基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

王桂芳

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)很好地概括了高中生在數(shù)學(xué)方面所應(yīng)該具備的六大能力.本文就以“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)為例，通過一系列教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，以教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)、啟發(fā)、講授與學(xué)生自主探究相結(jié)合的方式，嘗試在教學(xué)過程中滲透這些核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);橢圓;標(biāo)準(zhǔn)方程;推導(dǎo)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立又相互交融，是有機(jī)統(tǒng)一的整體.[1] 在不同知識(shí)的處理上，六大核心素養(yǎng)的側(cè)重各有不同，本節(jié)課將從學(xué)情分析、教材分析、教學(xué)目標(biāo)、教法與學(xué)法、教學(xué)過程設(shè)計(jì)、教學(xué)反思等六個(gè)方面進(jìn)行闡述，并主要將數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算三個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透其中.

一、學(xué)情分析

圓錐曲線在日常生活和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要模型.橢圓是學(xué)生接觸到的第一種圓錐曲線，為接下來繼續(xù)研究雙曲線和拋物線提供了指導(dǎo)作用，所以橢圓就成為最重要的一種圓錐曲線.在必修2中學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的知識(shí)，對(duì)解析幾何的基本思想和方法有所了解，在選修2-1第2.1節(jié)又學(xué)習(xí)了橢圓的定義，這都為本節(jié)課推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了知識(shí)基礎(chǔ).

二、教材分析

“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第2.2.1節(jié)的內(nèi)容，是繼必修2學(xué)習(xí)“圓”之后又一次接觸二次曲線.由于是在“圓錐曲線”這一節(jié)之后講解，學(xué)生已經(jīng)從整體上了解了三種圓錐曲線的概念，這為本節(jié)研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程做好了知識(shí)準(zhǔn)備.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和求曲線方程的一般方法，也為下一步推導(dǎo)雙曲線和拋物線的方程做好了鋪墊.

三、教學(xué)目標(biāo)

基于以上分析，并參考《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂）》及《江蘇省普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求》，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

1.進(jìn)一步理解橢圓定義，理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程并掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)，能夠準(zhǔn)確區(qū)分橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式.

2.讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，進(jìn)一步掌握如何用一般方法求曲線方程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，提高學(xué)生運(yùn)用類比、聯(lián)想等方法進(jìn)行化簡計(jì)算的能力.

3.在具體情境中感受研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的必要性及實(shí)際意義;體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和簡潔美，提高審美情趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

教學(xué)難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

四、教法與學(xué)法

在本節(jié)課的教學(xué)中，首先，充分運(yùn)用多媒體的演示功能，通過與生活實(shí)際問題結(jié)合引入課題，引起學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲.其次，引導(dǎo)學(xué)生分析橢圓定義，類比圓的方程的推導(dǎo)過程，通過建立合適的坐標(biāo)系，把幾何問題代數(shù)化，運(yùn)用適當(dāng)?shù)幕喖记?，逐步推?dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.在課堂中對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)、啟發(fā)，講授與學(xué)生自主探索相結(jié)合，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，突出學(xué)生的主體地位.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.問題情境，引入課題

利用PPT演示播放生活中一些形狀為橢圓的物品，想要精確地制造它們，就需要應(yīng)用橢圓的性質(zhì)，由此引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已學(xué)知識(shí)，思考從哪些方面入手來研究橢圓.

設(shè)計(jì)意圖：從生活實(shí)際問題中提煉出橢圓問題，讓學(xué)生思考研究橢圓的途徑和方法.

2.師生問答，復(fù)習(xí)回顧

師生共同回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)過的橢圓定義.

師：請(qǐng)大家回憶一下，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立的過程是怎樣的？

生：①建系，②設(shè)點(diǎn)，③列式，④化簡.

師：這對(duì)我們建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有何啟發(fā)？請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試一下.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)過的橢圓定義出發(fā)，類比圓的方程的推導(dǎo)過程，找到推導(dǎo)橢圓方程的方法.

3.師生活動(dòng)，建構(gòu)數(shù)學(xué)

設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離和為2a（2a>2c）.

師：如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？（原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算方便，考慮所給幾何圖形的對(duì)稱性，一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.）

設(shè)計(jì)意圖：滲透數(shù)形結(jié)合思想，教學(xué)生建立坐標(biāo)系的方法，幫助他們?cè)谝院笮枰M(jìn)行幾何問題代數(shù)化的情境中，能夠自己建立合適的坐標(biāo)系.

① 建系：以線段F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

② 設(shè)點(diǎn)：設(shè)P（x，y）是橢圓上的任意一點(diǎn)，

因?yàn)镕1F2=2c，所以焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.

③ 列式：根據(jù)條件PF1+PF1=2a，得

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.

