高等代數(shù)中多項(xiàng)式理論的教學(xué)實(shí)踐與思考

鄧凱，王小剛，朱立軍

（1. 北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2. 寧夏科學(xué)計(jì)算與智能信息處理協(xié)同創(chuàng)新中心，寧夏 銀川 750021）

高等代數(shù)是大學(xué)一年級數(shù)學(xué)類相關(guān)專業(yè)的一門學(xué)科基礎(chǔ)課，對學(xué)生后續(xù)的課程學(xué)習(xí)和專業(yè)發(fā)展有著重要影響．高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容主要包括多項(xiàng)式理論與線性代數(shù)2部分，其中多項(xiàng)式的研究起源于一元多項(xiàng)式的求根問題，是早期代數(shù)學(xué)研究的主要對象．北方民族大學(xué)選用的教材是北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等代數(shù)》（第4版）[1]，考慮到多項(xiàng)式在線性代數(shù)部分有諸多應(yīng)用，教學(xué)計(jì)劃安排先學(xué)習(xí)多項(xiàng)式理論，主要包括一元多項(xiàng)式的定義與運(yùn)算、帶余除法、因式分解理論、多項(xiàng)式函數(shù)與根等內(nèi)容．中學(xué)時期多項(xiàng)式的學(xué)習(xí)主要涉及二次方程的求根和二次函數(shù)的分析性質(zhì)等方面，學(xué)習(xí)內(nèi)容具體，注重解題技巧的訓(xùn)練．高等代數(shù)中多項(xiàng)式理論是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)提高和升華，注重討論一般性的結(jié)果，內(nèi)容抽象，不僅要求掌握具體的解題技巧，具備一定的運(yùn)算能力，更重要的是培養(yǎng)邏輯推理能力、抽象分析能力和創(chuàng)新能力，學(xué)習(xí)難度大、要求高．教師對剛?cè)雽W(xué)的新生沒有全面了解，教學(xué)方式和方法不容易把握，加之一年級新生缺乏學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致教學(xué)過程中學(xué)生反映難學(xué)、教師反映難教．這些實(shí)際問題促使我們對多項(xiàng)式理論的教學(xué)進(jìn)行研討，以教學(xué)實(shí)踐為基礎(chǔ)，探索普遍適用的教學(xué)方式與方法，以期提高教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和專業(yè)發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)．本文從培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)習(xí)慣，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練和信息技術(shù)輔助教學(xué)等5個方面展開討論．

1 培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)習(xí)慣

高等代數(shù)課程的突出特點(diǎn)是理論知識多、內(nèi)容抽象，除了課堂學(xué)習(xí)之外，還需要花費(fèi)課余時間完成學(xué)習(xí)任務(wù)，這就要求學(xué)生要自主學(xué)習(xí)．高等代數(shù)教材每個章節(jié)的內(nèi)容信息量大，章節(jié)之間聯(lián)系緊密，知識抽象，具有一定難度，初學(xué)者往往容易產(chǎn)生挫敗感，課程初期就會有部分學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，影響后續(xù)知識的學(xué)習(xí)．因此，課程一開始就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自學(xué)，盡快地了解學(xué)習(xí)內(nèi)容，掌握學(xué)習(xí)方法．閱讀教材是自學(xué)的基本環(huán)節(jié)[2]，可以此為抓手，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力．

