課程標(biāo)準(zhǔn)下數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培育基礎(chǔ)

洪思瀾

【摘要】新課標(biāo)的實施明確將數(shù)學(xué)建模列為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一.文章從教師的教學(xué)角度出發(fā)，著重強(qiáng)調(diào)在教育改革的過程中，如何通過章節(jié)引言的導(dǎo)入、知識推演情景的設(shè)計和數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng)等教學(xué)方式，帶領(lǐng)學(xué)生養(yǎng)成優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，從而為培育學(xué)生的建模素養(yǎng)奠定良好的基礎(chǔ).同時以“用一次函數(shù)解決問題”為例，分析如何在教學(xué)中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】課程標(biāo)準(zhǔn);數(shù)學(xué)建模;教學(xué)方式

【基金項目】受到“省級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃”項目資助（201910332055Y）

一 、提出問題

南寧市曾對示范和非示范性中學(xué)的初三學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研，調(diào)查結(jié)果顯示：大多數(shù)學(xué)生寧愿用常規(guī)卻煩瑣的方法進(jìn)行解題，也不愿意花費精力思考其他更簡單快速的解題方式.[1]在中學(xué)的課堂教學(xué)中，由于教學(xué)課時的限制，教師常常會直接給出公式、定理或是命題，稍加解釋，就直接通過題型訓(xùn)練“強(qiáng)迫”學(xué)生掌握所學(xué)知識，繼而達(dá)到考試會做的目的.這種知識堆積式的教學(xué)方式嚴(yán)重忽略了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，思維固化、數(shù)學(xué)語言形式單一等一系列的教育結(jié)果，都會對中學(xué)生建模素養(yǎng)的培育造成巨大的阻力，而形成這一現(xiàn)狀的背后，有學(xué)生自身的原因，但也不乏教師教學(xué)方式的影響.

數(shù)學(xué)知識的純粹堆砌、數(shù)學(xué)思維的固化和數(shù)學(xué)語言的匱乏，這些都是橫在建模素養(yǎng)培育路上的大石頭，若不“搬走”，再完善的培養(yǎng)計劃也無法發(fā)揮最佳效果.因此，本文結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)，以教學(xué)過程的實際環(huán)節(jié)為出發(fā)點，思考如何從教師教學(xué)方式著手，為學(xué)生建模素養(yǎng)的培育掃除障礙.

二、課程標(biāo)準(zhǔn)中對培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的闡述

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》都明確提到了培育學(xué)生模型素養(yǎng)的相關(guān)內(nèi)容.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中指出，數(shù)學(xué)建模的過程主要包括：在實際情景中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題.[2]如在車輛限行、DVD在線租賃等實際生活場景中，研究污染影響、最佳租賃方案等問題，可運用函數(shù)、數(shù)列、不等式、排列組合等知識構(gòu)建合理模型，再根據(jù)具體數(shù)據(jù)進(jìn)行求解、檢驗，最終解決問題.對于仍有余力的學(xué)生，鼓勵其在教師的指導(dǎo)下，推廣得到更一般化的模型.這就要求學(xué)生擁有良好的符號意識、應(yīng)用意識和抽象能力，能客觀細(xì)致地分析問題，學(xué)會運用數(shù)學(xué)語言表示場景中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并善于借助工具進(jìn)行計算和檢驗，從而達(dá)到訓(xùn)練思維、解決問題的目的.

在義務(wù)教育階段，課程標(biāo)準(zhǔn)僅要求學(xué)生初步形成模型思想，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識.[3]如在鞋碼和長度的問題中，懂得套用一次函數(shù)模型解決問題;在小麥?zhǔn)崭顧C(jī)租賃方案問題中，懂得套用不等式模型，并根據(jù)考慮因素的不同給出多種租賃策略.總之，在多樣化問題情境的引導(dǎo)下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣.而在普通高中教育階段，課程標(biāo)準(zhǔn)提出了更進(jìn)一步的培養(yǎng)要求：希望學(xué)生有意識地去觀察和體會生活中所蘊含的數(shù)學(xué)，深刻感悟現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)學(xué)科的緊密聯(lián)系[2]，如概率論作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一大分支，最初就是源于賭徒分金問題.標(biāo)準(zhǔn)中還鼓勵學(xué)生多參與數(shù)學(xué)建模的相關(guān)活動，培養(yǎng)熟練運用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力，積累數(shù)學(xué)實踐的相關(guān)經(jīng)驗，同時，了解數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域的作用[2]，如運用MATLAB的動態(tài)系統(tǒng)模擬ASM3模型進(jìn)行污水處理的仿真演示等，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和實踐意識.