④ 化簡，移項(xiàng)，得

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，

兩邊平方，移項(xiàng)，整理，得a2-cx=a（x-c）2+y2，

兩邊平方后整理，得

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

師：為何要先移項(xiàng)再平方，而不是直接平方？

生：化簡就是要去掉根式，那就需要平方，但如果直接平方會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)根式相乘.如果想要進(jìn)一步去掉根式，則要再次平方，這樣就使該式變成了四次式.而通過先移項(xiàng)再平方，雖然還有根式在里面，但是再次移項(xiàng)平方后，就可以去掉根式，該式變成了二次式，這顯然優(yōu)于直接平方所得結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生嘗試化簡，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，掌握更具普遍性的化簡技巧.當(dāng)然，不是所有同學(xué)都能自主完成這個(gè)化簡過程，這就需要教師提前對(duì)學(xué)生的課堂表現(xiàn)做好預(yù)設(shè)，再在實(shí)際教學(xué)中走到學(xué)生中去，根據(jù)他們的實(shí)際情況靈活處理.完成整個(gè)化簡過程，要經(jīng)過兩次移項(xiàng)平方，可以肯定的是，一定會(huì)有同學(xué)想到用這種先移項(xiàng)再平方的方法去化簡，那教師就可以設(shè)置好問題，通過與該生對(duì)話，讓其他同學(xué)也能逐步了解這種方法的優(yōu)勢.第二次移項(xiàng)平方其實(shí)仍然是遵循化簡原則，目的是去掉根式.

師：為了繼續(xù)簡化上述方程，可以在等式兩邊同除a2（a2-c2），這樣得到的方程只有兩處含參數(shù)，比原來三處含參數(shù)的方程更加簡潔.最后，令a2-c2=b2（b>0），這樣最終得到更加簡潔、對(duì)稱的方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中a2=b2+c2.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)通過同除a2（a2-c2）及令a2-c2=b2（b>0），可以使方程更加簡潔、對(duì)稱，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之美.

師：比較以下兩個(gè)式子，并思考怎樣推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，

（y+c）2+x2+（y-c）2+x2=2a.

生1：類比焦點(diǎn)在x軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，采用同樣的步驟去推導(dǎo).

生2：交換x，y即可得到焦點(diǎn)為F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），焦距為2c的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程y2a2+x2b2=1（a>b>0）.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生領(lǐng)悟到不經(jīng)過計(jì)算，通過觀察未經(jīng)過化簡的兩類方程的特征，就能直接得到焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，滲透類比思想.

教師將兩種橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程放在一起比較分析，并用PPT演示結(jié)果，詳細(xì)列出兩種方程的不同點(diǎn)：圖形和焦點(diǎn)坐標(biāo);相同點(diǎn)：定義和a，b，c三者的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過比較，對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有更深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)兩種橢圓方程的特征更加清楚，能夠正確區(qū)分兩種方程.

4.嘗試運(yùn)用，深化理解

例1 將圓x2+y2=1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標(biāo)保持不變，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線.

設(shè)計(jì)意圖：利用方程的變換證實(shí)對(duì)曲線類型的猜想，將圓壓縮可以得到橢圓，揭示橢圓與圓的內(nèi)在聯(lián)系.

例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦距為4，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于5;

（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-4），（0，4），并且經(jīng)過點(diǎn)（-3，-5）.

總結(jié)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：①定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸;②定量：求a，b的值.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，掌握用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

思考：已知方程x2m-1+y22-m=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓呢？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)焦點(diǎn)在不同軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式有更深入的理解，增強(qiáng)學(xué)生分類討論的意識(shí).

5.回顧總結(jié)，提煉升華

（1）知識(shí)上：經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)學(xué)之美;橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式.

（2）思想方法上：數(shù)形結(jié)合思想，類比思想，定義法，待定系數(shù)法.

六、教學(xué)反思

在利用橢圓定義推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，首先用類比圓的方程的推導(dǎo)過程發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系方面的性質(zhì)和規(guī)律，然后建立等量關(guān)系，理解推理的形式和規(guī)則，并準(zhǔn)確使用邏輯用語表述邏輯推理過程.從得到橢圓方程的最初形式，到運(yùn)用一系列的運(yùn)算技巧將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，著重培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).本課教學(xué)目的不僅要讓學(xué)生掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，更重要的是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，并且能夠自己獨(dú)立完成后續(xù)雙曲線和拋物線方程的推導(dǎo)過程.上述例1通過方程的變換，讓學(xué)生體會(huì)到了橢圓與圓之間的內(nèi)在聯(lián)系，而例2的設(shè)置是為了讓學(xué)生掌握用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并熟悉在實(shí)際操作中，先定位再定量的求解過程.思考題的設(shè)置，將本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行了升華，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉兩種方程的形式，同時(shí)也強(qiáng)化了分類討論的思想.

【參考文獻(xiàn)】

[1]洪燕君，周九詩，王尚志，等.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》的意見征詢：訪談張奠宙先生[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（3）：35-39.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂）[M].北京：人民教育出版社，2017.