思考能否再深入一些 設(shè)計(jì)能否再大膽一些
——對“有理數(shù)乘方”教學(xué)設(shè)計(jì)的再思考

(上海市嶺南中學(xué) 200435)

拜讀了秦嶺老師發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》2019年第5期上《“有理數(shù)的乘方”教學(xué)實(shí)錄與反思》[1]一文后受益匪淺，既從“目標(biāo)定位”“重難點(diǎn)把握”“教學(xué)設(shè)計(jì)”“問題設(shè)置”“課堂組織”和“規(guī)范表達(dá)”等教學(xué)環(huán)節(jié)中感受到秦老師深厚的教學(xué)功底，也從“以憤悱情境激發(fā)求知欲”“以概念生成突出過程教學(xué)”“以探索活動(dòng)強(qiáng)化學(xué)習(xí)方式”“以個(gè)性化教育彰顯分層教學(xué)”和“以主動(dòng)建構(gòu)發(fā)揮主體作用”等教學(xué)活動(dòng)中深刻體會(huì)到“在教學(xué)中加強(qiáng)實(shí)踐與理念融合”的重要性與前瞻性，更對如何“從基于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)設(shè)計(jì)出能激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈探究動(dòng)機(jī)的活動(dòng)情境”和“引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)新知認(rèn)識(shí)新知運(yùn)用新知”的“教材二次開發(fā)”的做法有了深刻感悟．總之，這是一篇不可多得且創(chuàng)新味濃的教學(xué)設(shè)計(jì)，具有較強(qiáng)的啟發(fā)性，值得借鑒！不過反復(fù)品味后，也有一些不成熟的思考，愿與秦老師探討．

1 探討之處

1.1 主體作用的發(fā)揮能否再充分一些

案例回顧關(guān)于“乘方概念引入”的教學(xué)，秦老師創(chuàng)設(shè)了“求每30分鐘分裂一次的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過5個(gè)小時(shí)分裂后的總數(shù)”問題情境，在通過問題驅(qū)動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生得出總數(shù)為2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2后，秦老師強(qiáng)調(diào)：為了書寫方便可把結(jié)果記為210，并給出了an定義及底數(shù)、指數(shù)與冪等相關(guān)概念(詳細(xì)過程請參閱文[1])．

案例分析雖然情境問題是由學(xué)生獨(dú)立解決的，但乘方概念卻是由教師直接拋出，有灌輸嫌疑，未能引導(dǎo)學(xué)生深入?yún)⑴c概念的建構(gòu)過程，主體作用并未得到充分發(fā)揮．

教學(xué)建議在得出2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2的細(xì)胞分裂總數(shù)后，教師適時(shí)指出此種表示方法不夠簡練，然后拋出問題：同學(xué)們有沒有簡易的表示方法呢？(甚至可提出“5天后、5個(gè)月后分別分裂出多少個(gè)細(xì)胞”以進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對用乘法表示過于繁瑣的直觀感受，強(qiáng)化尋求簡易表示方法的必要性與迫切性．)

經(jīng)過思考，學(xué)生若能提出類似乘方的表示方法，自然要不吝贊美之詞多加激勵(lì)(不貼切之處可通過舉反例驅(qū)動(dòng)問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步完善)；若不能，則可借助小學(xué)學(xué)過的邊長為a的正方形面積a2與正方體體積a3啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，并指出a, 2與3所表示的意義，引導(dǎo)學(xué)生得出2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 210，進(jìn)而給出乘方的意義．

設(shè)計(jì)說明如此一來，乘方的表示方法是學(xué)生的成果，是由舊知遷移而得.有了主動(dòng)探究的建構(gòu)過程，對完善學(xué)生的認(rèn)知方式與提升轉(zhuǎn)化能力無疑影響深遠(yuǎn)．其實(shí)，底數(shù)、指數(shù)與冪的名稱不妨也讓學(xué)生嘗試獨(dú)立命名．雖然學(xué)生未必能給出教材的形象定義，但經(jīng)過獨(dú)立思考大膽嘗試后，再與教材的科學(xué)名稱進(jìn)行優(yōu)劣對比剖析，不僅有利于學(xué)生加深對概念的記憶與理解，而且還能提高語言的規(guī)范表達(dá)能力，可謂一舉多得，何樂而不為？筆者的教學(xué)實(shí)踐就表明，學(xué)生把210中的2與10分別稱為“同因素”和“因個(gè)數(shù)”的命名也頗為形象，充分展現(xiàn)了學(xué)生的理解能力與學(xué)習(xí)智慧，對培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維自然也大有裨益．