總的來說，數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)學(xué)科與外部世界聯(lián)系的橋梁，讓學(xué)生能夠更加明確地感受到數(shù)學(xué)是來源于生活，更應(yīng)用于生活.

三、教學(xué)方式的幾點建議

（一）開展有趣的章前課程，豐富學(xué)生對知識的記憶

歌德曾說：“哪里沒有興趣，哪里就沒有記憶.”當(dāng)學(xué)生真正對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣時，他才會用心去記憶其中的知識，日積月累，就會擁有牢固的知識基礎(chǔ)，而清晰的數(shù)學(xué)知識正是走進(jìn)建模殿堂的敲門磚.因此，培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)的前提，一定是先培養(yǎng)學(xué)生對于知識的接納.而章前課程的教學(xué)恰能有效地激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加固學(xué)生對知識的記憶.且不談中學(xué)生，即使是大學(xué)生，倘若教師能很好地利用章前課程開展教學(xué)，那么在提起微積分時，學(xué)生想到的將不僅僅是等價無窮小、迫斂準(zhǔn)則……他們還會想起牛頓-萊布尼茲之爭，這樣，學(xué)生對于數(shù)學(xué)的記憶就不再是冰冷的公式符號，而是無數(shù)的數(shù)學(xué)故事中誕生的數(shù)學(xué)元素.

以數(shù)學(xué)前輩們的故事為主線的章前課，既激發(fā)了學(xué)生對新章節(jié)知識的向往，又豐富了數(shù)學(xué)課的內(nèi)涵.當(dāng)然，章前課的形式并不唯一，除了向?qū)W生講述前輩們的探索歷程，也可以通過關(guān)聯(lián)性知識向?qū)W生展示包含了新舊知識的層次聯(lián)系.如在“有理數(shù)”新授課之前，先向?qū)W生展示完整的數(shù)域?qū)哟?，從小學(xué)的自然數(shù)到初中即將學(xué)習(xí)的有理數(shù)、實數(shù)，再進(jìn)一步擴(kuò)展到高中要學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)域，并向?qū)W生解釋有理數(shù)逐漸產(chǎn)生的過程及其名稱的由來.這樣，既能將小學(xué)、初中和高中的知識有效地銜接起來，也能一定程度上消除學(xué)生對于新知識的陌生感和抗拒感.或者是，教師在新授課之前安排一次活動探究課，引導(dǎo)學(xué)生在情境的探索中體會新知識在現(xiàn)實生活中的刻畫，也能讓學(xué)生積累更多數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗.

總之，章前課的形式多種多樣，有效的章前引入，既能激發(fā)學(xué)生對新知識的向往，提高學(xué)習(xí)興趣，更能豐富和加固學(xué)生對知識的記憶，也為學(xué)生建模素養(yǎng)的培育奠定了堅實的知識基礎(chǔ).

（二）設(shè)計合理的推演情景，培養(yǎng)靈活的數(shù)學(xué)思維

靈活的數(shù)學(xué)思維是學(xué)生建模解題過程中的強(qiáng)心劑，教師在教授公式、定理時，添設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知水平的推演過程能很好地提升學(xué)生思維的靈活度.曾經(jīng)在一節(jié)數(shù)學(xué)分析課上，教師花費一節(jié)半課的時間，用了四塊黑板，只證明了一個“隱函數(shù)存在定理”.當(dāng)時我完全不理解這種教學(xué)行為，是因為我忽略了：證明定理的過程就是我們作為學(xué)生參與知識獲取的過程，相比于直接主觀地接受某一個定理或是命題，這樣獲取知識的過程更為主動，也更能培養(yǎng)學(xué)生的思維.

