分段函數(shù)求導(dǎo)的若干問題

張禮林

【摘要】求分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)或分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，大多數(shù)學(xué)生在解這類問題時會遇到困難或理解不透.本文從導(dǎo)數(shù)極限定理及其證明出發(fā)，給出導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的判定定理，結(jié)合實(shí)例闡明分段函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵要點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】分段函數(shù);單側(cè)導(dǎo)數(shù);導(dǎo)數(shù)極限定理

【基金項目】紹興市課堂教學(xué)改革項目（SXSKG2017091）.

在分段函數(shù)求導(dǎo)問題中，大多數(shù)學(xué)生能夠理解為什么在分段點(diǎn)處要用導(dǎo)數(shù)定義，但因為有時遇到的分段函數(shù)直接求導(dǎo)跟用導(dǎo)數(shù)定義所得結(jié)果并無差別，這就導(dǎo)致很多學(xué)生不明白個中原因.

例如，求分段函數(shù)

F（x）=f（x），a

的導(dǎo)數(shù)，在f（x），g（x）可導(dǎo)下，直接求導(dǎo)得

F′（x）=f′（x），a

這種結(jié)果在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時對時錯.常規(guī)的做法是在函數(shù)連續(xù)的情況下用導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行判斷，不過在一定條件下也可用導(dǎo)數(shù)極限方法，這在一些文獻(xiàn)中也有提及[1-4].但對高職或高中學(xué)生而言，定理表述上還應(yīng)精煉，證明要簡潔易懂，而且例題要更有代表性，所以還有必要對這一問題進(jìn)行探討，并且文中還給出另一重要推論，這些結(jié)論對理解分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)意義明顯.

一、導(dǎo)數(shù)極限定理及其推論

分段函數(shù)在除分段點(diǎn)外均可導(dǎo)的情況下，求其導(dǎo)數(shù)顯然只要討論分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性，通常用導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行判斷，這涉及分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性和左右導(dǎo)數(shù).下面從導(dǎo)數(shù)極限定理出發(fā)，介紹一些常用的結(jié)論，便于理解什么情況下不必用導(dǎo)數(shù)定義，什么情況下要用導(dǎo)數(shù)定義.

引理?如果函數(shù)f（x）在（a，x0]（或[x0，b））上連續(xù)，在（a，x0）（或（x0，b））內(nèi)可導(dǎo)，且 limx→x-0f′（x）=A（或 limx→x+0f′（x）=B），則f（x）在點(diǎn)x0處左導(dǎo)數(shù)（右導(dǎo)數(shù)）存在，且f′-（x0）=A（或f′+（x0）=B）.

下面證明f（x）在點(diǎn)x=x0處左側(cè)導(dǎo)數(shù)的情形.

證明?由于函數(shù)f（x）在（a，x0]上連續(xù)，在（a，x0）內(nèi)可導(dǎo)，顯然函數(shù)f（x）在[x，x0]（a，x0]上連續(xù)，在（x，x0）（a，x0）內(nèi)可導(dǎo)，運(yùn)用拉格朗日中值定理可得

f′-（x0）=limx→x-0f（x）-f（x0）x-x0=limx→x-0f′（ξ）（x-x0）x-x0

=limx→x-0f′（ξ）=limξ→x-0f′（ξ）=A，

這里，由于ξ∈（x，x0），所以有x→x-0ξ→x-0，即證得f（x）在點(diǎn)x0處左導(dǎo)數(shù)存在，且f′-（x0）=limx→x-0f′（x）=A.

類似地，可以證明f（x）在點(diǎn)x=x0處右側(cè)導(dǎo)數(shù)的情形.

定理?設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的δ鄰域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)x0的δ去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若f′（x0-0）和f′（x0+0）均存在，則f′（x0）存在的充要條件是f′（x0-0）=f′（x0+0），且

f′（x0）=f′（x0-0）=f′（x0+0）.

證明?由函數(shù)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)存在的充要條件是f′-（x0）與f′+（x0）存在，且f′-（x0）=f′+（x0），根據(jù)引理有f′-（x0）=f′（x0-0），f′+（x0）=f′（x0+0），故在定理的條件下f′（x0）存在的充要條件是f′（x0-0）和f′（x0+0）相等.

