基于改進(jìn)二次多項式擬合的布里淵頻移快速高精度提取算法

徐志鈕，胡宇航，趙麗娟，樊明月

華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院, 河北 保定 071003

引 言

分布式光纖傳感器除具有一般光纖傳感器抗電磁干擾、耐腐蝕以及電絕緣性好等優(yōu)點外，還具有只需一次測量即可獲取沿整個光纖被測場分布信息等獨特優(yōu)點，另外其測量精度高、定位準(zhǔn)確、傳感距離可達(dá)上百公里。因此，應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛。其中，基于光纖布里淵散射的分布式傳感技術(shù)在溫度和應(yīng)變測量上所達(dá)到的測量精度、測量范圍以及空間分辨率高于其他類型的分布式光纖傳感技術(shù)，因此引起了國內(nèi)外的廣泛關(guān)注和研究[1-2]。利用該技術(shù)對油氣管道、大型水利水電工程結(jié)構(gòu)和電力線纜等的溫度和應(yīng)變進(jìn)行在線監(jiān)測，可實現(xiàn)故障隱患及故障點的快速、準(zhǔn)確定位。

在與溫度和應(yīng)變有關(guān)的譜特征量中，布里淵頻移與溫度和應(yīng)變呈線性關(guān)系[1]且最為穩(wěn)定，目前基于布里淵散射的光纖分布式傳感測量時絕大多數(shù)需要提取布里淵頻移信息。布里淵頻移的準(zhǔn)確、快速測量對基于布里淵散射的光纖分布式傳感系統(tǒng)非常關(guān)鍵[3]。整體上看布里淵頻移的提取方法以擬合基于的方法為主，可以分為模型基于的算法[4-8]和非模型基于的算法[9]。由于能充分利用布里淵譜的波形數(shù)據(jù)來提取布里淵頻移，整體上看模型基于的算法具有更高的準(zhǔn)確性。當(dāng)入射矩形脈沖寬度明顯大于10 ns(大于50 ns)時光纖中實測布里淵譜近似滿足洛倫茲函數(shù)，目前洛倫茲模型基于的擬合算法應(yīng)用最為廣泛。當(dāng)然，隨著脈沖寬度的增加空間分辨率減少，為了提高空間分辨率常使用較小的脈沖寬度，當(dāng)其值小于10 ns時布里淵譜近似滿足高斯分布，此時更應(yīng)該采用高斯模型基于的算法。顯然，這樣根據(jù)脈沖寬度來選擇算法的方式給布里淵頻移的提取增加了一個干擾因素，迫切需要一個通用模型基于的算法?？梢哉J(rèn)為在矩形脈沖的整個脈寬范圍內(nèi)布里淵譜更滿足Voigt函數(shù)[4]，因此Voigt模型基于的算法具有更高的準(zhǔn)確性。但Voigt函數(shù)并非代數(shù)表達(dá)式，只有數(shù)值解[10]，雖然基于它的算法準(zhǔn)確性最高但計算速度過慢，不是特別適合于長傳感范圍、高空間分辨率的場合。為了提高計算速度，采用洛倫茲和高斯模型線性組合的偽Voigt模型[5-6]來近似布里淵譜，具有很好的表征效果。為了進(jìn)一步提高計算速度和收斂能力，人們開展了大量工作。為了提高布里淵頻移提取的準(zhǔn)確性，文獻(xiàn)[5-6]采用有限元分析來改進(jìn)Newton算法和Levenberg-Marquardt算法，然后采用不同信噪比和線寬的布里淵譜的計算結(jié)果驗證了改進(jìn)算法在精度提高方面的有效性。針對變量初值選擇比較困難可能導(dǎo)致算法發(fā)散的問題，有研究分別采用了布谷鳥牛頓搜索和粒子群優(yōu)化來獲得更加靠近最優(yōu)解的初值，然后采用Levenberg-Marquardt算法來優(yōu)化變量，能確保收斂。雖然以上算法提高了準(zhǔn)確性、降低算法發(fā)散的概率，但是該模型所對應(yīng)的是非線性目標(biāo)函數(shù)，需要采用迭代優(yōu)化算法才能得到最優(yōu)解，通常情況下計算速度仍然偏慢。這在傳感距離較長、空間分辨率較高時比較突出。該問題仍有待于進(jìn)一步研究。

