多維溝通：讓模型思想培養(yǎng)落地生根

周虹

[摘 要]學(xué)生的知識是散點(diǎn)式的，通過有效溝通知識之間的聯(lián)系，可以幫助學(xué)生主動建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，從而更好地抓住概念的本質(zhì)，提升整體把握數(shù)學(xué)知識的能力。

[關(guān)鍵詞]溝通;模型;理解

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0032-02

【課前思考】

通過學(xué)習(xí)人教版教材五年級下冊“長方體和正方體”，一方面，學(xué)生將公式“長方體體積=長×寬×高”熟記于心，而對公式“體積=底面積×高”比較陌生;另一方面，大部分學(xué)生認(rèn)為只有長方體、正方體才能用體積公式計(jì)算，遇到底面為梯形、三角形的柱體就無從下手。這說明學(xué)生對于體積公式的理解依然處在記憶層面，只關(guān)注到體積計(jì)算的形，而忽視了對體積的本質(zhì)理解。因此，在練習(xí)課中，教師要在溝通上做文章，打破學(xué)生的思維定式，通過多維度溝通，幫助學(xué)生更好地理解體積的本質(zhì)，建立知識網(wǎng)絡(luò)。

【教學(xué)過程】

一、第一次溝通：溝通體積公式間的關(guān)系

1.感受面動成體的過程

師：這是一個長方形，把它向上平移2厘米，掃過的區(qū)域是個怎樣的形狀？

生（齊）：長方體。（師課件驗(yàn)證）

2.回顧并溝通體積計(jì)算公式的關(guān)系

師：回憶長方體的體積公式，這幾個體積公式可以概括成哪一個公式？

生1：用a×b表示底面的面積（S底），則長方體體積公式可以概括成V=S底h。

生2：用b×h表示左面的面積（S左），那么高就是a，則V=S左×a。（師課件演示）

師：用a×h表示正面的面積，那么高就是？（生3：b），則V=S正×b。（師課件演示）

師：原來“底面積×高”中的底面積不單表示底面的面積，還可以表示任意一個面的面積，只要乘上與這個面垂直的棱的長度，都可以計(jì)算體積。

【教學(xué)思考：旨在溝通體積計(jì)算公式間的聯(lián)系，通過問題“這幾個體積公式可以概括成哪一個公式？”引發(fā)學(xué)生思考，促進(jìn)對體積公式的本質(zhì)理解。借助幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生對體積計(jì)算公式進(jìn)行聯(lián)系、溝通，幫助學(xué)生順利打通V=abh與V=Sh間的關(guān)系，理解長方體體積計(jì)算的本質(zhì)就是某一個面的面積乘上與這個面垂直的棱的長度?！?/p>

二、第二次溝通：溝通體積計(jì)算方法間的聯(lián)系

1.自主嘗試計(jì)算柱體的體積

師：這是一個由大正方形剪去一個小正方形后得到的多邊形（如圖1實(shí)線部分）。想一想，如果把這個多邊形向上平移5厘米，掃過的區(qū)域是什么形狀？（師課件演示）

師：你能求這個立體圖形的體積嗎？有幾種方法？

2.柱體體積計(jì)算方法交流

生1：把這個立體圖形看成由兩個長方體組合而成，則該立體圖形的體積=2×2×5+4×2×5 。

生2：把這個立體圖形看成一個大長方體減去一個小長方體，則該立體圖形的體積=4×4×5-2×2×5。

生3：用兩個這樣的立體圖形可以拼成一個大長方體，則該立體圖形的體積=（4+2）×4×5÷2。

生4：用底面積乘高來計(jì)算它的體積。因?yàn)檫@個立體圖形是由一個多邊形向上平移后得到的，則該立體圖形的體積=（4×4-2×2）×5。

師：觀察這些計(jì)算方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：每種方法都有“×5”，即表示“×高”。

師：那么算式的其他部分表示什么？我們利用運(yùn)算定律給這些算式變形，看看能發(fā)現(xiàn)什么？如算式2×2×5+4×2×5，根據(jù)乘法分配律可寫成（2×2+4×2）×5。

生6：同理，算式4×4×5-2×2×5可寫成（4×4-2×2）×5。

生7：根據(jù)乘法交換律，算式（4+2）×4×5÷2可寫成（4+2）×4÷2×5。

生8：我發(fā)現(xiàn)變形后的算式，“×5”就是指乘高，算式前面部分就是求底面積。

師：是嗎？如4×2+2×2是指哪一部分的面積？

生9：底面是長方形和正方形拼成的組合圖形的面積。

生10：4×4-2×2可看成底面是大正方形減去小正方形后的面積。

師：雖然這幾種算法不同，但是它們都有“×5”，就是乘高，而算式前面部分都在求底面積，所以求這個立體圖形的體積其實(shí)就是底面積乘高。（板書完善）

師：可以把圖2中涂色的這個面當(dāng)成底面，用底面積乘高求它的體積嗎？為什么？

生11：不能。如果把這個長方形當(dāng)?shù)酌?，向后平移后底面不一樣了?/p>

師：那么底面應(yīng)該有什么特點(diǎn)？

生12：底面應(yīng)該有與之相對且大小形狀都相等的面。

師：看來不是所有的面都可以當(dāng)?shù)酌妗Ｏ胍幌?，哪些立體圖形的體積可以直接用底面積乘高來解決？

（學(xué)生解答）

師：能直接用底面積乘高計(jì)算體積的立體圖形，它們和長方體一樣，都可以看成由一個底面向一定的方向平移掃過的空間，我們把它們叫作柱體，柱體的體積用底面積乘高計(jì)算。

