剪脹方程的基礎(chǔ)上增加了1項(xiàng)顆粒破碎耗能因子，并通過(guò)試驗(yàn)對(duì)耗能因子進(jìn)行了探討，認(rèn)為破碎耗能因子與破碎顆粒的表面積成正比.值得一提的是，以目前的試驗(yàn)條件很難對(duì)粗粒土的顆粒破碎表面積進(jìn)行準(zhǔn)確度量，因此，將該剪脹方程應(yīng)用于實(shí)際模型中非常復(fù)雜，也不太現(xiàn)實(shí)；文獻(xiàn)［3］也在Rowe剪脹方程的基礎(chǔ)上增加了1項(xiàng)顆粒破碎耗能因子，通過(guò)粗粒土的大三軸試驗(yàn)研究提出了試樣破壞時(shí)破碎耗能因子與圍壓成線(xiàn)性關(guān)系.然而在試驗(yàn)過(guò)程中不同圍壓下的顆粒破碎耗能因子會(huì)隨著軸向應(yīng)變的增加而不斷增大，因此很難對(duì)圍壓進(jìn)行歸一化.如何準(zhǔn)確地描述不同圍壓下顆粒破碎耗能因子在試驗(yàn)過(guò)程中的變化趨勢(shì)，并將該考慮顆粒破碎的剪脹方程能夠得以合理應(yīng)用是本文探討的關(guān)鍵.本文對(duì)Ueng等［2］建立的基于細(xì)觀(guān)理論的粗粒土剪脹方程進(jìn)行了改進(jìn)，對(duì)不同圍壓下顆粒破碎耗能因子在試驗(yàn)過(guò)程中的變化趨勢(shì)進(jìn)行了歸一化，并建立了相應(yīng)的彈塑性本構(gòu)模型.

1 基于細(xì)觀(guān)理論的剪脹方程

Rowe［1］根據(jù)緊密粒狀土體的受力平衡條件和變形相容條件考慮變形總是沿著能量耗散最小的路徑進(jìn)行推導(dǎo)得出著名的Rowe剪脹方程［4］，即

式中：σ1和σ3分別為最大和最小主應(yīng)力；εv，p和ε1，p分別為塑性體積應(yīng)變和軸向應(yīng)變；φμ為顆粒之間的摩擦角.Rowe剪脹方程考慮了土體變形過(guò)程中的摩擦和顆?；圃斐傻募裘浐哪?緊密粗粒土在受力變形過(guò)程中除了摩擦與顆?；圃斐傻募裘浐哪芡?，顆粒的破碎造成的耗能也不可避免，特別是在高圍壓作用下，土體所受的約束作用增強(qiáng)，顆?；频募裘浶?yīng)削弱，而顆粒破碎量變大，若不考慮顆粒破碎耗能效應(yīng)顯然是不合理的［4］.

在大三軸應(yīng)力條件下緊密粒狀土體受力及變形如圖1所示，圖中，βi為顆粒之間的接觸面與鉛垂方向的夾角；F1i，F(xiàn)3i分別為顆粒之間接觸力在鉛垂方向和水平方向的分量；Si，Ni分別為顆粒之間接觸力沿顆粒作用面切向和法向分量；ui為顆粒之間的相對(duì)位移，yi，xi分別為顆粒之間相對(duì)位移在鉛垂方向和水平方向的分量.文獻(xiàn)［2-3］在Rowe剪脹方程的基礎(chǔ)上從細(xì)觀(guān)角度考慮破碎能耗的修正，得到了以下修正的剪脹方程：

式中：q＝σ1-σ3；p＝（σ1＋2σ3）／3；dεv＝dε1＋2dε3，ε3為圍壓作用產(chǎn)生的應(yīng)變；WE，p為單位體積粒狀土體的顆粒破碎耗能（有效塑性功）.

在大三軸試驗(yàn)中由塑性軸向應(yīng)變、塑性體應(yīng)變、廣義塑性剪應(yīng)變?nèi)咧g的相互關(guān)系得到

式中，εs，p為廣義塑性剪應(yīng)變.由硬化內(nèi)變量 M＝得到

圖1 緊密粒狀土體的受力和變形［1］Fig.1 Loading and deformation of dense granular aggregates［1］

為了使上述剪脹性方程能夠得到應(yīng)用，這里關(guān)鍵在于dWE，p／dε1的處理.文獻(xiàn)［2］認(rèn)為 WE，p與破碎顆粒的表面積成正比，但實(shí)際上顆粒破碎表面積很難量測(cè).文獻(xiàn)［3］則認(rèn)為WE，p與圍壓σ3成正比，但WE，p隨軸向應(yīng)變?chǔ)?的增加不斷增大，因此很難直接對(duì)圍壓進(jìn)行歸一化.

