人教A版與湘教版數(shù)學(xué)教科書中平面向量例題難度的比較

摘?要：本文運用習(xí)題難度測量模型，對人教A版和湘教版高中數(shù)學(xué)教科書中平面向量一章的例題難度從背景因素、運算因素、認(rèn)知因素、習(xí)題類型和知識綜合因素等方面進(jìn)行了比較.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教科書;向量;例題難度;比較

1?引言

根據(jù)IEA（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement）的課程模型，可以將課程分為三個層面[1]：預(yù)期課程（Intended curriculum）、實施課程（Implemented curriculum）、獲得課程（Attained curriculum）.其中，預(yù)期課程反映的是國家或教育部門的意愿，通常以課程標(biāo)準(zhǔn)的形式得到體現(xiàn);實施課程反映的是教師的實際教學(xué)活動.教科書是按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求編寫的教學(xué)用書，是教師和學(xué)生共同構(gòu)成教學(xué)活動的媒介.

數(shù)學(xué)教科書一般是由正文、例題、習(xí)題三部分有機組成的，例題的設(shè)置在一定程度上反映了數(shù)學(xué)教科書的特征.并且，不同版本的教科書例題的編排是不盡相同的，這體現(xiàn)了教科書編寫者對課程標(biāo)準(zhǔn)的不同理解.因此，對教科書例題的研究是很有必要的.

這里我們選取人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（A版）》和湖南教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（必修）》中平面向量一章的例題作為比較對象.之所以選擇平面向量作為比較對象，是因為向量作為一種數(shù)學(xué)工具具有重要性，向量是近代數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁.這里以文獻(xiàn)[2]中給出的習(xí)題難度測量模型，對兩套高中數(shù)學(xué)教科書中平面向量一章例題的難度進(jìn)行比較研究，希望能為平面向量一章例題的編排提供一些建議.

2?研究方法

人教A版教科書中平面向量的內(nèi)容安排在必修 4 第二章[3]，湘教版教科書中平面向量安排在必修 2 第 4 章[4].利用習(xí)題難度測量模型，我們選擇采用定量與定性相結(jié)合的研究方法.

21?難度測量模型的選擇

以文獻(xiàn)[2]中的模型為量化工具.該模型由 5 個難度影響因素構(gòu)成，分別是背景、運算、認(rèn)知要求、習(xí)題類型和知識綜合.每個因素又劃分為不同的水平.這里主要考察兩套教科書中平面向量一章的例題在 5 個難度影響因素的水平如何，有什么共同之處和不同之處？

22?題目數(shù)量的統(tǒng)計

例題是教科書編寫者精心選擇的，在題目的背景、運算、類型、難度、作用等方面都能很好地體現(xiàn)教科書編寫者的設(shè)計意圖.本研究中例題數(shù)量的統(tǒng)計方法：一個題目如果有多個小題，按題目中小題個數(shù)計算;一個題目有連續(xù)幾個問題，但如果這些問題沒有分成（1）（2）（3） ……這樣的層次，仍作一個題目計算.

人教A版教科書和湘教版教科書平面向量一章各種不同類型題目的數(shù)量統(tǒng)計見表1、表2.

從表1、表2可以初步發(fā)現(xiàn)，兩套教科書在習(xí)題的設(shè)置上有較大的差異，湘教版教科書在例題數(shù)量上多于人教A版，但在總量上、練習(xí)題以及習(xí)題數(shù)量上都遠(yuǎn)低于人教A版.這就需要我們對兩套教科書中的例題進(jìn)行深層次的分析.

3?統(tǒng)計結(jié)果及分析

依照文獻(xiàn)[2]中給出的習(xí)題難度測量模型，我們得到表3的結(jié)果.

下面先對每個習(xí)題難度影響因素分別進(jìn)行比較分析，再從綜合難度上進(jìn)行整體比較.

31?兩套教科書在習(xí)題背景因素上的比較

從表3可以看到，在人教A版和湘教版教科書中，不涉及實際背景的例題分別占8437%，9024%，屬于“公共生活”的題目分別占1563%，976%.兩套教科書在“個人生活”和“科學(xué)情境”方面都沒有編排例題.

在習(xí)題背景因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖1 所示.

