分式線(xiàn)性映射與阿波羅尼奧斯圓族

李楚一

【摘要】本文探討了上半平面映射為單位圓的分式線(xiàn)性映射，并從保形映射的角度導(dǎo)出阿波羅尼奧斯圓族的方程.以分式線(xiàn)性映射的保角性為依據(jù)，通過(guò)像曲線(xiàn)的幾何關(guān)系研究原像的幾何關(guān)系，進(jìn)而得出施泰納圓族的方程，并說(shuō)明其幾何意義.

【關(guān)鍵詞】分式線(xiàn)性映射;阿波羅尼奧斯圓族;施泰納圓族

一、引?言

分式線(xiàn)性映射作為一種簡(jiǎn)單的保形映射在復(fù)變函數(shù)中被詳細(xì)地探討，它具有保角性、保對(duì)稱(chēng)性[1]等優(yōu)良的幾何性質(zhì)，可以讓我們對(duì)一些幾何問(wèn)題有更深刻的理解.在擴(kuò)充復(fù)平面中，將上半平面映射為單位圓的分式線(xiàn)性映射作為最基本的簡(jiǎn)單映射，本文將從這個(gè)映射出發(fā)，按照利用像曲線(xiàn)研究原像曲線(xiàn)的方法，研究?jī)蓚€(gè)圓族.

二、將任意圓映射為單位圓

文獻(xiàn)[1]中，在介紹將上半平面Imz>0映射為單位圓|ω|<1的分式線(xiàn)性映射ω=eiθz-λz+λ時(shí)，指出該映射把上半平面內(nèi)以λ，λ為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的圓周族映射為ω平面上以原點(diǎn)為圓心的圓周族|ω|=k.考查以λ，λ為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的圓族（特別地，將λ，λ的中垂線(xiàn)視為半徑為∞的圓），可以發(fā)現(xiàn)實(shí)軸上側(cè)的圓均被映射為單位圓內(nèi)部的同心圓，下側(cè)則被映射到單位圓外.自然，我們可以用類(lèi)似于文獻(xiàn)[1]的方法進(jìn)一步考查，擴(kuò)充復(fù)平面上的任意兩點(diǎn)α，β，尋求將以α，β為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的任一圓映射為單位圓的分式線(xiàn)性映射.

定理?將以α，β為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的任一圓映射為以原點(diǎn)為圓心的圓的分式線(xiàn)性映射為：

ω=z0z-αz-β，其中z0為任一復(fù)數(shù).

證?考查以α，β為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的圓族.存在這樣的分式線(xiàn)性映射ω=f（x），它將α映射為原點(diǎn)，將β映射為∞，又由保圓性知圓族中任意的圓必被該映射映射為像平面上的圓，由保對(duì)稱(chēng)性知像圓以原點(diǎn)與∞為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，或者說(shuō)以原點(diǎn)為圓心.因而，任何這樣的f（x）都滿(mǎn)足該定理要求，而它的一般形式很容易寫(xiě)出，即為ω=z0z-αz-β，z0可以隨意取得，決定映射的伸縮與旋轉(zhuǎn).

在保形映射中我們往往只關(guān)注原像與像之間的集合變換，往往不必在意映射的具體對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以我們不妨令上式中的z0=1，這樣就得到上述映射中形式較簡(jiǎn)潔的一個(gè)特例：

ω=z-αz-β.

三、阿波羅尼奧斯圓族

考查以α，β為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的圓族中的一個(gè)特殊情形，即α，β的中垂線(xiàn)（半徑為∞的圓），研究它的像圓半徑的情況.取該線(xiàn)上的一點(diǎn)α+β2，代入ω=z-αz-β，有：

|ω|=β-α2α-β2=1，

即該映射恰好將α，β的垂直平分線(xiàn)映射為單位圓.因而，我們得到，映射ω=z-αz-β將中垂線(xiàn)α側(cè)的圓周映射到單位圓內(nèi)部，將β側(cè)的圓周映射到單位圓的外部.

這個(gè)映射（并且是保形映射）建立了以α，β為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的圓周集與以原點(diǎn)為圓心的同心圓的圓周集之間的和諧的一一對(duì)應(yīng)，因而，任取|ω|=k，對(duì)應(yīng)著以α，β為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的圓z-αz-β=k，這就說(shuō)明了以α，β為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的圓的圓系方程可以表示為：

z-αz-β=k，

特別地，當(dāng)k=1時(shí)，圓退化為一條直線(xiàn).

這個(gè)式子有很直接的幾何意義.我們不難看出，它表示平面上到兩定點(diǎn)α，β的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡.這個(gè)結(jié)果不僅說(shuō)明了該軌跡是圓，還說(shuō)明了該圓以α，β為對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)通常被稱(chēng)為阿波羅尼奧斯圓族.

四、結(jié)?論

從簡(jiǎn)單的將上半平面映射為單位圓的分式線(xiàn)性映射推廣的映射ω=z-αz-β可以將性質(zhì)復(fù)雜的曲線(xiàn)族映射為性質(zhì)簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)族，進(jìn)而方便研究它們的幾何特性.本文正是以這個(gè)思路為依據(jù)，從復(fù)平面的角度，研究了傳統(tǒng)幾何學(xué)中的阿波羅尼奧斯圓族的基本性質(zhì)，同時(shí)回避了利用幾何技巧的推演.

【參考文獻(xiàn)】

[1]包革軍，邢宇明，蓋玉英.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：科學(xué)出版社，2013.