例談?wù)n堂教學(xué)回歸數(shù)學(xué)本源

李思聰 虞 婷

（江蘇省無錫市輔仁高級中學(xué)，214000）

隨著課程改革的深入發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，已經(jīng)經(jīng)成為教育研究的熱門課題.核心素養(yǎng)的提出，回答了“要培養(yǎng)什么樣的人”的問題.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，需要深化課堂教學(xué)，需要引領(lǐng)學(xué)生進入到學(xué)科學(xué)習的深處，需要突破符號表征學(xué)習的淺層教學(xué).目前有些課堂教學(xué)存在一種“去數(shù)學(xué)化”的不良傾向，尤其是在概念教學(xué)中，甚至出現(xiàn)“5分鐘講概念，35分鐘講例題”的“功利化”教學(xué)模式.李善良博士提出，讓數(shù)學(xué)學(xué)習回歸寧靜、樸素的本源的價值取向，慢中求悟，悟中求道.本文通過具體案例，談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中回歸數(shù)學(xué)本源.

案例1 函數(shù)的概念

初中已經(jīng)學(xué)習過函數(shù)的概念，在上這節(jié)課之前，為了了解學(xué)情，我們對學(xué)生提了一個問題：“什么是函數(shù)？”大部分學(xué)生不能準確地說出初中函數(shù)的概念，但是幾乎所有的學(xué)生都提到了自變量和應(yīng)變量兩個變量的關(guān)系.初中使用變量之間的對應(yīng)關(guān)系來描述函數(shù)的概念，這是基于19世紀提出的變量對應(yīng)說，而我們高中的函數(shù)概念是用集合的觀點來解釋這種對應(yīng)關(guān)系的.我們?yōu)槭裁匆匦露x函數(shù)概念？又為什么要選擇集合對應(yīng)說？這就是學(xué)生認知的沖突，就是我們這節(jié)課應(yīng)該回答的問題，也就是高中“函數(shù)的概念”一課的數(shù)學(xué)本源.

為此我們設(shè)計如下的思考題：利用初中函數(shù)的概念回答：y=1是函數(shù)嗎？

由于這個問題中只有一個變量y，學(xué)生利用初中函數(shù)的概念無法給出回答，從而引領(lǐng)學(xué)生，重新定義函數(shù)的概念，再利用高中的函數(shù)概念做出判斷，這里的集合A、B為實數(shù)集，每一個x都有唯一的y=1與之對應(yīng).因此y=1是函數(shù)，事實上，該函數(shù)稱為常值函數(shù)，這樣的答案顯得十分合理自然.

問題是數(shù)學(xué)的心臟.在課堂教學(xué)中，問題是學(xué)習的驅(qū)動力所在，能夠引發(fā)學(xué)生認知沖突，又能夠通過學(xué)習去解決的問題，往往可以作為一節(jié)課的主線.本節(jié)課從回憶初中函數(shù)概念開始，給出問題引發(fā)學(xué)生思考，重新建構(gòu)概念解決問題，整個過程激發(fā)了學(xué)生重新定義函數(shù)概念的興趣，最終通過回答這個問題，讓學(xué)生的學(xué)習經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程.

案例2 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

有些課堂，對三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)，過于功利化，甚至不給出證明就直接利用“奇變偶不變，符號看象限”的口訣記憶，使學(xué)生浮于表面的學(xué)習，讓學(xué)生產(chǎn)生為什么要學(xué)誘導(dǎo)公式的困惑，最終讓學(xué)生討厭數(shù)學(xué).崔永元回憶自己童年學(xué)習數(shù)學(xué)的經(jīng)歷時說到：“當數(shù)學(xué)是災(zāi)難時，它什么都是，就不是數(shù)學(xué).”

我們認為為什么要引入誘導(dǎo)公式，這是教學(xué)中必須回答的一個問題.前一章我們學(xué)習了同角的三角函數(shù)關(guān)系，那么很自然地我們就要思考：如果角不同，三角函數(shù)還會有什么關(guān)系呢？通過三角函數(shù)線等相關(guān)知識的應(yīng)用，我們會發(fā)現(xiàn)，如果角不同，但是終邊相同，則角的三角函數(shù)值也相同；如果角的終邊不相同，一般地，它們的三角函數(shù)值之間就沒有關(guān)系了.但是當角的終邊滿足一定的對稱關(guān)系時，我們就發(fā)現(xiàn)它們的三角函數(shù)值還是存在一些關(guān)系的，這些關(guān)系用一組公式來體現(xiàn)，這就是誘導(dǎo)公式.利用誘導(dǎo)公式，我們就可以計算大量的特殊角的三角函數(shù)值.如果不講清楚這個道理，學(xué)習就無法深入，學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也無法落地生根.只有弄清楚這個道理，學(xué)生才能明白誘導(dǎo)公式是解釋終邊雖然不同，但是具有對稱關(guān)系的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，記憶和理解誘導(dǎo)公式也要從終邊的對稱關(guān)系入手，在深入理解的基礎(chǔ)上，結(jié)合一些口訣加強記憶，才是真正的回歸了數(shù)學(xué)本源.

案例3 向量的加法

蘇教版向量加法的引入是利用合位移這一物理概念，在教學(xué)中，我們用這樣的方式來體現(xiàn)向量加法的數(shù)學(xué)本質(zhì).

除了合位移，可再給出合速度的例子，學(xué)生從實際出發(fā)可以理解合位移，但是回答不了為什么合速度滿足平行四邊形法則.在物理中一般是通過實驗證明，這里我們采取數(shù)學(xué)的方法.首先利用學(xué)生易于理解的合位移的三角形法則定義向量的加法，在向量加法的交換律證明中，自然地引出平行四邊形法則的證明，從而對物理中合速度的平行四邊形法則給出了嚴格的數(shù)學(xué)證明.最終讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)是一門高度抽象的科學(xué).我們首先給出定義，再通過定義利用嚴密的邏輯推理，推導(dǎo)出物理中合速度計算的平行四邊形法則.這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的作用，同時也將實際生活中的合速度利用數(shù)學(xué)中的速度的和給出更具有數(shù)學(xué)化的解釋，使學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法學(xué)習數(shù)學(xué)，學(xué)習有價值的數(shù)學(xué)，獲得必須的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展.

數(shù)學(xué)的本質(zhì)本身是一個很寬泛的問題，涉及方方面面.但綜合起來看，大家都應(yīng)該關(guān)注以下問題：數(shù)學(xué)是什么？為什么學(xué)習數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)應(yīng)該學(xué)習哪些內(nèi)容？怎樣學(xué)習數(shù)學(xué)？在課堂教學(xué)中，我們始終要圍繞這幾個問題進行.教師既要“負責任”，又要“講科學(xué)”；既要“得高分”，又要“有味道”.雖然有時這種回歸本源的教學(xué)不一定馬上見成效，但是教育本身就是細水長流、潤物細無聲的工作，相信經(jīng)過時間的沉淀，學(xué)生必將有更大的作為，取得更好的成績，回歸數(shù)學(xué)本源的課堂教學(xué)也會贏得更多的認可.