當(dāng)然，以上所提到的教學(xué)行為只是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的途徑之一.在中學(xué)教學(xué)階段，由于學(xué)生的知識儲備有限，大多數(shù)的定理無法給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，因此，合情推理在中學(xué)教學(xué)中更為常用.這時，就需要教師在新課教學(xué)之前，設(shè)計合理的教學(xué)情境和提問，引導(dǎo)學(xué)生自主探索推導(dǎo)方式，學(xué)會從多個特殊的例子中推演出一般的結(jié)論或是通過相關(guān)概念的類比、聯(lián)想推導(dǎo)出公式或定理.比如，在講授“球的體積公式”這節(jié)課時，由于課本上的推導(dǎo)過程多且復(fù)雜，如果直接按照書本上的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，不但浪費時間，還不會取得很好的效果.不妨運用類比、聯(lián)想的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行公式推導(dǎo)：把西瓜看成一個球體，若把它平均切成16塊，則每塊西瓜以整個西瓜的中心為頂點，瓜皮為底面，可以看成一個棱錐，那么整個西瓜就可以被當(dāng)成一個廣義的錐體，運用V_錐=（1/3）SR和S_球=4πR²兩個公式就能直接推導(dǎo)出球的體積公式V_球=（4/3）πR³[4].將整個西瓜近似看作球體，切好的每塊西瓜看作棱錐，這樣就巧妙地利用學(xué)生熟悉的幾何模型和計算公式推導(dǎo)出了新的體積公式.這樣的推導(dǎo)過程簡捷有趣，既便于學(xué)生接受，提高其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，也激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

用巧妙合理的方式開展教學(xué)，學(xué)生對于知識的領(lǐng)悟更加透徹，思維方式更加多變.如此培養(yǎng)出的學(xué)生更能在今后的數(shù)學(xué)建模活動中輕松地聯(lián)想到與問題相對應(yīng)的多種數(shù)學(xué)知識與方法，進(jìn)而快速地提出應(yīng)對策略，解決相應(yīng)問題.

（三）重視數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng)，教會學(xué)生用數(shù)學(xué)感受生活

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，調(diào)查表明：凡是數(shù)學(xué)成績不理想、數(shù)學(xué)能力薄弱的學(xué)生，有很大一部分是數(shù)學(xué)語言匱乏的人.學(xué)生如果缺乏數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，就無法準(zhǔn)確傳達(dá)數(shù)學(xué)思想，在建模過程中往往會困于煩雜的文字語言，找不到題目的突破口，或是對于已經(jīng)寫出的大量公式、符號沒有直觀的感覺，導(dǎo)致解題陷入僵局.作者在試講課答辯時，面試官曾向我提問：“請你用數(shù)學(xué)文字語言描述余弦定理的內(nèi)容.”在點評時，他告訴我：現(xiàn)在的教學(xué)過程中，大多數(shù)教師教給學(xué)生的余弦定理僅僅是形如“c²=a²+b²-2abcos C”的三個公式，而很少有老師會告訴學(xué)生，三角形的余弦定理是：三角形任意一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.如果教學(xué)中長期使用單一形式的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行授課，那么學(xué)生對不同種數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)得不到加強(qiáng)，在建模時的分析和解題過程將會受阻，無法有效實施實際問題與數(shù)學(xué)情境的相互轉(zhuǎn)化.

