方差教學(xué)中的“一般”和“非一般”

廣東省佛山市順德區(qū)順德德勝學(xué)校

我們?cè)诜讲罱虒W(xué)時(shí)常常會(huì)遇到這樣的問題:

例子市農(nóng)科所收集統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩種甜玉米各10塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量后,得到其方差分別是0.002、0.001,則()

A.甲種好,因?yàn)榧妆纫业漠€產(chǎn)量穩(wěn)定

B.乙種好,因?yàn)橐冶燃椎漠€產(chǎn)量穩(wěn)定

C.甲乙均可,因?yàn)榧?、乙的畝產(chǎn)量穩(wěn)定性相同

D.無法確定哪一品種的畝產(chǎn)量穩(wěn)定

很多學(xué)生認(rèn)為答案是B,因?yàn)檎n本P150已有小結(jié)“一般而言,一組數(shù)據(jù)的方差越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定”.問題是—-到底什么情況是“一般”,什么情況又是“非一般”呢?

1 什么是數(shù)據(jù)的離散程度?

一組數(shù)據(jù)的“離散程度”與“集中趨勢(shì)”是一組相對(duì)的概念,“集中趨勢(shì)”刻畫的是一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)的共性,“離散程度”則用來描述這組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)的差異性.離散程度越小,平均數(shù)的代表性越大;離散程度越大,平均數(shù)的代表性越小.在北師大版八年級(jí)上的數(shù)學(xué)課本中,就是從平均數(shù)對(duì)兩組數(shù)據(jù)的差異的描述力不足為切入點(diǎn),激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)于集中趨勢(shì)偏離程度的思考.

2 什么是方差?

方差是用每一個(gè)數(shù)據(jù)的離均情況來刻畫整組數(shù)據(jù)的離散程度.為了防止正負(fù)偏差相互抵消,將離均情況進(jìn)行平方之后求和,為了消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)對(duì)離均平方和的影響,將差的平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)得到方差.和極差相比較它的優(yōu)點(diǎn)是每一個(gè)數(shù)據(jù)都參與其中,故具有較好的代表性.

在理解方差的過程中學(xué)生仍然會(huì)發(fā)現(xiàn)一些明顯的問題,第一,消除正負(fù)偏差的影響,為什么不用絕對(duì)值? 因?yàn)槿绻麑⒔^對(duì)值作為運(yùn)算符號(hào)來看待,其運(yùn)算的麻煩程度遠(yuǎn)高于平方運(yùn)算,去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)候的分類討論也的確是學(xué)生的一個(gè)軟肋.事實(shí)上,平均差也是常見統(tǒng)計(jì)量,但因?yàn)楣P算難度較大不適合對(duì)初中生介紹,絕對(duì)值函數(shù)的特殊性也使得平均差在更為復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)研究中算不上一個(gè)性質(zhì)優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)量.第二,離均差進(jìn)行了平方,會(huì)不會(huì)將差異擴(kuò)大(差值大于1)或者縮小(差值小于1)? 也就是說,方差在離均差大于1的數(shù)據(jù)那兒,是用放大鏡在看差異,而在離均差小于1的數(shù)據(jù)那兒,則是用了縮小鏡.這些問題說明了兩點(diǎn):第一,方差是一個(gè)刻畫數(shù)據(jù)離散程度的較為方便的方法,但并不是最好的方法;第二,方差的使用并不是無條件的,只有在一定的條件下其對(duì)于離散程度的解釋才是有意義的.

3 教學(xué)時(shí)需要注意的“一般”和“非一般”.

在分析了“離散程度”與“方差”兩個(gè)基本概念之后,我們來看看到底什么是方差的“一般”和“非一般”呢?

第一,初中數(shù)學(xué)中的方差命題通常是在決策問題當(dāng)中,例如課本P151 知識(shí)技能T1:給出甲乙兩個(gè)廠的20個(gè)螺絲的直徑數(shù)據(jù),通過計(jì)算決策購(gòu)買哪個(gè)廠的螺絲.一般而言,方差小的更穩(wěn)定,穩(wěn)定意味著被選擇.但在這類實(shí)際問題當(dāng)中,就有可能出現(xiàn)另外一種“非一般”的情況——穩(wěn)定的那一組數(shù)據(jù)是穩(wěn)定在一個(gè)相對(duì)較低甚至是一個(gè)“不合格”的平均數(shù)附近,此時(shí)方差的差異就不能成為決策的依據(jù).

第二,初中數(shù)學(xué)中在研究方差時(shí)所提供的數(shù)據(jù)一般都是平均數(shù)接近的數(shù)據(jù),在這種情況下,方差刻畫離散程度的優(yōu)勢(shì)顯而易見.那么“非一般”的情況是,如果兩組數(shù)據(jù)的平均值相差很大,方差是否還能用來刻畫他們的波動(dòng)情況呢? 比如數(shù)據(jù)一:1、3、5,易計(jì)算得數(shù)據(jù)二:96、98、100,易計(jì)算得如果將數(shù)據(jù)看做一組學(xué)生的成績(jī),那么數(shù)據(jù)一可以看做一個(gè)5分制的成績(jī)單,很明顯三個(gè)成績(jī)波動(dòng)非常大; 數(shù)據(jù)二可以看做一個(gè)百分制的成績(jī)單,三個(gè)成績(jī)波動(dòng)較小.可見,即使是單獨(dú)比較波動(dòng)情況而不需要做出決策,方差所表示的意義也受到平均數(shù)的約束.為了消除平均數(shù)的影響,真正在不同數(shù)據(jù)間比較數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況,更好的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)這是一個(gè)衡量相對(duì)波動(dòng)大小的無量綱的統(tǒng)計(jì)量,它不但可以屏蔽平均數(shù)的影響,還可以屏蔽數(shù)據(jù)單位,使不同性質(zhì)之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)之間可以進(jìn)行離散程度比較,但因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算比較麻煩,故教材沒有在此處對(duì)學(xué)生介紹.

4 對(duì)教學(xué)的啟發(fā).

由上文可知,文初的那道問題答案應(yīng)該是D.同時(shí),在方差教學(xué)中,我們應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面的問題:

(1)應(yīng)該讓學(xué)生首先自己思考表示離散程度的統(tǒng)計(jì)量可能是什么樣? 在對(duì)思考的結(jié)果進(jìn)行比對(duì)和整合,讓學(xué)生更好的理解方差公式,以及方差這個(gè)統(tǒng)計(jì)量使用的條件;

(2)在試題的選擇和命題上,要注意嚴(yán)謹(jǐn),不要在細(xì)節(jié)上誤導(dǎo)學(xué)生;

(3)對(duì)于程度較好的學(xué)生以及對(duì)統(tǒng)計(jì)有興趣的學(xué)生,可以做平均差和標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的拓展,為以后階段的統(tǒng)計(jì)量學(xué)習(xí)做好鋪墊.