對(duì)于WE，p的計(jì)算采用 Chavez等［5］提出的方法

式中：WR，p為顆粒重新排列所消耗的塑性功，一般假設(shè)為某一常數(shù)，該值較小，可以近似為零；WT，p為粗粒土在加載過(guò)程中所消耗的總功，即WT，p＝∫dWT，p，因此，dWE，p表示為

文獻(xiàn)［6］開(kāi)展了圓形、菱形顆粒形狀的粗粒土大三軸排水應(yīng)力-應(yīng)變?cè)囼?yàn)，如圖2所示.

按照式（8）將顆粒破碎所消耗的有效塑性功WE，p分為2個(gè)部分進(jìn)行計(jì)算，即軸向應(yīng)力做功∫σ1dε1，p和圍壓做功∫2σ3dε3，p，相應(yīng)計(jì)算結(jié)果如圖3和4，將2個(gè)部分塑性功疊加得出WE，p隨軸向應(yīng)變?chǔ)?的變化趨勢(shì)，如圖5a和5c所示.經(jīng)過(guò)數(shù)值分析，可以得到dWE，p／dε1隨軸向應(yīng)變?chǔ)?的變化關(guān)系，如圖5b和5d所示，而ε1與WE，p存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，dWE，p／dε1可以表示為關(guān) 于 有效塑性功WE，p的函數(shù)，即dWE，p／dε1＝f（WE，p）.

通過(guò)相關(guān)計(jì)算，得到了2組土樣剪切時(shí)dWE，p／dε1與有效塑性功WE，p的變化關(guān)系，如圖6a和6c所示.可以發(fā)現(xiàn)，兩者幾乎呈雙曲線(xiàn)關(guān)系，這里建議采用如下關(guān)系式進(jìn)行表述：

式中：a為dWE，p／dε1與WE，p關(guān)系曲線(xiàn)初始切線(xiàn)模量的倒數(shù)；b為其關(guān)系曲線(xiàn)強(qiáng)度極限值的倒數(shù).用式（9）對(duì)2組結(jié)果進(jìn)行最小二乘法非線(xiàn)性擬合，得到如圖6a和6c中虛線(xiàn)所示.相對(duì)應(yīng)的擬合參數(shù)a，b見(jiàn)表1.

圖4 菱形粗粒土塑性功Fig.4 Plastic work associated with angular coarse granular aggregates sample

從表1可見(jiàn)，離差系數(shù)均小于0.05，符合擬合精度要求.參數(shù)a幾乎沒(méi)有變化，可以取4種圍壓下的平均值作為模型參數(shù)，圓形和菱形粗粒土的土樣參數(shù)a分別為0.0099和0.0072.而參數(shù)b則隨圍壓的增加而減小，如圖6b和6d所示，兩者幾乎成線(xiàn)性關(guān)系，可以表示為

式中：k為比例參數(shù)；c為擬合直線(xiàn)截距.由圖6b和6d的擬合結(jié)果得出圓形和菱形粗粒土土樣的k值和c值分別為-0.29，0.46和-0.61，0.92.

將式（9）和式（10）代入式（6），得到最終的剪脹方程

表1 粗粒土回歸系數(shù)Tab.1 Regression coefficient of rounded coarse aggregates

2 本構(gòu)模型的建立與驗(yàn)證

2.1 模型的建立

這里通過(guò)將前面推導(dǎo)出的剪脹方程代入到相關(guān)本構(gòu)模型來(lái)對(duì)室內(nèi)顆粒破碎試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值分析，從而間接地驗(yàn)證該剪脹方程正確與否.

聯(lián)立式（12）和式（13）得到

將式（14）代入式（6）得到塑性勢(shì)方程

式中：Mco和Mcres分別為試樣在剪切過(guò)程中隨著有效塑性功WE，p的增加而表現(xiàn)出的初始狀態(tài)應(yīng)力比和殘余狀態(tài)應(yīng)力比；e為孔隙比；α為有效塑性功參數(shù).

