畫圖與分析能力并重*—-廣州市2019年數(shù)學(xué)中考壓軸題第24題的探索

廣東省廣州市第五中學(xué)

廣東省廣州市海珠區(qū)教育發(fā)展中心(510220)羅曉斌

著名數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題表中,提到過:第一步:你必須弄清問題.1.已知是什么? 未知是什么? 要確定未知數(shù),條件是否充分? 2.畫張圖,將已知標(biāo)上.3.引入適當(dāng)?shù)姆?4.把條件的各個部分分開.第二步:找出已知與未知的聯(lián)系……

其中在“弄清問題”中第二步提到“畫張圖”,在初中數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程中,“畫出準(zhǔn)確的圖”是一個非常重要的解題策略.畫圖能夠?qū)㈩}干中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系更加直觀地表示出來,使學(xué)生們一目了然,化繁為簡,化難為易,方便學(xué)生們快速地找到解題思路.因此在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師們要引導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)行適當(dāng)?shù)漠媹D訓(xùn)練,讓學(xué)生們能夠準(zhǔn)確地作圖,培養(yǎng)通過畫圖解決問題的能力.實(shí)際上,學(xué)生解題過程中的畫圖不僅是一種技能,更是一個操作、觀察、思考,體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程.下面以廣州市2019年數(shù)學(xué)中考壓軸題第24題為例說明.

1.原題呈現(xiàn)

24.(本小題滿分14分)如圖11,等 邊ΔABC中,AB= 6,點(diǎn)D在BC上,BD= 4.點(diǎn)E為邊AC上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),ΔCDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為ΔFDE.

圖11

(1)當(dāng)點(diǎn)F在AC上時,求證DF//AB;

(2)設(shè)ΔACD的面積為S1,ΔABF的面積為S2,記S=S1-S2,S是否存在最大值? 若存在,求出S的最大值;若不存在,請說明理由;

(3)當(dāng)B,F,E三點(diǎn)共線時,求AE的長.

2.分析與解決

第(1)問分析本問題是常規(guī)問題.先畫出正確的圖形,如圖11(1),由軸對稱知∠DFE= ∠C= 60°,而∠A= 60°,所以∠DFE=∠A,所以DF//AB;

評析這道題的證明原理很簡單—-同位角相等,兩直線平行.學(xué)生的難點(diǎn)之處是要畫出正確的圖形(即圖11(1)),而這個圖與原圖還是有一定的差異.只有平時教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生畫出正確的圖形的能力,才能順利的解決這個問題.

圖11(1)

圖11(2)

第(2)問分析如圖11(2),因?yàn)棣CD的面積為S1為固定值,要求S=S1- S2的最大值,即求S2的最小值,即求點(diǎn)F到直線AB的最小值.作FK⊥AB于點(diǎn)K,DH⊥AB于點(diǎn)H,易求得DH= 4 sin 60°=由軸對稱知DF=DC= 2,所以點(diǎn)F在以點(diǎn)D為圓心,半徑為2的圓上,當(dāng)點(diǎn)D,F,K三點(diǎn)共線時(即與DH重合時),FK最小,最小值為FK=DH-2=所以S=S1-S2最大值為:

評析本題目完全可以直接設(shè)問:求S2的最小值.但是原題這樣設(shè)問的原因,可能主要是為了增加學(xué)生的閱讀、分析、理解的難度和轉(zhuǎn)化的難度.這道題的難點(diǎn)在于隱形圓的發(fā)現(xiàn)與運(yùn)用.如果學(xué)生不能經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)F在以點(diǎn)D為圓心,半徑為2的圓上”,那么這道題就無法求出“點(diǎn)F到直線AB的最小值”!這說明了,畫出動點(diǎn)的軌跡(即動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡是什么? 或者說動點(diǎn)在什么樣的曲線上運(yùn)動)對于解決這類動點(diǎn)問題非常重要.

第(3)問分析第三問對于學(xué)生而言困難的地方至少有兩個,第一個是要重新畫一個新圖形,第二問的含隱形圓的圖形對于第(3)問沒有幫助,必須重新畫出準(zhǔn)確的圖形,否則會干擾第(3)問的求解;第二個是如何描述三點(diǎn)共線? 對高中學(xué)生而言解決三點(diǎn)共線的知識工具多,例如可利用斜率、向量等等.對于初中學(xué)生而言,此題的三點(diǎn)共線的本質(zhì)是∠BFD= 180° -∠DFE= 120°.雖然此題的位置導(dǎo)致學(xué)生有畏難心理,但其實(shí)是很“漂亮”的問題,思想豐富,方法眾多,可利用的知識有相似,勾股定理,角平分定理,等面積法,正弦定理等等.下面主要介紹5 種不同方法.

方法一(作垂線構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理建立方程)如圖11(3)法1,由對稱知∠CED= ∠BFD,∠CDE=∠DFE= 60°,當(dāng)點(diǎn)B,E,F三點(diǎn) 共 線 時,∠BFD=108° -∠DFE= 120°,作

圖11(3)法1

在RtΔBGD中,由勾股定理得所以在RtΔBHE中,由勾股定理得BH2+HE2=BE2,即從而

評析方法1 用了三次“解直角三角形”,即在求線段長的時候,如果題目條件中有現(xiàn)成的直角三角形,或者可以通過作垂線得到直角三角形,那么利用勾股定理建立方程就是求線段長的有力工具.對于學(xué)生而言難點(diǎn)是“在哪里畫垂線,構(gòu)造什么樣的直角三角形”.

除了方法1的構(gòu)造直角三角形RtΔBHE的方法外,還可以作EM⊥BC,利用Rt∠BEM代替上述的RtΔBHE,其它步驟類似,同樣運(yùn)用勾股定理,也能得到解決.

