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    古典概率計(jì)算中常見的錯(cuò)誤分析

    2020-03-13 15:08肖紅梅
    關(guān)鍵詞:樣本空間

    肖紅梅

    【摘要】古典概率是概率學(xué)的重要組成部分,對(duì)古典概率的學(xué)習(xí)主要是關(guān)于它的計(jì)算問題,古典概型的計(jì)算問題在中學(xué)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn).本文主要針對(duì)學(xué)生在古典概率計(jì)算中的易錯(cuò)點(diǎn),進(jìn)行錯(cuò)誤分析,找到學(xué)生出問題的地方,希望對(duì)學(xué)生在古典概率的學(xué)習(xí)上能夠有所幫助.

    【關(guān)鍵詞】古典概率;樣本空間;等可能;隨機(jī)事件

    高中教科書中關(guān)于概率計(jì)算的問題包括兩個(gè)部分,分別是古典概率與幾何概率.本文主要通過列舉實(shí)際的古典概率的計(jì)算問題,來對(duì)古典概率計(jì)算中常見的幾個(gè)錯(cuò)誤進(jìn)行具體分析.

    一、古典概率的定義與公式

    對(duì)古典概率,首先是在假設(shè)隨機(jī)現(xiàn)象所能發(fā)生的事件是有限的、互不相容的,并且是在每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等的前提下進(jìn)行的.事實(shí)上,古典概率的假想世界是不存在的.一般地,設(shè)在所有可能出現(xiàn)的基本事件范圍內(nèi)構(gòu)成事件A的基本事件有N(A)個(gè),總的基本事件個(gè)數(shù)是M,則出現(xiàn)事件A的概率是P(A)=N(A)M,這就是古典概率的計(jì)算公式,接下來我們通過幾道經(jīng)典的習(xí)題來分析一下學(xué)生常常出錯(cuò)的地方.

    二、樣本空間的選擇錯(cuò)誤

    (一)基本事件數(shù)與基本事件總數(shù)不屬于同一樣本空間

    在古典概率的計(jì)算公式P(A)=N(A)M中,N(A),M分別是一個(gè)樣本空間中的事件A所含的基本事件數(shù)與基本事件總數(shù),公式要求構(gòu)成A的基本事件個(gè)數(shù)N(A)與基本事件總數(shù)M要屬于同一個(gè)樣本空間,如果N(A),M在兩個(gè)不同的樣本空間,那么就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤,為了便于我們的理解,來看下面兩道例題.

    例1?某商店有24只燈泡,其中有4只是劣品,其余燈泡均可以正常發(fā)光,商店老板在這些燈泡中每次任取1只,取完后不放回,連續(xù)取3次,問取出的燈泡中恰好有一個(gè)是劣品的概率P(A).

    錯(cuò)解分析?情況一:因?yàn)闊襞菔且粋€(gè)一個(gè)取出來的,所以所有可能的取法與3次取得的順序是有關(guān)聯(lián)的,所以總的樣本空間為Ω1=P324,由此就得到了錯(cuò)誤答案:P(A)=C14C220P324.

    情況二:因?yàn)榍蟮氖侨〕鰜淼?只燈泡中只有1只是劣品的概率,而不關(guān)心是哪一次取出來的,所以就沒有順序問題,總的樣本空間為Ω2=C324,由此得到錯(cuò)誤答案P(A)=P13(C14C220)C324.

    此題的樣本空間有兩種取法,分別是有序與無序.產(chǎn)生這兩種錯(cuò)誤情況的原因是分子與分母分別在兩個(gè)不同的樣本空間中,也就是分子與分母的計(jì)算方法不同,導(dǎo)致出錯(cuò).

    正確解答?此題的正確答案為P(A)=P13(C14C220)P324(有序)或P(A)=C14C220C324(無序).

    (二)樣本空間中的樣本點(diǎn)不是等可能的

    古典概率的定義規(guī)定了古典概率要在假設(shè)事件發(fā)生的結(jié)果是有限的、等可能的前提下進(jìn)行的,如果忽略這一點(diǎn)就會(huì)得到錯(cuò)誤答案.所以學(xué)生在做題時(shí)一定要注意,所選擇的樣本空間的樣本點(diǎn)一定是等可能的.

    例2?某人一次擲兩個(gè)骰子,求此人擲出的骰子數(shù)之和是偶數(shù)的概率P(A).