以一般多項(xiàng)式的求根問題為主線，在課程伊始就結(jié)合教材對知識框架做一個完整的介紹，雖然一些概念和定義學(xué)生之前并不清楚，但是這樣做的主要目的是讓學(xué)生熟悉教材，了解要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，為閱讀教材打好基礎(chǔ)．在具體的學(xué)習(xí)實(shí)踐中，要求學(xué)生課前要預(yù)習(xí)，課中要提問，課后要總結(jié)，利用這種模式逐步地形成“學(xué)教材”到“用教材學(xué)”的轉(zhuǎn)變．高等代數(shù)知識高度抽象的特點(diǎn)，使得初學(xué)者難以在短時間內(nèi)理解和掌握所學(xué)知識，課前預(yù)習(xí)的目的是通過閱讀教材了解課程主要內(nèi)容，熟悉基本概念、定理和符號，記錄疑惑或問題，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，教師要制定預(yù)習(xí)提綱，為學(xué)生自學(xué)教材提供幫助和指導(dǎo)．如一開始就要求學(xué)生閱讀教材附錄二中關(guān)于整數(shù)的可除性理論的介紹，整數(shù)作為具體而熟悉的對象容易被學(xué)生掌握，為后面類比學(xué)習(xí)多項(xiàng)式環(huán)上的整除性理論做好了鋪墊，也使學(xué)生感受到了類比學(xué)習(xí)是一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法．鼓勵學(xué)生在課堂上隨時向教師提問，通過這種方式高效地解決問題，消除學(xué)生的疑惑，在課堂教學(xué)中起到以點(diǎn)帶面的作用，有利于形成良好的課堂氛圍，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性．課后要做好學(xué)習(xí)總結(jié)，總結(jié)不是教條地再看幾遍教材，而是要結(jié)合課堂學(xué)習(xí)成果，厘清概念和定理的來龍去脈，加深對相關(guān)內(nèi)容的理解，凝練知識，建立自己的認(rèn)知體系，養(yǎng)成主動學(xué)習(xí)的習(xí)慣．教師通過課堂表現(xiàn)、提問、小測驗(yàn)、談話和學(xué)習(xí)小結(jié)等多種形式了解學(xué)生自學(xué)的情況，并將自學(xué)情況作為平時成績的觀測點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生自學(xué)習(xí)慣的養(yǎng)成．

2 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

興趣是對學(xué)習(xí)內(nèi)容的一種力求認(rèn)識的傾向，伴有積極的情感色彩，是學(xué)生獲得成功的關(guān)鍵[3]．如果說專業(yè)設(shè)置要求必修高等代數(shù)課程是學(xué)生學(xué)習(xí)的外因，那么興趣就是學(xué)習(xí)的內(nèi)因．教學(xué)實(shí)踐表明，許多一年級新生仍處于應(yīng)對考試的被動學(xué)習(xí)狀態(tài)，加之多項(xiàng)式的學(xué)習(xí)內(nèi)容抽象、計(jì)算繁冗，容易導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣．如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣一直是教學(xué)研究的熱點(diǎn)[4-5]，興趣的培養(yǎng)不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)是多個方面共同作用、動態(tài)發(fā)展的過程．

為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注重以下幾點(diǎn)做法：（1）強(qiáng)調(diào)高等代數(shù)作為學(xué)科基礎(chǔ)課對后續(xù)學(xué)習(xí)及專業(yè)發(fā)展的重要影響，從客觀上要求學(xué)生重視高等代數(shù)的學(xué)習(xí)；（2）通過介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和課程特點(diǎn)，指出自主學(xué)習(xí)是大學(xué)學(xué)習(xí)的有效方式，舉例說明高等代數(shù)是中學(xué)代數(shù)的拓展和抽象，有一定難度，需要經(jīng)過個人堅(jiān)持不懈地努力才能理解和掌握，從主觀上促使學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度；（3）教學(xué)實(shí)踐中教師要善于觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，及時做好思想教育工作，加強(qiáng)課堂管理，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，自然就提升了學(xué)習(xí)興趣，在教學(xué)中往往會產(chǎn)生事半功倍的效果；（4）教學(xué)活動中要注意師生平等，教師應(yīng)該成為陪伴學(xué)生學(xué)習(xí)的朋友，通過對學(xué)生的關(guān)心和幫助建立融洽的師生關(guān)系，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生積極的情感，有利于增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣；（5）通過做好新舊知識的銜接，闡述概念的來龍去脈，揭示概念、定理的本質(zhì)含義，穿插數(shù)學(xué)趣聞等方式吸引學(xué)生積極參與課堂教學(xué)；（6）通過舉例展示高等代數(shù)中特殊抽象為一般，再由一般解決特殊的實(shí)踐過程，讓學(xué)生感受到高等代數(shù)的抽象特征及其廣泛應(yīng)用，在升華認(rèn)知的同時激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；（7）在高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)課中利用數(shù)學(xué)軟件演示帶余除法、求解最大公因式和多項(xiàng)式近似求根等問題，增強(qiáng)課程的實(shí)踐性和趣味性．