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，兩套教科書的例題大都屬于“無背景”水平，湘教版教科書在無背景水平的例題稍多于人教A版.兩套教科書有背景的習(xí)題都非常少.這可能是由處于高中學(xué)習(xí)階段的學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征所決定的.處于高中階段的學(xué)生，他們基本上可以通過抽象思維來進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而不需要依靠直觀化、形象化的事物來輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

兩套教科書在“個人生活”和“科學(xué)情境”水平上，都沒有安排例題.在“公共生活”水平上，人教A版教科書的例題數(shù)多于湘教版，但二者相差不大.

32?兩套教科書在習(xí)題運算因素上的比較

人教A版教科書32道例題中有2188%是無運算例題，4375%是簡單運算的例題，復(fù)雜運算的例題占3437%.湘教版教科書41個例題中有488%是無運算例題，屬于“簡單運算”的題目占5610%，屬于“復(fù)雜運算”的例題占3902%.

在運算因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖2所示.

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，兩套教科書平面向量一章的例題表現(xiàn)的趨勢是一致的，都是處于簡單運算水平的習(xí)題最多，其中湘教版教科書超過一半的例題都屬于簡單運算.處于復(fù)雜運算水平的例題占比兩套教科書相差不大，但無運算水平的例題方面，二者相差較大，人教A版教科書遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于湘教版.

兩套高中數(shù)學(xué)教科書平面向量一章的例題主要都集中在簡單運算水平，這是由平面向量知識的特殊性決定的.平面向量中，向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運算以及平面向量的坐標(biāo)運算，這些運算都比較簡單，基本上只要記住公式，代入公式就可以解決，不需要進(jìn)行較復(fù)雜的運算.

33?兩套教科書在習(xí)題認(rèn)知要求上的比較

人教A版教科書32道例題中有1875%是概念性記憶水平的例題，3750%為概念性理解水平的例題，屬于遷移性理解水平的例題占4375%;湘教版教科書41個例題中有732%是概念性記憶水平的例題，屬于概念性理解水平的例題占3171%，屬于遷移性理解水平的例題占6097%.兩套教科書都沒有屬于綜合性探究水平的例題.

在習(xí)題認(rèn)知要求因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖3所示.

從整體上看，兩套教科書在這一例題難度影響因素方面表現(xiàn)的趨勢是一致的，都是先上升，再下降.兩套教科書平面向量一章的例題主要都集中在“遷移性理解”水平，其次是“概念性理解”水平的例題.最少的是“探究”和“記憶”水平的例題，這說明兩套高中數(shù)學(xué)教科書都強調(diào)讓學(xué)習(xí)者理解和運用知識，而不是簡單的計算和概念的記憶.這體現(xiàn)了向量是一種工具，也很好地體現(xiàn)了“課程標(biāo)準(zhǔn)”所要求的，強調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，讓學(xué)生通過運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去解決一些簡單的實際問題.

對處于低認(rèn)知水平（記憶水平）的例題，兩套教科書中都不是很多.這樣的例題對學(xué)生的認(rèn)知水平?jīng)]有太高的要求[5]，只需要機械地實施例題中給出的解題程序.人教A版教科書中概念性記憶水平的例題有1875%，比湘教版多一些.

34?兩套教科書在習(xí)題類型上的比較

人教A版教科書32道例題中有4375%是標(biāo)準(zhǔn)性題，2188%為訓(xùn)練性題，屬于探索性水平的例題占3437%;湘教版教科書41個例題中有2683%是標(biāo)準(zhǔn)性題，屬于訓(xùn)練性水平的例題占3171%，屬于探索性水平的例題占4146%.兩套教科書都沒有屬于問題性水平的例題.

在習(xí)題類型因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖4所示.

從圖4可以看出，兩套教科書在這一方面相差較大.人教A版教科書中最多的例題是標(biāo)準(zhǔn)性題.湘教版教科書中大約有三分之一的例題為訓(xùn)練性題目，這類題目中的習(xí)題條件、解題依據(jù)、解題方法和習(xí)題結(jié)論中有三個要素是已知的，只有一個不知道.一般來說，都是結(jié)論未知，計算題一般都屬于此類題目.訓(xùn)練性題目一般是強調(diào)學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握，是一些常規(guī)的數(shù)學(xué)題目.這類題目對學(xué)生而言，只要能記住教科書中的公式、定理或法則，基本上就可以解決.