為了解決這個問題，本文采用二次多項式逼近布里淵譜從而提取布里淵頻移。實現(xiàn)了本算法和典型的基于洛倫茲、高斯、偽Voigt和Voigt模型的算法，針對實測和仿真布里淵譜的計算發(fā)現(xiàn)，二次多項式擬合算法的計算速度較現(xiàn)有經(jīng)典模型基于算法有顯著提高，但誤差偏大。此后系統(tǒng)研究了掃頻范圍、掃頻點數(shù)、信噪比、線寬和掃頻范圍偏差對基于二次多項式的布里淵頻移提取準(zhǔn)確性的影響。根據(jù)研究結(jié)果提出了改進(jìn)的二次多項式擬合算法，改進(jìn)的算法不僅能大幅提高計算速度且計算準(zhǔn)確性與經(jīng)典算法相當(dāng)。采用數(shù)值產(chǎn)生及實測布里淵譜驗證了提出算法的有效性。

1 算法原理

入射脈沖光為矩形波時會發(fā)生布里淵散射，布里淵譜近似滿足如下的Voigt模型，它是洛倫茲函數(shù)與高斯函數(shù)的卷積[14]形式

(1)

式(1)中，ν為頻率值(GHz)；νB是布里淵頻移(GHz)；ΔνBL和ΔνBG分別為Lorentzian型和Gaussian型布里淵譜的線寬(GHz)?？梢圆捎糜嬎愀鼮榭焖俚膫蜼oigt模型來表征布里淵譜，設(shè)布里淵增益譜的線寬為ΔνB；g01和g02分別為布里淵散射譜的Lorentzian和Gaussian峰值增益，布里淵譜表示如式(2)

(2)

也可以采用二次多項式來逼近布里淵譜，即

gB(ν)=aν2+bν+c

(3)

采用二次多項式擬合后布里淵頻移計算公式如式(4)

(4)

如果計算所得布里淵頻移超出了譜的掃頻范圍，此時布里淵頻移誤差可能會超乎正常的大。故算法實現(xiàn)時選擇掃頻范圍內(nèi)滿足均勻分布的隨機(jī)值作為計算所得的布里淵頻移，可以減少測量誤差且使測量結(jié)果顯得更正常。

圖1 基于偽Voigt和二次多項式算法的擬合結(jié)果

由圖1可知，偽Voigt函數(shù)幾乎逼近Voigt函數(shù)，而二次多項式雖然與真實的Voigt函數(shù)從表達(dá)式上看差別不小，但也有希望逼近對應(yīng)的譜線。

2 算法比較

2.1 實測譜

采用中電科儀器儀表有限公司生產(chǎn)的AV6419型光時域反射計(Brillouin optical time domain reflectometry, BOTDR)搭建了光纖布里淵譜測量系統(tǒng)，選擇了約1 km SM 9/125 μm光纖。掃頻范圍為10.52～10.92 GHz，掃頻間隔為1 MHz，入射脈沖光波長為1 550 nm，脈沖寬度為10 ns，采樣分辨率為10 m，疊加平均次數(shù)為218。實驗在室溫下進(jìn)行，但由于繞制光纖承受了應(yīng)變，因此沿線布里淵頻移并非恒定值。采用基于洛倫茲、高斯、偽Voigt和Voigt模型算法以及二次多項式擬合算法計算，布里淵頻移的提取結(jié)果和計算時間如圖2所示。選擇一個典型譜5種算法的擬合結(jié)果如圖3所示。