3 提高教學(xué)效率

多項(xiàng)式理論部分內(nèi)容豐富、計(jì)算繁冗、抽象性高，優(yōu)化課堂教學(xué)是提升教學(xué)效率的有效途徑，學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備和教師的教學(xué)準(zhǔn)備是優(yōu)化課堂的2個重要方面．學(xué)生應(yīng)按照教師要求的預(yù)習(xí)提綱做好課堂學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，并將這一過程納入到課業(yè)評價中以保證完成質(zhì)量．教學(xué)過程是一個動態(tài)發(fā)展的過程，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)要靈活，要能夠結(jié)合課堂實(shí)際優(yōu)化教學(xué)．在最大公因式概念的教學(xué)中，在學(xué)生自學(xué)的基礎(chǔ)上可以先直接提問什么是2個多項(xiàng)式的最大公因式，借以了解學(xué)生是否已經(jīng)熟悉概念，再根據(jù)實(shí)際情況引出定義．如果一上課就直接在黑板上寫出定義，不但缺失了師生互動，而且給學(xué)生一種刻板的印象，導(dǎo)致學(xué)生沒有興致參與課堂教學(xué)．中學(xué)階段學(xué)習(xí)過因式的概念，一般來說學(xué)生都能夠自學(xué)掌握最大公因式的基本定義，教師要察覺到這種課堂動態(tài)，不必要再花費(fèi)時間咬文嚼字地去解釋定義，需要強(qiáng)調(diào)的是“最大”依賴于整除關(guān)系，是一種偏序．2個次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式的情形學(xué)生也容易理解，難點(diǎn)在于對有零多項(xiàng)式和零次多項(xiàng)式這2種退化情形的認(rèn)識．可以分別討論0與f(x)，a（a≠0）與f(x)的情形，以加深對最大公因式的理解，特別是有意識地例舉2個整數(shù)的情況．如多數(shù)學(xué)生知道16與24的最大公因式是8，這個答案是正確的，但卻是基于整數(shù)環(huán)上的理解，而多項(xiàng)式環(huán)上最大公因式的討論是基于數(shù)域上的討論，這是本質(zhì)的差異，弄清楚這一點(diǎn)就容易理解任意一個非零數(shù)都是16與24的最大公因式，而且首1最大公因式（16，24）=1，這說明16與24是互素的．這樣的實(shí)例顛覆了學(xué)生之前在整數(shù)環(huán)上的認(rèn)識，強(qiáng)烈的反差能使學(xué)生留下深刻的印象，加深了對概念的理解．這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)避免了重復(fù)講解，抓住了關(guān)鍵，能夠吸引學(xué)生，提高教學(xué)效率．

