假設(shè)檢驗(yàn)中單邊檢驗(yàn)和雙邊檢驗(yàn)的區(qū)別解析

徐紅霞 范國良

【摘要】本文首先介紹三種最基本的假設(shè)檢驗(yàn)，進(jìn)而引出了容易引起學(xué)生混淆的假設(shè)檢驗(yàn)，通過從不同角度進(jìn)行分析，得出這種假設(shè)檢驗(yàn)的判斷方法并將這種檢驗(yàn)問題進(jìn)行歸類，最后通過例題進(jìn)行演示說明.

【關(guān)鍵詞】假設(shè)檢驗(yàn);拒絕域;顯著性水平;正態(tài)分布

【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)基金（11401006）.

假設(shè)檢驗(yàn)是推斷統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容之一，它是在一定的假設(shè)條件下，由樣本推斷總體的一種統(tǒng)計(jì)推斷方法.它可用來判斷樣本與樣本、樣本與總體的差異是由抽樣誤差引起的還是本質(zhì)差別造成的.在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)遇到總體的分布函數(shù)完全未知或只知總體分布函數(shù)的形式但不知其參數(shù)的情形，為了得到總體的某些性質(zhì)，人們會(huì)對(duì)總體的分布形式提出某些假設(shè)，然后利用樣本信息，對(duì)所提假設(shè)做出接受或拒絕的結(jié)論性判斷.假設(shè)檢驗(yàn)的步驟依次是：（1）根據(jù)問題的需要對(duì)所要研究的總體做出某種假設(shè)，稱之為原假設(shè)，記作H0;（2）選取恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，要使得在原假設(shè)H0成立的條件下，該統(tǒng)計(jì)量的分布為已知的;（3）給定顯著性水平α，確定拒絕域;（4）由樣本計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值;（5）根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值是否落入拒絕域，做出拒絕或接受原假設(shè)H0的統(tǒng)計(jì)決策.需要說明的是，用樣本信息估計(jì)總體信息，其結(jié)論并非完全可靠，還需要進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn).

眾所周知，正態(tài)分布是一種常用的分布，且應(yīng)用普遍，關(guān)于它的兩個(gè)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題是實(shí)際中經(jīng)常遇到的問題，以下我們以單個(gè)正態(tài)總體N（μ，σ2）的參數(shù)檢驗(yàn)為例.我們知道，關(guān)于均值μ可以提出如下幾種常見的假設(shè)檢驗(yàn)問題[1]：

Ⅰ雙邊假設(shè)檢驗(yàn)?H0：μ=μ0?vs?H1：μ≠μ0;

Ⅱ右邊假設(shè)檢驗(yàn)?H0：μ≤μ0?vs?H1：μ>μ0;

Ⅲ左邊假設(shè)檢驗(yàn)?H0：μ≥μ0?vs?H1：μ<μ0.

其中μ0表示某個(gè)已知數(shù).

Ⅰ之所以稱為雙邊假設(shè)檢驗(yàn)，是因?yàn)閭鋼窦僭O(shè)H1分布在原假設(shè)H0的兩側(cè)，Ⅱ是備擇假設(shè)H1分布在原假設(shè)H0的右側(cè)，故Ⅱ稱作右邊假設(shè)檢驗(yàn);Ⅲ是備擇假設(shè)H1分布在原假設(shè)H0的左側(cè)，稱作左邊假設(shè)檢驗(yàn).在檢驗(yàn)過程中，由于某些技術(shù)上的原因，H0與H1的地位是不平等的.客觀上，H0受到保護(hù)，故在處理具體問題時(shí)，通常把需要著重考查的、比較穩(wěn)定的、保守的假設(shè)作為原假設(shè).

我們?cè)趯?shí)際問題中會(huì)碰到如下關(guān)于均值μ的檢驗(yàn)：

Ⅳ?H0：μ=μ0?vs?H1：μ>μ0.