這說明兩套教科書都比較強調(diào)學(xué)生對“雙基”的掌握，也在某種程度上解釋了為什么亞洲學(xué)生總能在一些大型國際性測試（TIMSS，PISA）中拿高分.

湘教版教科書例題主要集中在探索性題目，人教A版也有大約三分之一的例題是探索性題目.這類題目有一定的難度，可以較好地培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去解決實際問題的能力.

35?兩套教科書在知識綜合上的比較

人教A版高中數(shù)學(xué)教科書的32道例題中有4375%含有一個知識點，含有兩個知識點的例題占50%，含有三個及以上知識點的例題占625%;湘教版高中數(shù)學(xué)教科書41個例題中有3415%含有一個知識點，含有兩個知識點的例題占4878%，含有三個及以上知識點的例題占1707%.

在知識綜合因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖5所示.

從圖5可以清楚地知道，兩套教科書中的例題大多涉及1-2個知識點，兩套教科書中含有2個知識點的例題都接近一半.單個知識點的例題，人教A版比湘教版教科書大約多10個百分點.湘教版教科書含有3個及以上知識點的例題要比人教A版多大約10個百分點，這說明湘教版教科書比人教A版教科書更加注重數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系.

36?兩套教科書例題難度的綜合比較

在前面，根據(jù)5個例題難度影響因素對人教A版和湘教版兩套高中數(shù)學(xué)教科書中平面向量一章的例題的難度進(jìn)行了比較，為進(jìn)一步考察教科書平面向量一章例題的綜合難度，我們對兩套教科書中各難度影響因素的不同水平的題目進(jìn)行了統(tǒng)計，并利用前面提到的公式，對各因素的加權(quán)平均進(jìn)行計算，得到表4：

為了更形象直觀，我們作出了下面的雷達(dá)圖.這樣，兩套教科書平面向量一章的例題的各個難度影響因素的異同點就非常明顯了.

首先，從綜合難度上看，湘教版教科書的綜合難度高于人教A版教科書，但兩套教科書例題難度相差不大.從5個例題難度影響因素各自的加權(quán)平均值來看，人教A版教科書僅在“習(xí)題背景”上高于湘教版教科書，在“運算水平”“認(rèn)知要求”“習(xí)題類型”“知識綜合”上均低于湘教版教科書.此外，還可以發(fā)現(xiàn)，兩套高中數(shù)學(xué)教科書在5個難度因素上都不是很平衡，其中湘教版教科書中“認(rèn)知要求”和“習(xí)題背景”兩個難度影響因素的加權(quán)平均值相差達(dá)到了1439，人教A版教科書“認(rèn)知要求”和“習(xí)題背景”兩個難度影響因素的加權(quán)平均值相差也達(dá)到了0937.

其次，從圖6我們可以很清楚地看到，兩套教科書在“認(rèn)知要求”和“習(xí)題類型”因素上相差較大，在“習(xí)題背景”“習(xí)題運算”和“知識綜合”這三個例題難度影響因素上相差不大.

4?結(jié)論與建議

41?結(jié)論

（1） 湘教版教科書在例題綜合難度上大于人教A版教科書;

（2）在習(xí)題背景因素上，人教A版教科書例題的難度要高于湘教版教科書，而在運算、認(rèn)知、題目類型和知識綜合4個難度因素上要低于湘教版教科書;

（3）兩套教科書的例題都沒有保持5個難度因素的平衡，尤其是湘教版，“認(rèn)知要求”和“習(xí)題背景”的加權(quán)平均值相差達(dá)到了1439;

（4）在習(xí)題背景因素上，兩套教科書都以無背景習(xí)題為主，在“公共生活”方面的例題都比較少，都沒有“個人生活”和“科學(xué)情境”的例題;

（5） 在習(xí)題運算因素上，兩套教科書都以簡單計算為主，不涉及運算的例題都比較少.這可能和平面向量本身有關(guān)，向量作為近代數(shù)學(xué)的重要工具，它溝通了代數(shù)、幾何與三角函數(shù)，向量的代數(shù)運算是處理幾何、物理以及其它領(lǐng)域問題的一個有力工具.向量的這些特性也就意味著，在平面向量內(nèi)容中會有較多的計算;