4 加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維方式訓(xùn)練

高等代數(shù)課程的基礎(chǔ)性也表現(xiàn)在它是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維方式很好的載體，通過學(xué)習(xí)可以提升邏輯推理能力、抽象分析能力和創(chuàng)新能力等基本素質(zhì)，不僅對專業(yè)學(xué)習(xí)有幫助，而且對個人的發(fā)展十分有益．?dāng)?shù)學(xué)的思維方式是一個全過程：抓住客觀現(xiàn)象主要特征，抽象出概念；提出要研究的問題，運(yùn)用舉例、直覺、歸納、類比、聯(lián)想和邏輯推理等進(jìn)行探索，猜測可能有的規(guī)律；經(jīng)過深入分析，只使用公理、定義和已經(jīng)證明了的結(jié)論進(jìn)行邏輯推理來嚴(yán)密論證，揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律，從而使紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序[6]．從二次多項(xiàng)式和三次多項(xiàng)式抽象引出一般多項(xiàng)式的定義是常用的教學(xué)方法，但是要注意2個方面，一是多項(xiàng)式系數(shù)抽象到數(shù)域上討論，二是多項(xiàng)式是一種抽象的形式定義，包括運(yùn)算也是如此．這樣學(xué)生不僅能體會到數(shù)學(xué)從具體到抽象的發(fā)展過程，而且從較高層次對中學(xué)的知識有了新的理解．由此學(xué)生自然也容易通過類比和聯(lián)想等方式將具體的問題推廣到一般情形，如一般多項(xiàng)式求根問題，基本的解決辦法是以帶余除法為基礎(chǔ)的代數(shù)方法和以余數(shù)定理為基礎(chǔ)的函數(shù)方法．教學(xué)過程中要用板書的形式嚴(yán)格證明帶余除法定理和余數(shù)定理，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，加深其對基礎(chǔ)知識的理解．在掌握了帶余除法定理和余數(shù)定理之后，繼而討論因式分解問題，通過分析、推理和論證揭示出復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解形式．有理系數(shù)多項(xiàng)式作為具體情形，既與復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的處理方式有聯(lián)系，又因其不可約多項(xiàng)式的復(fù)雜性需要新的思考，教學(xué)中要抓住本原多項(xiàng)式這個關(guān)鍵[7]，建立有理系數(shù)多項(xiàng)式與整系數(shù)多項(xiàng)式之間的聯(lián)系，從而引出求根定理．

雖然多項(xiàng)式求根問題是一條教學(xué)主線，但是高等代數(shù)課程并沒有過多涉及多項(xiàng)式求根方法．教學(xué)中應(yīng)指出多項(xiàng)式求根的問題還遠(yuǎn)沒有解決，但是伽羅瓦徹底解決了一元n次方程是否可用根式求解的問題，由此創(chuàng)立了伽羅瓦理論，引領(lǐng)代數(shù)學(xué)由研究方程的根為中心轉(zhuǎn)變?yōu)橐匝芯扛鞣N代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射為中心，開辟了新的代數(shù)學(xué)科．這樣的說明有承前啟后的作用，既解決了學(xué)生的疑惑，又為后續(xù)的代數(shù)學(xué)習(xí)做了鋪墊．另外，習(xí)題課上要注重解題思路分析，引導(dǎo)學(xué)生使用公理、定義和已經(jīng)證明了的結(jié)論進(jìn)行邏輯推理來嚴(yán)密論證，最終揭示規(guī)律或答案，以此達(dá)到訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的目的．

5 利用信息技術(shù)輔助教學(xué)

現(xiàn)代教育信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育的有機(jī)融合產(chǎn)生了“互聯(lián)網(wǎng)+數(shù)學(xué)教育”[8]，利用網(wǎng)絡(luò)和多媒體技術(shù)輔助高等代數(shù)教學(xué)也是大勢所趨[9-10]．多項(xiàng)式的內(nèi)容抽象，注重理論分析和邏輯推理，學(xué)習(xí)難度大，以講授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式在課時限制和大班教學(xué)的現(xiàn)實(shí)情況下不利于因材施教和拓展學(xué)習(xí)，應(yīng)該積極探索以網(wǎng)絡(luò)和多媒體技術(shù)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代化教學(xué)手段輔助教學(xué)，加強(qiáng)個性化教學(xué)，提升學(xué)習(xí)層次．

