一類半線性拋物方程解的初值問題研究

陸求賜 張宋傳 王學(xué)彬

(武夷學(xué)院 a.人文與教師教育學(xué)院；b.數(shù)計(jì)學(xué)院，福建 武夷山 354300)

半線性拋物方程其解可用于描述解釋一些自然現(xiàn)象：如質(zhì)量擴(kuò)散、能量傳輸、大氣流動等。Kaplan[1]，F(xiàn)ujita[2]開創(chuàng)性工作之后，很多的數(shù)學(xué)學(xué)者開始對半線性拋物方程解的爆破現(xiàn)象、解的整體存在性以及熄滅性等方面的性質(zhì)進(jìn)行了大量的研究并得到了大量成果。受Fujita、Kaplan等研究工作的啟發(fā)，考慮如下半線性拋物方程的初邊值問題：

1 預(yù)備知識

為了下文需要，這里需要先介紹幾個函數(shù)空間，還有爆破的定義和一個嵌入定理與一個不等式。

由以上幾個空間的定義，可以得到如下嵌入定理：

嵌入定理(Sobolev嵌入定理)：

格林公式利用分部積分很容易推導(dǎo)出。

2 解的存在性與爆破

結(jié)合上面幾個空間的定義與解的爆破定義，本部分證明方程(1)在一定條件下，其解在有限時刻爆破。

3 解的漸進(jìn)狀態(tài)

解的漸進(jìn)狀態(tài)是指當(dāng)時間項(xiàng)t時解的變化狀態(tài)，解的漸進(jìn)性態(tài)一般與非線性項(xiàng)f(u)的形式有關(guān)。下面研究一下當(dāng)方程(1)滿足一定條件時其解的漸進(jìn)行為。

4 結(jié)語

處理半線性拋物方程常見的方法有上下解方法、能量方法、凸性方法等。本文主要借助能量方法和格林公式等處理了一類半線性拋物方程解的爆破性質(zhì)和漸進(jìn)性質(zhì)。