【教學(xué)思考：學(xué)生通過“自主計(jì)算—比較溝通—得出通式”三個步驟深刻理解“體積=底面積×高”的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了從長方體到一般柱體的貫通，有效遷移學(xué)習(xí)和建構(gòu)知識，做到了舉一反三、觸類旁通?！?/p>

三、第三次溝通：滲透模型思想

問題1：（如圖3）校門口綠化帶上建了一排長和寬為1m，高為50cm的正方形花壇，并在花壇內(nèi)距各邊15cm處挖一個底面是正方形的長方體坑用于種樹，請問一個這樣的花壇需要多少石料？

生1：將花壇的體積看成4個長方體體積的和來計(jì)算，列式是15×（100-2×15）×50×2+100×15×50×2。

生2：用大長方體體積減去挖掉的小長方體體積，就是石料的體積，列式是100×100×50-70×70×50。

師：這樣列式其他同學(xué)看得明白嗎？

生3：生2用底面積乘高來計(jì)算。因?yàn)檫@個花壇可以看成底面是100×100-70×70的形狀向上平移50cm所形成的圖形。

師：如圖4所示，就是我們之前研究過的柱體?？磥碓诮鉀Q問題時，要善于聯(lián)系，找一找這是我們學(xué)過的哪個數(shù)學(xué)模型，這樣解決起來就容易了。

問題2：如圖5所示，A容器中裝有60dm?水，水面高7.5dm，倒一部分水到B容器，使A、B容器的水面一樣高，這時水面的高度是多少？（學(xué)生獨(dú)立練習(xí)）

生1：因?yàn)锳容器的底面積是B容器的2倍，當(dāng)A、B容器的水面一樣高時，A容器所裝水的體積是B容器所裝水的體積的2倍，這樣只需把原來A容器中的水平均分成3份，B容器占1份，所以算式是60÷3=20（dm?），20×1÷（2×2）=5（dm）。

生2：也可以這樣算，7.5÷3=2.5（dm），2.5×2=5（dm）。

生3：要使A、B容器的水面一樣高，A容器里水的形狀是個柱體，B容器里水的形狀也是個柱體，拼在一起還是個柱體，那么60÷（4×2+2×2）=5（dm）。

師（出示圖6）：這樣拼呢？這三種情況都能用“體積÷底面積=高”來計(jì)算嗎？為什么？

生3：怎么拼都是一個柱體，都可以用“體積÷底面積=高”來計(jì)算。

師：看來我們要學(xué)會聯(lián)系，都是柱體，都可以用體積除以底面積來解決問題。

生4：還可以列方程求解。設(shè)水面高xdm，4×2×x+2×2×x=60，x=60÷（4×2+2×2），x=5。

師：這個方程中也有“體積÷底面積”，你找到了嗎？

生4：60÷（4×2+2×2）。

師：在解決實(shí)際問題時，一定要學(xué)會找到我們熟悉的數(shù)學(xué)模型。

【教學(xué)思考：重在溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用價值。在日常學(xué)習(xí)中，現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)模型是割裂的，因此本環(huán)節(jié)提供兩個現(xiàn)實(shí)問題，讓學(xué)生自覺運(yùn)用模型，運(yùn)用柱體體積公式解決問題，實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)模型—現(xiàn)實(shí)問題”的轉(zhuǎn)化，感受到運(yùn)用模型思想解題的優(yōu)越性與便捷性?！?/p>

四、自主回顧，感受溝通的作用

師：今天這節(jié)課你有什么收獲？

生1：我發(fā)現(xiàn)不僅長方體、正方體的體積可以用底面積乘高來計(jì)算，其他柱體的體積也可以用底面積乘高解決。

生2：解決問題時要善于聯(lián)系，看看是我們學(xué)過的什么數(shù)學(xué)問題。

師：是的，數(shù)學(xué)很多知識、方法都是相通的，我們要善于聯(lián)系、溝通，學(xué)會找數(shù)學(xué)模型，這樣解決問題就會很簡單許多。

【教學(xué)思考：通過自主回顧，讓學(xué)生產(chǎn)生頓悟感，強(qiáng)化其對學(xué)習(xí)方法的理解，學(xué)會用溝通的思想去解決問題，打通知識、貫通方法和溝通問題，從而體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力?！?/p>

（責(zé)編 李琪琦）