推論?設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的δ鄰域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)x0的δ去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若f′（x0-0）和f′（x0+0）均存在且相等，則f（x）的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù).

證明?因為f′（x0-0）=f′（x0+0），

所以 limx→x0f′（x）存在，

且limx→x0f′（x）=f′（x0-0）=f′（x0+0）.

由定理可知f′（x0）存在且

f′（x0）=f′（x0-0）=f′（x0+0），

即 limx→x0f′（x）=f′（x0）.

根據(jù)推論，可以斷定不存在滿足推論條件的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)具有第一類間斷點(diǎn).

二、典型例題

例1?求函數(shù)f（x）=x2+ex，x≤0，x+cosx，x>0 的導(dǎo)函數(shù).

分析?因f（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，且當(dāng)x≠0時，

f′（x）=2x+ex，x<0，1-sinx，x>0.

又 limx→0-f′（x）=limx→0-（2x+ex）=1，

limx→0+f′（x）=limx→0+（1-sinx）=1，

即f′（0-0）=f′（0+0）=1.

根據(jù)定理，f（x）在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，

且f′（0）=f′（0-0）=f′（0+0）=1，

解得f′（x）=2x+ex，x≤0，1-sinx，x>0.

例2?已知函數(shù)f（x）=ex，x≤0，ax2+bx+c，x>0 在點(diǎn)x=0處的f″（0）存在，試確定a，b，c的值.

分析?因為已知函數(shù)在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)存在，所以f（x）和f′（x）在x=0處都要連續(xù)，

因此，f（0-0）=f（0+0）=1，f′（0-0）=f′（0+0）=1，

得c=1，b=1.

又當(dāng)x≠0時，f″（x）=ex，x<0，2a，x>0，

由此得f″（0-0）=1，f″（0+0）=2a.

根據(jù)定理，f″（0）存在的充要條件是f″（0-0）=f″（0+0）=2a=1，

即a=12，

綜上，a=12，b=1，c=1.

例3?求函數(shù)f（x）=ln（1-x2），x≤0，x2sin1x，x>0 在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù).

分析?當(dāng)x≠0時，由已知函數(shù)得

f′（x）=-2x1-x2，x<0，2xsin1x-cos1x，x>0，

所以 limx→0-f′（x）=0，limx→0+f′（x）不存在，

但是f′-（0）=limx→0-ln（1-x2）x=0，

f′+（0）=limx→0+x2sin1xx=0，

所以f′（0）=0.

例4?討論函數(shù)f（x）=arctan1x，x≠0，0，x=0 在x=0處的可導(dǎo)性[4].

分析?當(dāng)x≠0時，f′（x）=-11+x2，

所以 limx→0f′（x）=-1，

但是 limx→0f（x）=limx→0arctan1x不存在，即f（x）在x=0處不連續(xù)，顯然f（x）在x=0處不可導(dǎo).

例1和例2說明，如果函數(shù)滿足定理的條件，求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可不必用導(dǎo)數(shù)定義，尤其如例2，其解題方法比用導(dǎo)數(shù)定義要簡練;而例3和例4說明，定理的運(yùn)用應(yīng)注意其適用的條件，即函數(shù)在分段點(diǎn)連續(xù)以及導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限存在且相等.

三、結(jié)?論

特別對高職學(xué)生而言，分段函數(shù)的求導(dǎo)問題一直是個難點(diǎn)，原因在于分不清什么情況下可以直接求導(dǎo)，什么情況下又不可以直接求導(dǎo).文中給出導(dǎo)數(shù)極限定理及其推論和證明，在理論上闡明這一問題，對學(xué)生理解分段函數(shù)求導(dǎo)問題會有幫助.當(dāng)然，導(dǎo)數(shù)定義方法和導(dǎo)數(shù)極限方法在不同的題型中各有千秋，譬如，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)極限并不簡單時，導(dǎo)數(shù)極限方法反而更煩瑣，而且導(dǎo)數(shù)極限方法也有其適用條件.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

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