由圖2(a)可知，基于洛倫茲、高斯、偽Voigt和Voigt模型算法的布里淵頻移提取結(jié)果幾乎一致，這與圖3中基于高斯、偽Voigt和Voigt模型算法的擬合結(jié)果能較好逼近實測譜這一結(jié)果吻合，這些結(jié)果也基本驗證了基于譜模型的布里淵頻移提取的可靠性。然而，在大部分區(qū)域基于二次多項式算法的布里淵提取結(jié)果小于其他算法的計算結(jié)果，它與以上4種算法差距的均值分別為0.70，0.74，0.73和0.73 MHz，差距的最大值分別為2.47，2.60，2.57和2.60 MHz。分析認(rèn)為基于譜模型算法的計算結(jié)果比較可靠，故二次多項式擬合算法存在明顯誤差，這與二次多項式擬合結(jié)果與實測譜差距較大比較吻合(圖3)。這一結(jié)論會在后續(xù)分析中得到進(jìn)一步驗證。由圖2(b)可知，基于Voigt模型算法計算速度最慢，然后依次是基于洛倫茲、偽Voigt、高斯模型的算法，最快的是二次多項式擬合算法，圖2(b)中5種算法對應(yīng)的平均計算時間分別為58.97，37.69，44.72，131.48和6.76 ms，即二次多項式擬合算法的計算時間僅為前4種算法的1.15%，1.80%，1.51%和0.51%。二次多項式擬合算法具有非?？斓挠嬎闼俣?，但計算誤差可能偏大，因此需要改正該算法，這就是本研究的重點。

圖2 不同算法布里淵頻移的提取結(jié)果和計算時間，實測譜(a)：布里淵頻移；(b)計算時間

Fig.2TheextractedBrillouinfrequencyshiftandcomputationtimeofvariousalgorithms,measuredspectra

(a)：Brillouin frequency shift；(b)：Computation time

圖3 不同算法布里淵譜的擬合結(jié)果，實測譜

本研究不是根據(jù)一定溫度和應(yīng)變下光纖布里淵譜數(shù)據(jù)來分析算法準(zhǔn)確性。因為這種方式通常默認(rèn)算法計算結(jié)果為準(zhǔn)確值，而目前，二次多項式擬合算法的準(zhǔn)確性本身就需要核對，故不宜采用該方式。研究中選擇信噪比較高信號的原因是過大的噪聲可能會掩蓋布里淵頻移隨光纖位置的變化規(guī)律。

2.2 數(shù)值產(chǎn)生譜

采用數(shù)值產(chǎn)生譜進(jìn)一步計算的原因是：(1)實測譜雖然可靠但布里淵頻移不能足夠準(zhǔn)確獲得；(2)后續(xù)涉及大量數(shù)值產(chǎn)生譜的分析，需要驗證數(shù)值產(chǎn)生譜分析結(jié)果的可靠性。布里淵譜根據(jù)式(1)產(chǎn)生，其中的A，νB，ΔνBL和ΔνBG由Voigt模型算法針對2.1節(jié)實測譜計算獲得。信噪比與實測譜一致，約為33 dB。布里淵頻移的提取結(jié)果如圖4所示。5種算法針對一個與圖3實測譜對應(yīng)典型譜的擬合結(jié)果如圖5所示。

圖4 不同算法布里淵頻移的提取結(jié)果，仿真譜

圖5 不同算法布里淵譜的擬合結(jié)果，仿真譜

由圖4可知，5種算法算得布里淵頻移及隨光纖位置的變化規(guī)律與實測譜非常接近。仍然是基于洛倫茲、高斯、偽Voigt和Voigt模型算法的布里淵頻移提取結(jié)果幾乎一致，二次多項式擬合算法計算結(jié)果明顯小于前者，這與圖2非常吻合。比較圖3和5可知，實測譜和仿真譜的擬合結(jié)果非常吻合。這驗證了數(shù)值產(chǎn)生譜信號能較好模擬實測譜。由于數(shù)值產(chǎn)生信號的布里淵頻移已知，據(jù)此可知5種算法對應(yīng)誤差幅值的均值分別為0.06，0.05，0.05，0.05和1.35 MHz。與基于實測譜分析結(jié)果基本吻合，即基于洛倫茲、高斯、偽Voigt和Voigt模型算法的準(zhǔn)確性足夠高，但二次多項式擬合算法存在顯著誤差?；旧向炞C了本研究中的數(shù)值產(chǎn)生譜的可靠性。