一般來說，我們將數(shù)學(xué)語言分為直觀性數(shù)學(xué)語言和抽象性數(shù)學(xué)語言，其中包括數(shù)學(xué)概念、術(shù)語、公式、符號等.用直觀性數(shù)學(xué)語言把抽象的公式或符號加以解釋，或是用簡潔的符號公式來表示復(fù)雜的命題概念，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié).這兩種教學(xué)環(huán)節(jié)的實施是相輔相成的，一方面，將表達(dá)式“f（x）=-g（x）”轉(zhuǎn)化為描述性語言“函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）關(guān)于x軸對稱”，也就是把一些抽象的公式符號以更加具體的方式展現(xiàn)給學(xué)生，更易于學(xué)生理解和領(lǐng)會;另一方面，將正弦定理“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑”轉(zhuǎn)化為簡潔的公式“a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R”，也就是將復(fù)雜繞口的數(shù)學(xué)定理、命題等轉(zhuǎn)化為簡短的公式和符號，方便學(xué)生記憶和使用.

抽象與直觀，兩種層面上的數(shù)學(xué)語言相互轉(zhuǎn)化的教學(xué)方式，能幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化意識，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表示實際場景的能力，也讓學(xué)生在建模過程中，在準(zhǔn)確表達(dá)題目思想的同時，能夠透過數(shù)學(xué)之美來感受生活之美.

四、“用一次函數(shù)解決問題”的教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容選自蘇教版數(shù)學(xué)學(xué)科八年級上冊第六章第四節(jié)“用一次函數(shù)解決問題（第一課時）”.

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.通過對具體問題的分析，引導(dǎo)學(xué)生找出變量之間的關(guān)系，利用一次函數(shù)模型將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行解決，發(fā)展學(xué)生解決問題的能力.

2.帶領(lǐng)學(xué)生初步了解方程與函數(shù)的關(guān)系，體會不同數(shù)學(xué)模型間的區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生感受到函數(shù)等數(shù)學(xué)模型來源于生活，應(yīng)用于生活.

（二）教學(xué)重、難點

重點：從實際問題出發(fā)，建立起函數(shù)模型的概念框架，獲得數(shù)學(xué)建模過程的簡單體驗.

難點：抽象出實際問題中的常、變量關(guān)系，根據(jù)量之間不同的變化規(guī)律，靈活運用函數(shù)知識，建立合理的函數(shù)模型.

（三）教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)回顧，引入新課

（1）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（1，2），（-2，3），求一次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）已知一次函數(shù)y=ax+3，當(dāng)x=2時，y=7，求a的值.

（3）[根據(jù)課前預(yù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行作答]拖拉機(jī)開始工作時，油箱中有40升油，已知該拖拉機(jī)每小時耗6升油，寫出油箱中的剩余油量Q（升）與工作時間t（小時）之間的函數(shù)表達(dá)式.

設(shè)計意圖：通過簡單提問幫助學(xué)生回憶一次函數(shù)的表達(dá)形式，引導(dǎo)學(xué)生自主建立一次函數(shù)模型，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.以實際應(yīng)用問題驅(qū)動學(xué)生聯(lián)系一次函數(shù)的斜截式，代入問題情境，進(jìn)行簡單建模，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模的思路，經(jīng)歷建模的主要過程，加深學(xué)生對一次函數(shù)知識的理解.

2.創(chuàng)設(shè)情境，探索新知

探究活動：位于云南省的玉龍雪山主峰海拔為5596米，在海拔4500米處，有一條分離白雪與原始森林的分界線，稱為雪線.由于氣候變暖等地理原因，玉龍雪山的雪線平均每年上升約10米.假設(shè)雪線的高度按照該速度不斷變化，幾年之后玉龍雪山的雪線將由現(xiàn)在的海拔4500米退至山頂而消失？[5]

思考：（1）上述問題情境中的常、變量有哪些？

（2）變量之間存在哪些關(guān)系？

例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知每天運作的固定成本為15000元，每件產(chǎn)品的原始用料及加工成本總計為1000元.

（1）寫出每天的生產(chǎn)成本（包括固定成本、原始用料及加工成本）與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系;

（2）如果每件產(chǎn)品的出廠價為1600元，那么每天至少生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，該工廠才有盈利？[5]

分析：

（1）先找出題目中的常、變量，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系“工廠每天的生產(chǎn)成本=固定成本+所有產(chǎn)品的原料及加工成本”寫出函數(shù)表達(dá)式;

（2）根據(jù)每天的銷售收入與每天生產(chǎn)成本之間的關(guān)系建立不等式，求出其解即可.