此時(shí)，有兩個(gè)問題值得思考：（1）這種檢驗(yàn)是右邊檢驗(yàn)嗎？（2）如果看成雙邊檢驗(yàn)，結(jié)論會(huì)變化嗎？下面我們從三個(gè)角度來分析（1）.假定σ2已知，且在原假設(shè)H0為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.首先，按前面給出的雙邊和單邊檢驗(yàn)的定義，由于Ⅳ的備擇假設(shè)分布在原假設(shè)的右邊，故Ⅳ應(yīng)是右邊檢驗(yàn).其次，從直觀上來說，對(duì)檢驗(yàn)Ⅳ，如果依據(jù)拒絕域W={u≥u1-α}做出拒絕原假設(shè)H0：μ=μ0的決定，則更應(yīng)該拒絕H0：μ≤μ0.事實(shí)上，顯著性水平α的確定就是在μ≤μ0的范圍內(nèi)最不容易拒絕的μ0點(diǎn)處計(jì)算得到的.故檢驗(yàn)：

Ⅳ?H0：μ=μ0?vs?H1：μ>μ0

與檢驗(yàn)：

Ⅱ?H0：μ≤μ0?vs?H1：μ>μ0

是等價(jià)的，即給定顯著性水平α，在犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過α的意義下，兩者的拒絕域相同，Ⅳ應(yīng)是右邊檢驗(yàn).最后，檢驗(yàn)問題Ⅳ與Ⅱ的備擇假設(shè)相同，且Ⅳ的原假設(shè)是Ⅱ的原假設(shè)的子集，由于此時(shí)u檢驗(yàn)的勢函數(shù)是μ的單調(diào)增函數(shù)，檢驗(yàn)問題Ⅳ的顯著性水平為α的檢驗(yàn)與檢驗(yàn)問題Ⅱ的顯著性水平為α的檢驗(yàn)是相同的，故拒絕域也相同，Ⅳ應(yīng)歸結(jié)為右邊檢驗(yàn)Ⅱ.對(duì)于（2），如果將Ⅳ看成雙邊假設(shè)檢驗(yàn)的話，則相當(dāng)于擴(kuò)大了拒絕域的范圍.

下面來看一個(gè)具體的例題，我們分別用右邊檢驗(yàn)和雙邊檢驗(yàn)來解決，看看結(jié)論會(huì)是怎樣一個(gè)結(jié)果.

例[2]?從一批鋼管抽取10根，測得其內(nèi)徑（單位：mm）分別為：

100.36?100.31?99.99?100.11?100.64

100.85?99.42?99.91?99.35?100.10

設(shè)這批鋼管內(nèi)徑服從正態(tài)分布N（μ，σ2），σ=0.5，試檢驗(yàn)假設(shè)（α=0.05）：

H0：μ=100?vs?H1：μ>100.

解?（法一）由于備擇假設(shè)H1在原假設(shè)H0的右邊，故該假設(shè)檢驗(yàn)是右邊假設(shè)檢驗(yàn).由于σ=0.5，采用u檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)閧u≥u1-α}，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為u=x-μ0σn，α=0.05，查表知u0.95=1645，由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得x=100104，u=10（100.104-100）0.5≈0.6578，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量未落入拒絕域，故接受原假設(shè).

（法二）如果看成雙邊假設(shè)檢驗(yàn)，即備擇假設(shè)H1是假設(shè)μ≠100的子集，其拒絕域?yàn)閧|u|≥u1-α2}，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為u=x-μ0σn，α=0.05，查表知u0.975=1.96，經(jīng)過計(jì)算得u=10（100.104-100）0.5≈0.6578，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量未落入拒絕域，故接受原假設(shè).

從該例題可以看出，即使將右邊假設(shè)檢驗(yàn)看成雙邊假設(shè)檢驗(yàn)，其結(jié)論也是一樣的.故碰到Ⅳ這種類型的假設(shè)檢驗(yàn)，可歸入假設(shè)檢驗(yàn)Ⅱ.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳振龍，陳宜治，龔小慶.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].杭州：浙江工商大學(xué)出版社，2016.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.