（6） 在習(xí)題認(rèn)知要求上，相對于其它難度因素，兩套教科書的加權(quán)平均值都是最大的.兩套教科書表現(xiàn)的趨勢一致，都呈上升趨勢，難度越高，例題的數(shù)量也越多.人教A版教科書處于記憶水平的例題的數(shù)量為湘教版教科書處于記憶水平的例題的兩倍;處于概念理解水平的例題，二者相差不大;湘教版處于遷移性理解水平的例題的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于人教A版;

（7） 在習(xí)題類型因素上，人教A版以標(biāo)準(zhǔn)性題目最多，湘教版以探索性題目最多.在這一難度因素上，兩套教科書的區(qū)別明顯，人教A版大致呈下降趨勢，湘教版大致呈上升趨勢;

（8） 在知識綜合因素上，兩套教科書都以含有2個知識點的例題最多，表現(xiàn)的趨勢一致，都是先上升后下降，含有3個及以上知識點的例題都比較少.

42?建議

（1）注重數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性.

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有三個顯著的特點[6]：高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)格性和廣泛的應(yīng)用性.“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué).”

現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育認(rèn)為，“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，并應(yīng)用于現(xiàn)實.”向量作為近代數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)概念之一，工具性是其重要的特征，在幾何學(xué)、物理學(xué)以及其它領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決問題也是新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念所倡導(dǎo)的[7].

但前述分析表明，在背景因素上，兩套教科書都以無背景例題為主，有背景的例題都比較少，都沒有屬于“公共生活”和“科學(xué)情境”水平的例題.因此，可以考慮在教科書中適當(dāng)增加具有現(xiàn)實背景的例題和習(xí)題.

（2）習(xí)題的安排應(yīng)注重各個難度因素的平衡.

研究表明，兩套高中數(shù)學(xué)教科書都沒有保持5個難度因素之間的平衡，其中，背景因素的加權(quán)均值相比其它4個因素要小很多，兩套教科書在認(rèn)知要求因素上的加權(quán)平均值都是最高的.湘教版教科書的例題在背景和認(rèn)知要求兩個難度因素上的加權(quán)平均值相差1439;人教A版中，背景和認(rèn)知要求兩個難度因素之間的加權(quán)均值相差達(dá)到了0937.兩套教科書中其它難度影響因素也不是很平衡.因此，在進(jìn)行向量一章中教科書例題的選擇和編排時，應(yīng)該考慮該數(shù)學(xué)內(nèi)容的特殊性，同時注重各難度因素之間的平衡.

（3）注重數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系性.

從前面的統(tǒng)計分析可知，兩套教科書中的例題大約有一半都是含有2個知識點，含有3個及以上知識點的例題都很少.其中人教A版教科書含有1-2個知識點的例題占9375%，湘教版教科書占8293%，人教A版含有3個及以上的知識點的例題僅有625%.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不應(yīng)該也不能夠僅僅是單個知識點的學(xué)習(xí)，而且學(xué)生在現(xiàn)實中所遇到的問題常常都是綜合性的，它們通常包含了許多個知識點.數(shù)學(xué)的各個分支“是一個不可分割的整體，它的生命力也正是在于各個部分之間的聯(lián)系.盡管不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識千差萬別，但是在作為整體的數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)家們都使用著相同的工具，存在著概念間的親緣關(guān)系.”

當(dāng)然考慮到向量作為工具的特性，在例題編排時，不僅要考慮各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的聯(lián)系，還要考慮數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識之間的聯(lián)系，同時還要體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界各種不同領(lǐng)域的聯(lián)系.這樣才有可能使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生一個整體的認(rèn)識，幫助學(xué)生形成“數(shù)學(xué)是一個不可分割的有機整體”的正確觀念.

參考文獻(xiàn)：

[1]覃淋.“中國大陸” “日本” 和“中國臺灣”高中數(shù)學(xué)教材統(tǒng)計習(xí)題難度比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（01）：55-60.

[2]課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研發(fā)中心.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[3]張景中.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué) 第二冊（必修）[M].長沙：湖南教育出版社，2016.

[4]覃淋.高中數(shù)學(xué)人教A版、B版教材習(xí)題的認(rèn)知水平比較[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（27）：3-5.

[5] AD亞歷山大洛夫.數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義[M].北京：科學(xué)出版社，2019.

[6]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

（收稿日期：2019-10-28）