1.2 自主探究的力度能否再大一些

案例分析從特殊值的計(jì)算中獲得猜想，再借助乘法法則加以說理，從而得出一般規(guī)律，是一種主要認(rèn)知方式，符合初中生的認(rèn)知水平，本無可厚非(況且秦老師已把常規(guī)的按底數(shù)符號分類計(jì)算的方式進(jìn)行了綜合化處理，加深了對乘方符號法則的觀察與歸納難度，有利于學(xué)生發(fā)展性學(xué)力的培養(yǎng))．但正如文[1]所言，乘方符號法則是以填空形式完成歸納的，學(xué)生有被牽著走之嫌，探究的自主性自然大打折扣．另外，筆者總覺得此設(shè)計(jì)缺少升華，沒有把乘方符號法則的應(yīng)用性與優(yōu)越性(先確定冪的符號再把底數(shù)的絕對值乘方)凸顯出來，令人稍感惋惜．

教學(xué)建議鑒于面對的是基礎(chǔ)較強(qiáng)的特色班學(xué)生，不妨通過下列環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)．

問題你能確定an(n為正整數(shù))的符號嗎？有什么規(guī)律？為什么？

若學(xué)生回答有困難，可通過“an的符號是由哪些條件確定的”啟發(fā)學(xué)生理解a的符號及其個(gè)數(shù)(即n的奇偶性)是確定an的符號的兩個(gè)至關(guān)重要的因素．

引導(dǎo)學(xué)生從乘方的意義和乘方運(yùn)算的符號法則兩方面切入思考，主要目的在于強(qiáng)化“先定符號再求值”的乘方計(jì)算優(yōu)化策略．

思考若an=|a|n對一切正整數(shù)n均成立，則a的取值范圍是；若an=-|a|n成立，則a的取值范圍是，n滿足的條件為．

設(shè)計(jì)說明該設(shè)計(jì)雖然還是通過問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，但思考的主動(dòng)性更強(qiáng)、思維量更大、思維度更深，既有助于學(xué)生吃透乘法與乘方間的特殊關(guān)系，又有利于學(xué)生理清“定義—性質(zhì)—應(yīng)用—提升”的新概念學(xué)習(xí)脈絡(luò)，掌握新概念學(xué)習(xí)的思維方式，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)習(xí)能力的提升與發(fā)展．另外，此處常有教師借助(-a)n=-an來說明n為正奇數(shù)．不過筆者覺得此處選用時(shí)機(jī)并不成熟，因?yàn)槿粲玫讛?shù)為-a來解讀雖然不存在原則上錯(cuò)誤，但容易引發(fā)學(xué)生把-an錯(cuò)作負(fù)數(shù)的隱患；若進(jìn)一步說明-an的正負(fù)還與a的取值有關(guān)，對于初學(xué)者來說未必真正能吃透，有人為加大難度且偏離教學(xué)重點(diǎn)之嫌．而待到學(xué)過“積的乘方等于乘方之積”后，借助(-a)n=(-1)nan= -an說明卻簡單明了通俗易懂，所以此處不必過度設(shè)計(jì)，以免弄巧成拙．

1.3 分析能否再透徹一些

案例分析因?yàn)閍2=|a|2=|a|·|a|，所以原問題就轉(zhuǎn)化為“一個(gè)數(shù)的絕對值乘以本身的絕對值后是變大？不變？還是變??？”由|a|·|a|>|a|得|a|(|a|-1)>0，所以|a|>1，即a<-1或a>1；若|a|·|a|=|a|，得|a|·(|a|-1)=0，則|a|=0或|a|-1=0，所以a=0, -1, 1；若 |a|·|a|<|a|，類似可得-11時(shí)，a2>|a|；當(dāng)a=0, -1, 1時(shí)，a2=|a|；當(dāng) -1

教學(xué)建議在學(xué)生借助三個(gè)特殊值得出不能判定a2與|a|大小后，可進(jìn)一步追問：當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，a2>|a|？當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，a2= |a|？當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，a2<|a|？把學(xué)生的思維引向?qū)栴}本質(zhì)的探究；再借助等價(jià)問題(即一個(gè)數(shù)的絕對值乘以本身的絕對值后的大小變化情況)作鋪墊，并放手讓學(xué)生大膽猜想與相互討論，最后通過解絕對值不等式，引導(dǎo)學(xué)生逐步得出正解．