    錯(cuò)解分析?學(xué)生可能認(rèn)為一次試驗(yàn)后所有可能的結(jié)果有三種,分別是骰子數(shù)全部是奇數(shù)、全部是偶數(shù)和一奇一偶,由此得到錯(cuò)解P(A)=23.事實(shí)上,骰子數(shù)全為奇數(shù)、全為偶數(shù)和一奇一偶三種基本事件發(fā)生不是等可能的,全為奇數(shù)和全為偶數(shù)的概率都是14,而出現(xiàn)一奇一偶的概率是12,不符合古典概率的假設(shè)條件,所以就不能再運(yùn)用古典概率的公式來解答,因此,導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.

    正確解答?記(a,b)為一次擲兩個(gè)骰子的結(jié)果,其中a代表第一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),b代表第二個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),a或b可取的值為1,2,…,6,所以基本事件空間為6×6=36,事件A所包含的基本事件數(shù)為3×3+3×3=18,由此所求概率P(A)=1836=12.

    三、常用的術(shù)語理解錯(cuò)誤

    學(xué)生在學(xué)習(xí)古典概率問題時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到“至多”“至少”“不少于”“不超過”“都”“不都”“都不”“才是”等術(shù)語,這些詞都是解決問題的關(guān)鍵,只有正確地把握住這些詞的語境,才能將題目做正確.

    例3?口袋中一共有10個(gè)球,其中白球8個(gè),黑球2個(gè),從中依次不放回地取出3個(gè)球,求第三個(gè)球是黑球的概率P(A).

    錯(cuò)解分析?通過審題可以知道要從口袋中依次不放回地取出3個(gè)球,所以與取球的先后順序有關(guān)聯(lián),因此,總的事件空間為M=P310,但如果不能很好地理解此題中的關(guān)鍵詞,就很容易理解成就第三個(gè)球是黑球,導(dǎo)致出錯(cuò),得到錯(cuò)誤答案P(A)=C12P28P310.

    正確答案?第三個(gè)球是黑球的取法有C12種,而第一、二個(gè)球要從剩下的9個(gè)球中去取,所以可能的取法有P29種,因此,得到正確答案P(A)=C12P29P310.

    四、概念混淆錯(cuò)誤

    學(xué)生在剛接觸概率時(shí),常常會(huì)把“頻率”當(dāng)作“概率”來進(jìn)行計(jì)算,導(dǎo)致出錯(cuò).頻率是在多次試驗(yàn)中某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總數(shù)的比值,概率是某一事件所固有的性質(zhì).頻率是變化的,概率是穩(wěn)定值,不變的.

    例4?拋三次硬幣,求只出現(xiàn)兩次正面的概率P(A).

    錯(cuò)解分析?審?fù)觐}之后很多人可能認(rèn)為進(jìn)行三次試驗(yàn),有兩次試驗(yàn)是正面,所以就會(huì)得到錯(cuò)誤答案P(A)=23,這是因?yàn)樽鲱}者誤將頻率當(dāng)成了概率.

    正確答案?拋三次硬幣,總的基本事件空間Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8個(gè)基本事件,事件A={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},共3個(gè)基本事件,所以由古典概率計(jì)算公式可知P(A)=38.

    五、小?結(jié)

    通過以上的錯(cuò)誤分析,可以知道,我們?cè)谔幚砉诺涓怕实挠?jì)算問題時(shí),可以從以上幾個(gè)方面進(jìn)行著手,做題并檢驗(yàn).值得注意的是本文提到的這幾個(gè)錯(cuò)誤,僅僅是學(xué)生在古典概率計(jì)算中常見的出錯(cuò)點(diǎn),并不代表全部,所以在遇到具體問題時(shí),我們要進(jìn)行具體分析.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]賈明斌,顏景佐.古典概率計(jì)算問題中的常見錯(cuò)誤分析[J].山東電大學(xué)報(bào),2005(1):59-60.

    [2]趙曹榮.概率計(jì)算中的常見錯(cuò)誤及錯(cuò)因分析[J].中國數(shù)學(xué)月刊,2008(9):46-47.

    [3]劉金.古典概型計(jì)算中的常見錯(cuò)誤及分析[J].數(shù)學(xué)通訊,2008(14):34-35.

    [4]易同茂.古典概率計(jì)算中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤及分析[J].長(zhǎng)江工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),1998(3):34-35.

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