方法二(作垂線構(gòu)造直角三角形,利用等面積法建立方程)如圖11(3)法2,作DG⊥BE于點(diǎn)G,EM⊥BC于點(diǎn)M,設(shè)EC=x,則FE=EC=x,在RtΔFGD中,FD=DC=2,∠DFG=60°,所以FG=1,在RtΔEMC中,EC=x,∠EMC=60°,所以

圖11(3)法2

同方法一求得BF=由SΔBEC=SΔBED+ΔDEC,即EM,化簡得BC ·EM-DC·EM=BE·DG,即EM ·(BC-DC)=BE·DG,即EM ·BD=BE·DG,這樣得到解得從而

方法三(作垂線構(gòu)造直角三角形,利用相似三角形建立方程)如11(3)法2的圖,作DG⊥BE于點(diǎn)G,EM⊥BC于點(diǎn)M,設(shè)EC=x,則FE=EC=x,同方法2,先計(jì)算出由ΔBGD∽ΔBME(子母型相似),得到即EM ·BD=BE·DG,下面方法同法2.

方法四(利用正弦定理建立方程) 如圖11(3) 法4,當(dāng)點(diǎn)B,E,F三點(diǎn)共線時,∠BFD= 180° -∠DFE=120°, 同 方 法 1 計(jì) 算 出設(shè)EC=x,則FE=EC=x, 則在ΔBFD中, 由正弦定理得即在ΔBEC中,由正弦定理得即因?yàn)閟in 120°= sin 60°,上述兩式相除,得到方程解得從而

圖11(3)法4

評析方法一至方法四,都必須要先求出BF的長,而作高DG,計(jì)算BF的長這一過程對于學(xué)生而言也是難點(diǎn),要花費(fèi)一定的時間.能不能不求BF的長呢?可以!利用角平分定理,即方法五,可能是此題比較簡單自然的方法.

方法五(利用角平分線定理和勾股定理建立方程)如圖11(3)方法5,由對稱知∠CED= ∠BFD,當(dāng)點(diǎn)B,E,F三點(diǎn)共線時,ED是∠BEC的平分線,由角平分線定理得DG⊥ BE于點(diǎn)G,BH⊥ AC于點(diǎn)H,設(shè)EC=x,則FE=EC=x,在RtΔFGD中,FD=DC= 2,∠DFG=60°,所以

設(shè)EC=x,則BE=2x,作EG⊥ BC于點(diǎn)G,則在RtΔEGC中,由∠C=60°,所以在 RtΔBGE中,由勾股定理,BG2+GE2=BE2,即解得從而

圖11(3)法5

評析方法5 這個角平分線定理用得太妙!避免了去求BF的長,附帶輕松的證明了此題中當(dāng)點(diǎn)F是BE中點(diǎn)時,點(diǎn)B,E,F三點(diǎn)共線.而且可以推廣:若題目翻折的條件不變,當(dāng)點(diǎn)B,E,F三點(diǎn)共線時,若則

3.解題反思與收獲

通過分析本題,發(fā)現(xiàn)廣州市2019年數(shù)學(xué)中考壓軸題第24題對學(xué)生的畫圖能力和分析能力提出了較高的要求.《2018年廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試年報(bào)》也曾指出:要加強(qiáng)學(xué)生識圖、畫圖的能力的訓(xùn)練,不僅僅是根據(jù)圖形能識圖解圖,還要根據(jù)題意畫出圖像.建議平時的教學(xué)中多設(shè)計(jì)讓學(xué)生自己畫圖的題目,讓學(xué)生有更多的時間和機(jī)會親自動手畫圖,體會幾何圖形中所隱含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,增強(qiáng)對圖形的觀察能力.

畫圖雖然不能像一把萬能鑰匙一樣解決所有的數(shù)學(xué)問題,但是可以以一種形象的思維方式將抽象的已知條件過渡成為直觀的解題信息,要讓畫圖成為學(xué)生們喜愛運(yùn)用的一種解決問題的有效工具.畫圖可以有效地培養(yǎng)學(xué)生們分析問題的能力,思考問題的能力以及邏輯推理的能力,而這些這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).因此,教師們要以培養(yǎng)初中生們的畫圖習(xí)慣作為一個重要的教學(xué)目標(biāo),讓學(xué)生們在畫圖中有所思,在畫圖中有多得,使學(xué)生們的數(shù)學(xué)能力得到全面提升,從而提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)成績.當(dāng)然,在教學(xué)過程中教師們要始終把握循序漸進(jìn)的原則,按照學(xué)生們的思維能力和作圖能力進(jìn)行教學(xué),為不同階段的學(xué)生定制不同的教學(xué)目標(biāo).在初中階段,對于初一年級的學(xué)生,教師們指定的目標(biāo)可以適當(dāng)?shù)胤诺?以加快學(xué)生們適立初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),可以讓學(xué)生們讀懂線段圖,并以線段圖為條件列出計(jì)算表達(dá)式;而對于初二年級的學(xué)生就要求必須要根據(jù)題目作圖,分析題目給出的數(shù)量關(guān)系,通過作圖解決實(shí)際應(yīng)用問題;對于初三年級的學(xué)生就要求必須要熟練地運(yùn)用作圖輔助解題,備戰(zhàn)中考.實(shí)際上,畫圖解題能力的培養(yǎng)不能僅僅在圖上下功夫,更基礎(chǔ)的,應(yīng)該是在學(xué)生數(shù)學(xué)核心概念、原理的學(xué)習(xí)及問題解決的學(xué)習(xí)過程中下足功夫,進(jìn)而全面地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).