設(shè)計(jì)說明也許文[1]覺得上述求解過程需用到解一元二次不等式和一元二次方程的思想，超出了學(xué)生的認(rèn)知范圍，故沒有深入挖掘．其實(shí)上述解絕對值不等式的過程也可運(yùn)用所學(xué)過的相關(guān)知識(shí)加以理解，學(xué)生完全可以接受．如|a|2-|a|=|a|(|a| -1)就可借助逆用“乘法對加法的分配律”來解讀、由|a|(|a|-1)>0得 |a|-1>0就可借助“兩個(gè)數(shù)相乘，同號得正異號得負(fù)”來說明．退一步講，若學(xué)生真無法理解，那么文[1]選用本問題的做法就值得商榷(既然講不透那就不如不講)，因?yàn)榘凑瘴腫1]蜻蜓點(diǎn)水式的處理方式，不僅會(huì)給學(xué)生造成對知識(shí)的片面認(rèn)識(shí)，甚至引發(fā)誤解，為今后的學(xué)習(xí)埋下隱患，而且還不利于刨根問底式思維習(xí)慣的養(yǎng)成和“問題分析—處理策略—本質(zhì)挖掘”的“三段式”問題處理方式之完善，對學(xué)習(xí)力的發(fā)展弊大于利也．

2 隨想之筆

毋庸置疑，文[1]是一份較為成功的教學(xué)案例，主要得益于秦老師能用先進(jìn)的教學(xué)理念對教材進(jìn)行深度的“二次開發(fā)”，設(shè)計(jì)出符合學(xué)生認(rèn)知水平的創(chuàng)意，為上好課奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)．那么對教材“二次開發(fā)”時(shí)，除了關(guān)注常規(guī)的教材分析(學(xué)材地位、目標(biāo)確立、重難點(diǎn)界定等)、學(xué)情分析(認(rèn)知基礎(chǔ)、思維習(xí)慣、學(xué)習(xí)能力等),過程設(shè)計(jì)(新課引入、新知探究、應(yīng)用反饋、歸納提升、課堂小結(jié)等)和作業(yè)選材(落實(shí)基礎(chǔ)、有機(jī)分層、突出能力等)等環(huán)節(jié)，還需在哪些方面精雕細(xì)琢呢？

2.1 選材的意義何在

除了教材內(nèi)容外，執(zhí)教者常常會(huì)選取一些課外素材來充實(shí)課堂教學(xué)，至于如何選材則需在選材目的上反復(fù)琢磨．從表面上看，選材是為了落實(shí)新知、突出重點(diǎn)、強(qiáng)化應(yīng)用，但更深層面的思考卻要關(guān)注學(xué)習(xí)方式的完善與思維能力的培養(yǎng)．如文[1]在“圍繞乘方意義突出變式訓(xùn)練”環(huán)節(jié)所選的“把-4×(-4)×4×4×(-4)×4寫成乘方形式”一例及其處理方式就值得點(diǎn)贊，在強(qiáng)化乘方概念運(yùn)用和新舊知識(shí)遷移的同時(shí)，還針對學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)巧設(shè)陷阱，借助課堂生成的糾錯(cuò)情境，放手讓學(xué)生辨析，理清(-4)6與-46的區(qū)別與聯(lián)系，彰顯了從正反兩方面學(xué)習(xí)概念的認(rèn)知方式，強(qiáng)化了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與綜合性，突出了運(yùn)用舊知解決新知的轉(zhuǎn)化能力．

2.2 設(shè)計(jì)的科學(xué)性如何

教學(xué)設(shè)計(jì)是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和教學(xué)對象的特點(diǎn)，將教學(xué)諸要素有序安排，確定合適的教學(xué)方案的設(shè)想和計(jì)劃，既含有關(guān)聯(lián)章節(jié)與課堂推進(jìn)的整體設(shè)計(jì)，也包括環(huán)節(jié)實(shí)施與知識(shí)點(diǎn)落實(shí)的節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)．其中，整體設(shè)計(jì)需重點(diǎn)關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的完備性、活動(dòng)的層次性和過程的流暢性，而節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)則至少需從以下幾方面反復(fù)推敲．

首先，情境創(chuàng)設(shè)是否源于學(xué)生生活？熟習(xí)的情境為學(xué)生的觀察、操作和理解提供了便捷，為盡快切入主題學(xué)習(xí)(如概念生成、性質(zhì)挖掘和規(guī)律探索等)打開了通道．如文[1]的“細(xì)胞分裂情境”與“對折紙情境”均來自于學(xué)生的學(xué)科學(xué)習(xí)與生活感悟，既貼近生活，又易于理解，為進(jìn)一步探究奠定了扎實(shí)基礎(chǔ)．