設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)實際生活情境，引導(dǎo)學(xué)生找出題目中的常量與變量，并分析、思考其數(shù)量關(guān)系，考慮能否套用一次函數(shù)模型進(jìn)行解題.同時，合理設(shè)計問題情境，引導(dǎo)學(xué)生將不等式模型與一次函數(shù)模型相結(jié)合，將新知與舊知相聯(lián)系，提升學(xué)生認(rèn)知高度，加深其對于數(shù)學(xué)模型的理解，提高學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)模型的能力.

3.課堂總結(jié)，交流回顧

思考：用一次函數(shù)解決實際問題的過程中應(yīng)該注意哪些步驟？是否所有應(yīng)用題都能用一次函數(shù)模型進(jìn)行解題？如果不是，該如何處理？

提示：用一次函數(shù)解決實際問題——“四步走”.

（1）找出問題中的常量、變量;

（2）分析變量之間的關(guān)系;

（3）若具有一次函數(shù)關(guān)系，則利用一次函數(shù)表達(dá)式建立數(shù)學(xué)模型;

（4）利用一次函數(shù)的相關(guān)知識解決問題.

注：部分題目中沒有明確指出建立何種函數(shù)關(guān)系時（特別是所學(xué)函數(shù)類型越來越豐富時），要懂得靈活分析變量關(guān)系，建立合適的數(shù)學(xué)模型.

設(shè)計意圖：通過問題啟發(fā)學(xué)生提煉歸納一次函數(shù)模型的建立過程，體會數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵步驟和重要思想方法.進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)建模的過程：從實際問題情境中抽象出主要常量、變量，發(fā)掘量之間的變化關(guān)系，結(jié)合已有知識構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，如函數(shù)模型、不等式模型、數(shù)列模型、方程組模型等，最終以模型結(jié)合實際解決問題.利用交流總結(jié)的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對于數(shù)學(xué)建模過程的體悟.

4.拓展強(qiáng)化，課后提升

思考題：爸爸帶你去商場買鞋時，決定考一考你.如果已知爸爸穿42碼的鞋，長為26厘米，媽媽穿35碼的鞋，長為22.5厘米，同時，售貨員阿姨還告訴你，38碼的鞋長為24厘米，40碼的鞋長為25厘米，那么你能算出自己34碼的鞋長為多少厘米嗎？

分析：根據(jù)量之間的變化關(guān)系，猜測應(yīng)該建立一次函數(shù)模型.要驗證該猜測是否正確，可建立直角坐標(biāo)系，描點、畫圖進(jìn)行檢驗，體會數(shù)形結(jié)合思想.

設(shè)計意圖：利用思考題促進(jìn)學(xué)生課后思考提升，啟發(fā)學(xué)生靈活運用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行變量分析，根據(jù)分析結(jié)果合理建構(gòu)函數(shù)、不等式等模型進(jìn)行解題.

綜上所述，文章對課程標(biāo)準(zhǔn)中學(xué)生建模素養(yǎng)的培育進(jìn)行了簡要分析，合理的教學(xué)方式很大限度上能加固學(xué)生的知識基礎(chǔ)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，這將為中學(xué)生建模素養(yǎng)的培育奠定良好的基礎(chǔ).因此，我通過查閱相關(guān)資料，提出了一些關(guān)于教學(xué)方式的思考和建議，并結(jié)合蘇教版八年級上冊的數(shù)學(xué)教材，以“用一次函數(shù)解決問題”第一課時的教學(xué)內(nèi)容為例進(jìn)行了課程分析，希望對中學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培育工作有所幫助.

【參考文獻(xiàn)】

[1]袁一鳴，趙繼源，周曉穎.初中數(shù)學(xué)思維定式的調(diào)查與分析[J].當(dāng)代教育論壇，2011（12）：104-106.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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