3 影響因素

若減少二次多項式擬合算法的誤差，需要研究各種因素對該算法準(zhǔn)確性的影響規(guī)律。根據(jù)系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn)數(shù)值產(chǎn)生信號時譜模型選擇對布里淵頻移提取結(jié)果影響不大，同時為了適當(dāng)加快計算速度，后續(xù)分析采用洛倫茲模型產(chǎn)生譜?？紤]到實際情況多變，分析時較之實際情況適當(dāng)擴(kuò)展了參數(shù)的取值范圍，不會減少研究結(jié)果的可信度。

3.1 掃頻范圍

g0，νB和ΔνB分別取0.9，10.7，0.03 GHz；信噪比設(shè)置為10，20和30 dB；掃頻點數(shù)為61；掃頻在0.2ΔνB～10ΔνB范圍內(nèi)變化。針對每種參數(shù)組合，產(chǎn)生10 000個譜信號，計算后得布里淵頻移誤差幅值的均值。二次多項式擬合算法算得的布里淵頻移誤差如圖6所示。

圖6 布里淵頻移誤差與掃頻范圍的關(guān)系

由圖6可知，掃頻點數(shù)固定時當(dāng)掃頻范圍較小時布里淵頻移的計算誤差較大。隨著掃頻范圍的增加誤差逐漸減小，當(dāng)掃頻范圍為一個線寬時誤差達(dá)到最小值。然后，隨著掃頻范圍的增加誤差又逐漸增大。這是因為掃頻范圍過小時對應(yīng)的信號中沒有包含足夠多的譜特征，當(dāng)掃頻范圍過大時在譜特征提取有效范圍內(nèi)的點數(shù)太少。因此兩種情況下的誤差均較大。

3.2 掃頻點數(shù)

掃頻范圍為ΔνB；掃頻點數(shù)N在3～501范圍內(nèi)變化。其他參數(shù)與3.1節(jié)一致，二次多項式擬合算法算得的布里淵頻移誤差如圖7所示。

由圖7可知，掃頻范圍不變時隨著掃頻點數(shù)的增加布里淵頻移誤差逐漸減小。擬合發(fā)現(xiàn)布里淵頻移誤差幅值的均值EνB滿足：EνB=aNb，以上3種情況下a的值分別為3.281 2，0.858 0和0.267 7，對應(yīng)b的值分別為-0.509 5，-0.472 2和-0.471 0，擬合相對誤差分別為3.11%，4.13%和4.12%。

圖7 布里淵頻移誤差與掃頻點數(shù)的關(guān)系

Fig.7ChangeoferrorintheextractedBrillouinfrequencyshiftwithnumberoffrequencysweep

3.3 信噪比

掃頻范圍為ΔνB；信噪比(signal to noise ratio, SNR)在0～40 dB范圍內(nèi)變化。其他參數(shù)與3.1節(jié)一致，二次多項式擬合算法計算的布里淵頻移誤差如圖8所示。

圖8 布里淵頻移誤差與信噪比的關(guān)系

由圖8可知，隨著信噪比的增加布里淵頻移誤差逐漸減少。當(dāng)信噪比大于10 dB時布里淵頻移誤差與信噪比近似滿足指數(shù)規(guī)律變化。當(dāng)信噪比小于10 dB時誤差的變化規(guī)律與大于10 dB時不同，這是因為信噪比較低時直接采用二次多項式擬合算法得到的布里淵頻移超出了掃頻范圍，算法實現(xiàn)時采用掃頻范圍內(nèi)的隨機(jī)值來作為算得的布里淵頻移，這樣可以減少測量誤差且使測量結(jié)果顯得更正常。