其次，新知學(xué)習(xí)是否突出生成過程？正如文[1]所述：“概念教學(xué)的核心是概括，要將凝結(jié)在概念中的數(shù)學(xué)家思維打開，以典型、豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性，抽象出共同的本質(zhì)屬性，形成數(shù)學(xué)概念，展示生成過程．”但遺憾的是，文[1]只是設(shè)計(jì)了一個(gè)激發(fā)“憤悱”的“細(xì)胞分裂”情境，乘方概念生成是由教師直接包辦，學(xué)生并沒有參與建構(gòu)之中．相反，筆者增加“求5天與5個(gè)月后細(xì)胞分裂數(shù)”的改進(jìn)設(shè)計(jì)既突出了引入乘方概念的迫切性，又提供更多觀察素材，為新知生成創(chuàng)設(shè)了有利條件；特別是借助學(xué)生熟知的a2,a3引出an，實(shí)現(xiàn)了舊知到新知的完美遷移，強(qiáng)化了學(xué)生參與乘方概念的建構(gòu)過程(詳見前文)．坦誠而言，該改進(jìn)設(shè)計(jì)也不盡完善，還有不少值得改進(jìn)之處，在此也特別期待更多有更智慧的、能凸顯乘方概念生成過程的設(shè)計(jì)不斷涌現(xiàn)，以造福廣大師生．

另外，本質(zhì)挖掘是否具有探究味？所謂“探究味”就是指經(jīng)歷“情境觀察—?jiǎng)邮植僮鳌竽懖孪搿评碚撟C—?dú)w納總結(jié)”的自主活動(dòng)過程，顯然文[1]對乘方運(yùn)算的符號性質(zhì)學(xué)習(xí)基本呈現(xiàn)了這一過程，體現(xiàn)了一定的“探究味”，只是探究力度略顯不足，但基本思想與設(shè)計(jì)模式依然值得借鑒．

最后，問題處理是否指向發(fā)展性？眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)是以知識(shí)學(xué)習(xí)與問題解決為載體，著重培養(yǎng)學(xué)生的思維模式和學(xué)習(xí)能力．可喜的是，文[1]所有問題都是放手讓學(xué)生獨(dú)立處理，教師只是適時(shí)作適當(dāng)引導(dǎo)，在充分尊重學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性基礎(chǔ)上，突出了學(xué)生的思維發(fā)展；特別在課堂反饋環(huán)節(jié)中，設(shè)置了“可供不同層次學(xué)生選擇的層次性作業(yè)”，有效地彰顯了學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展．不過，在個(gè)別能力發(fā)展點(diǎn)上文[1]的設(shè)計(jì)也有未能盡善盡美之處，學(xué)法指導(dǎo)力度稍顯不足，在“授人以漁”方面考慮欠周.如處理“一個(gè)數(shù)的平方與其絕對值大小比較”問題時(shí)，只是發(fā)揮了學(xué)生的想象能力，借助特例簡單說明，沒能從“比較差值法”入手，滲透比較大小的通性通法，追求“以題會(huì)類”的教學(xué)效果，錯(cuò)失了一次提升學(xué)生發(fā)展性學(xué)力的大好時(shí)機(jī)．

2.3 難點(diǎn)突破與否

筆者以為教學(xué)難點(diǎn)主要有認(rèn)知上的盲點(diǎn)、運(yùn)用上的易錯(cuò)點(diǎn)和設(shè)計(jì)上的困惑點(diǎn)，據(jù)此可知“有理數(shù)的乘方”主要有“對-an的理解與運(yùn)用”和“乘方概念生成設(shè)計(jì)”兩大難點(diǎn)．至于第一個(gè)難點(diǎn)，文[1]通過設(shè)置“把-4×(-4)×4×4×(-4)×4寫成乘方形式”問題情境并放手讓學(xué)生探索，在相互糾錯(cuò)中一舉獲得了突破，體現(xiàn)秦老師深厚的教學(xué)功底與超強(qiáng)的智慧．對于第二個(gè)難點(diǎn)，文[1]所設(shè)置的“細(xì)胞分裂情境”和“書寫麻煩的困惑”只能說明引入乘方的必要性，但至于怎么想到引入an卻沒能從學(xué)生熟悉的a2,a3有效遷移，導(dǎo)致難點(diǎn)突破變成教師口頭代辦，這點(diǎn)值得商榷．

當(dāng)然，教材的“二次開發(fā)”需要反復(fù)斟酌的點(diǎn)還有很多，只要大家做個(gè)有心人，以先進(jìn)的課程理念為指導(dǎo)，以“吃透”教材為基礎(chǔ)，重點(diǎn)落在“知識(shí)生成處”“難點(diǎn)突破處”和“能力發(fā)展處”，就一定能設(shè)計(jì)出更多象文[1]一樣的好課，上出不同尋常的精彩．

應(yīng)當(dāng)指出的是，本文雖然對文[1]的部分設(shè)計(jì)提出了不同的看法，但只是閱歷不同的執(zhí)教者從不同角度的解讀，并不代表原設(shè)計(jì)就一定存在瑕疵，僅供參考．況且兩者孰優(yōu)孰劣，只有授課對象才能真切感受，因?yàn)椤拔ㄓ羞m合的才是最好的”，這也正是因材施教的魅力之所在！