多項(xiàng)式的定義與運(yùn)算雖然教學(xué)內(nèi)容多，但難度不大．高等代數(shù)精品課共享資源、視頻公開課、慕課等豐富的網(wǎng)絡(luò)資源提供了優(yōu)質(zhì)的課程素材，教師通過QQ群等網(wǎng)絡(luò)交流平臺將整理好的學(xué)習(xí)資料發(fā)送給學(xué)生，以問題為導(dǎo)向，要求學(xué)生預(yù)先自學(xué)．課堂上利用翻轉(zhuǎn)課堂的形式分組討論，教師作為組織者和引導(dǎo)者，注意補(bǔ)充和糾錯，引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識多項(xiàng)式抽象的形式定義，理解變量符號的廣泛代表性，通過乘法結(jié)合律的證明反饋運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)情況，特別是對連加符號的掌握情況．最后，指出多項(xiàng)式及其運(yùn)算構(gòu)成了一個抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)多項(xiàng)式環(huán)，結(jié)合整數(shù)環(huán)和多項(xiàng)式環(huán)這2個具體實(shí)例，進(jìn)一步抽象提出環(huán)的概念，課后可以發(fā)布一些有關(guān)環(huán)的基礎(chǔ)代數(shù)知識供學(xué)生參考學(xué)習(xí)，既加深了學(xué)生對多項(xiàng)式環(huán)的理解又提升了其對抽象代數(shù)的認(rèn)識．還有一個自然的問題就是多項(xiàng)式環(huán)上為什么沒有定義除法，引發(fā)學(xué)生討論，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊．為了將教學(xué)環(huán)節(jié)有效地拓展到課外，學(xué)生參與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)和討論的情況應(yīng)該納入到課程評價考核體系中，督促全體學(xué)生積極參與．教學(xué)實(shí)踐表明，這種以學(xué)生為主體的個性化學(xué)習(xí)方式確實(shí)有一定的效果，提高了教學(xué)效率．

理論性較強(qiáng)的部分不適合網(wǎng)絡(luò)自學(xué)，如帶余除法定理、最大公因式的存在性及組合表示、因式分解理論等．這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)通常需要通過板書一步一步地講解，引導(dǎo)學(xué)生同步進(jìn)入抽象分析和邏輯推導(dǎo)的情境，體會數(shù)學(xué)思維的全過程，最終形成自己的認(rèn)知和理解．但是這種教學(xué)模式也有局限性，為了提高課堂效率，教學(xué)設(shè)計(jì)常常是為了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)后續(xù)的一些結(jié)果或者是一些正確的結(jié)論，學(xué)生在課堂上總是順利地獲得知識．這樣的過程實(shí)際上是回避了學(xué)習(xí)探索中的失敗體驗(yàn)，是由教師主導(dǎo)的總是向著正確結(jié)果發(fā)展的學(xué)習(xí)過程，這對學(xué)生獨(dú)立解決問題十分不利．因此，經(jīng)常會出現(xiàn)學(xué)生課堂聽得懂，卻不會做習(xí)題，尤其是證明題，不會解決問題往往導(dǎo)致學(xué)生失去信心，從而喪失學(xué)習(xí)興趣．為解決此類教學(xué)問題，課后可以通過網(wǎng)絡(luò)發(fā)布一些與課程內(nèi)容緊密相關(guān)的問題，提供必要的參考資料，由學(xué)生通過自我探索解決問題．如帶余除法中商式和余式是唯一的，那么2個多項(xiàng)式的首1最大公因式的組合是否唯一問題；多項(xiàng)式的整除關(guān)系不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變，但是數(shù)域的變化卻影響因子分解，分析思考，提出哪些多項(xiàng)式的性質(zhì)是基于數(shù)域不變的．教材中沒有討論這些問題，限于課時課堂教學(xué)中往往也不涉及這些問題，可利用網(wǎng)絡(luò)引導(dǎo)學(xué)生討論，以課外實(shí)踐性作業(yè)的形式，由學(xué)生自己去探索答案．通過鉆研這些問題，不僅開闊了學(xué)生的視野，加深了對知識的理解，而且對培養(yǎng)科研創(chuàng)新能力十分有益，提升了學(xué)習(xí)層次．

6 結(jié)語

本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對高等代數(shù)課程中多項(xiàng)式理論的教學(xué)展開研討，探索有效的教學(xué)方式，提升教學(xué)質(zhì)量．從培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)習(xí)慣入手，采用多種方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，在此基礎(chǔ)上通過優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)提高教學(xué)效率，遵循數(shù)學(xué)學(xué)科一般規(guī)律，注重?cái)?shù)學(xué)思維訓(xùn)練，利用信息技術(shù)加強(qiáng)個性化教學(xué)，提高學(xué)習(xí)層次．實(shí)踐表明，這種教學(xué)方式是有效的，在一定程度上提升了教學(xué)質(zhì)量，也可以推廣到其它基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中．