3.4 線寬

掃頻范圍為ΔνB；ΔνB在0.03～1 GHz范圍內(nèi)變化。其他參數(shù)與3.1節(jié)一致，二次多項式擬合算法算得的布里淵頻移誤差如圖9所示。

由圖9可知，隨著線寬的增加布里淵頻移誤差線性增強(qiáng)。實際上該規(guī)律在掃頻范圍/線寬不變且掃頻點數(shù)不變時成立。因此，通過選擇較窄的入射脈沖光來提高空間分辨率的同時會增加布里淵頻移誤差。為了提高布里淵頻移的準(zhǔn)確性，應(yīng)該選擇適當(dāng)配置使布里淵譜線寬減小。

圖9 布里淵頻移誤差與線寬的關(guān)系

3.5 掃頻范圍偏差

由于待測光纖布里淵頻移未能完全準(zhǔn)確獲得，掃頻范圍的中點與布里淵頻移未必重合，二者的差距在本文中稱為掃頻范圍偏差。掃頻范圍偏差在0～0.3ΔνB范圍內(nèi)變化；掃頻范圍為ΔνB。其他參數(shù)與3.1節(jié)一致，二次多項式擬合算法得到布里淵頻移誤差如圖10所示。

圖10 布里淵頻移誤差與掃頻范圍偏差的關(guān)系

Fig.10ChangeoferrorintheextractedBrillouinfrequencyshiftwithdeviationoffrequencysweepspan

由圖10可知，隨著掃頻范圍中點逐漸偏離布里淵頻移，布里淵頻移誤差有增加的趨勢。因此，應(yīng)該圍繞布里淵頻移為中心選擇譜信號用于布里淵頻移提取。

4 改進(jìn)算法及驗證

4.1 改進(jìn)算法的提出

由上述分析可知，二次多項式擬合算法對準(zhǔn)確性影響較大的因素分別是掃頻范圍、掃頻點數(shù)、信噪比、線寬和掃頻范圍偏差。雖然掃頻點數(shù)、信噪比和線寬對二次多項式擬合算法的準(zhǔn)確性影響較大，但這3個因素主要由實際測量狀況決定。而用于擬合譜的掃頻范圍和掃頻范圍偏差可以調(diào)整接近最優(yōu)值以減少算法的誤差。即不再是所有測量信號而是以布里淵頻移為中心截取1個ΔνB的譜信號用于二次多項式算法的擬合。這樣改進(jìn)的二次多項式擬合算法的準(zhǔn)確性能提高，而且由于待擬合點數(shù)的減少二次多項式擬合算法的計算速度會進(jìn)一步加快。

由于布里淵頻移為待測量，在算法執(zhí)行前未知，故實際算法執(zhí)行時以布里淵譜峰值對應(yīng)頻率為中心截取1個ΔνB的譜信號用于二次多項式算法的擬合。線寬雖然與多個因素，包括光纖密度、折射率、石英光纖材料的粘滯系數(shù)、激光器輸出中心波長和入射脈沖光寬度等有關(guān)，通常實驗布置時除了入射脈沖光寬度其他參數(shù)基本固定。因此，線寬的估算比較容易。

4.2 實測譜

采用2.1節(jié)的實測譜進(jìn)行分析，區(qū)別在于本節(jié)僅僅以增益峰值為中心截取了1個ΔνB的譜信號。ΔνB取實測結(jié)果的近似值，即0.1 GHz。5種算法的計算結(jié)果和計算時間如圖11所示。

圖11 提出算法與經(jīng)典算法的布里淵頻移提取結(jié)果和計算時間，實測譜(a)：布里淵頻移；(b)：計算時間

Fig.11TheextractedBrillouinfrequencyshiftandcomputationtimeoftheproposedalgorithmandthetypicalalgorithms,measuredspectra