為了應(yīng)用該本構(gòu)模型模擬粗粒土在不同加載水平下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和顆粒破碎程度，用FORTRAN語(yǔ)言編制相應(yīng)的點(diǎn)積分程序并通過(guò)顯式積分格式求得各計(jì)算步應(yīng)力增量、塑性剪應(yīng)變?cè)隽俊⑺苄泽w應(yīng)變?cè)隽?，同時(shí)進(jìn)行逐步累加得到應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)?在對(duì) WE，p、臨界狀態(tài)應(yīng)力比 Mc（WE，p）數(shù)值計(jì)算時(shí)其迭代過(guò)程為（WE，p）n＋1＝（WE，p）n＋dWE，P，dWE，p＝ qdεs，p＋ pdεv，p， ［Mc（WE，p）］n＋1＝［Mc（WE，p）］n＋d Mc（WE，p），d Mc（WE，p）可通過(guò) 對(duì)式（16）微分得到

2.2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的適用性，擬針對(duì)文獻(xiàn)［6］開(kāi)展的圓形（包括亞圓形）和菱形（包括亞菱形）2種顆粒形狀的粗粒土大三軸顆粒破碎試驗(yàn)結(jié)果（2種粗粒土的臨界狀態(tài)線(xiàn)在e-ln p平面中均為直線(xiàn)型），用該模型對(duì)粗粒土在不同圍壓下的強(qiáng)度和變形特性進(jìn)行數(shù)值模擬.首先分別將這2種粗粒土的試驗(yàn)結(jié)果繪制在e-ln p平面中，得出它們的臨界狀態(tài)線(xiàn)，如圖7所示，圖中ec為臨界狀態(tài)孔隙比.

圖7 粗粒土的臨界狀態(tài)線(xiàn)Fig.7 Critical state line of coarse aggregates

根據(jù)文獻(xiàn)［8］提出的參數(shù)確定方法得出其他模型參數(shù)，模型參數(shù)如表2所示，表中，Γ，λ為臨界狀態(tài)線(xiàn)ec＝Γ-λln p中擬合參數(shù).模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖8所示.

表2 模型參數(shù)Tab.2 Model parameters

圖8 粗粒土試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模擬結(jié)果Fig.8 Comparison between data and simulation for coarse granular aggregates sample

由圖8可知，本文模型不僅可以比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)剪應(yīng)力q和軸向應(yīng)變?chǔ)?的關(guān)系，還可以反映剪縮和剪脹特性對(duì)平均應(yīng)力的依存性，即隨著圍壓σ3的增大，剪脹性減小，剪縮性變大.

另外可以發(fā)現(xiàn)，圓形粗粒土的剪脹性較小，而菱形粗粒土的剪脹性較為明顯，表明顆粒形狀對(duì)于粗粒土的剪脹性具有一定的影響.值得一提的是，本文模型能夠在較大應(yīng)變范圍內(nèi)較好地描述粗粒土隨著應(yīng)力水平的增長(zhǎng)由體縮向體脹發(fā)展的體變特性，證明了本文所推導(dǎo)出的考慮顆粒破碎的剪脹方程能夠較好地描述粗粒土的剪脹特性.

3 結(jié)語(yǔ)

基于細(xì)觀(guān)理論本文在Ueng和Chen提出的考慮顆粒破碎粗粒土剪脹方程的基礎(chǔ)上對(duì)不同圍壓下顆粒破碎耗能因子在試驗(yàn)過(guò)程中的變化趨勢(shì)進(jìn)行了歸一化，建立了僅與顆粒破碎所消耗的有效塑性功直接相關(guān)的剪脹方程.為了驗(yàn)證該剪脹方程的正確性，引用筆者曾提出的修正硬化準(zhǔn)則，建立了考慮顆粒破碎的粗粒土彈塑性本構(gòu)模型，對(duì)2種不同顆粒形狀粗粒土室內(nèi)大三軸試驗(yàn)的數(shù)值模擬表明，該模型能夠在較大的應(yīng)變范圍內(nèi)很好地描述粗粒土的應(yīng)力-應(yīng)變及體變特性，從而間接地證明了本文所推導(dǎo)出的考慮顆粒破碎剪脹方程的正確性.

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