(a)：Brillouin frequency shift；(b)：Computation time

由圖11(a)可知，基于洛倫茲、高斯、偽Voigt和Voigt模型算法的布里淵頻移提取結(jié)果幾乎一致，與圖2(a)吻合。比較圖2(a)與圖11(a)可知，所提出的改進(jìn)二次多項式擬合算法的計算結(jié)果與經(jīng)典譜模型算法的計算結(jié)果非常接近，與以上4種算法差距的均值分別僅為0.39，0.24，0.23和0.26 MHz。另外，4種經(jīng)典算法的布里淵頻移提取結(jié)果在待擬合譜范圍調(diào)整前后差別很小，也進(jìn)一步驗證了以上4種算法的準(zhǔn)確性。圖11(b)與圖2(b)非常相似，也是二次多項式擬合算法的計算量遠(yuǎn)小于其他算法。以上結(jié)果說明了改進(jìn)二次多項式擬合算法計算量遠(yuǎn)小于其他經(jīng)典算法，但準(zhǔn)確性與其他算法接近。

4.3 數(shù)值產(chǎn)生譜

譜參數(shù)及譜產(chǎn)生方法與2.2節(jié)一致，但本節(jié)以增益峰值為中心截取了0.1 GHz的譜信號用于布里淵頻移提取。5種算法的計算結(jié)果如圖12所示。

圖12 本算法與經(jīng)典算法的布里淵頻移提取結(jié)果，仿真譜

Fig.12TheextractedBrillouinfrequencyshiftoftheproposedalgorithmandthetypicalalgorithms,numericallygeneratedspectra

比較圖11(a)與圖12可知，針對5種算法實測譜和仿真譜的計算結(jié)果非常相似，它與以上4種算法差距的均值分別僅為0.34，0.21，0.23和0.24 MHz。以上4種經(jīng)典算法及本研究提出的改進(jìn)算法誤差幅值的均值分別僅為0.13，0.06，0.06，0.06和0.24 MHz，按照典型的溫度敏感系數(shù)1.2 MHz·℃-1來估算，溫度單一因素測量時以上5種算法的誤差分別為0.11，0.05，0.05，0.05和0.20 ℃。以上結(jié)果進(jìn)一步驗證了改進(jìn)二次多項式擬合算法的有效性。

5 結(jié) 論

采用實測和數(shù)值產(chǎn)生的布里淵譜，對基于二次多項式擬合算法的布里淵頻移提取問題進(jìn)行了系統(tǒng)研究，在保證實時性的基礎(chǔ)上顯著提高了計算準(zhǔn)確性，結(jié)論如下：

(1)當(dāng)掃頻點數(shù)固定時隨掃頻范圍增加布里淵頻移誤差先減少到最小值后逐漸增加，最佳掃頻范圍為1個線寬；掃頻范圍不變時隨掃頻點數(shù)和信噪比增加布里淵頻移誤差分別呈冪和指數(shù)規(guī)律減少；掃頻范圍與線寬比值不變及掃頻點數(shù)不變時隨線寬增加誤差線性增大；掃頻范圍不變時隨掃頻范圍偏差增加誤差逐漸增大，用于特征提取的譜信號盡量選擇圍繞布里淵頻移左右對稱。

(2)二次多項式擬合算法的計算速度遠(yuǎn)快于基于洛倫茲、高斯、偽Voigt和Voigt模型的算法，但原始二次多項式擬合算法可能存在顯著誤差。通過選擇合適掃頻范圍的改進(jìn)二次多項式擬合算法(以布里淵譜峰值對應(yīng)頻率為中心截取1個ΔνB的譜信號用于二次多項式算法的擬合)可以在保持快速計算的基礎(chǔ)上使準(zhǔn)確性與基于洛倫茲、高斯、偽Voigt和Voigt模型的算法相似。

本文研究結(jié)果為實現(xiàn)光纖分布式傳感的快速測量提供了很好的支持。