探究“等額本息”和“等額本金”中的數(shù)學(xué)問題

沈秋紅

[摘 要]“等額本息”和“等額本金”是按揭買房兩種不同的還款方式，似乎和小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)沒有多少關(guān)聯(lián)。源于一道批錯的習(xí)題和一個質(zhì)疑的聲音，圍繞“等額本息”和“等額本金”開展了一堂由生活問題引發(fā)的拓展教學(xué)課，透析“等額本息”和“等額本金”中蘊涵的數(shù)學(xué)思想和原理。

[關(guān)鍵詞]利率;等額本息;等額本金;深度學(xué)習(xí)

[中圖分類號] G623.5[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0030-02

一、緣起：一道批錯的習(xí)題

人教版教材配套的六年級下冊《數(shù)學(xué)課堂作業(yè)本》第7頁是關(guān)于“利率”的練習(xí)，這是其中的第4題：“沈老師向銀行貸款30萬元買房，貸款期為5年，年利率為4.90%。如果每月還款的金額相同，沈老師平均每月應(yīng)還款多少元？”以6225元作為正確答案進行統(tǒng)計，學(xué)生的正確率為83.8%。下面是兩種主要的解題方法：

方法一：先算出5年一共產(chǎn)生利息7.35萬元，加上本金總共要還37.35萬元，然后把37.35萬元平均分成60份（5年），即求得每月要還的錢。方法二：先求出每個月產(chǎn)生的利息1225元，加上每個月要還本金5000元，從而求得平均每月應(yīng)還款6225元。這兩種方法的解題依據(jù)都是“本金×利率×存期=利息”，那么5年總利息為30 × 4.90% × 5 = 7.35（萬元），或每月利息為30 × 4.90% ×[112]= 0.1225（萬元）。

無論是計算5年產(chǎn)生的總利息，還是[112]年（即1個月）產(chǎn)生的利息，都嚴(yán)格按照利率問題的公式“本金×利率×存期=利息”進行的。然而，當(dāng)利率問題遇見按揭買房，還能一成不變地套用公式嗎？

二、質(zhì)疑：每月還款金額同樣多？

作業(yè)發(fā)下去后的第二天，張同學(xué)拿著作業(yè)本提出了疑惑。

張同學(xué)：老師，我家剛買了新房子，我們每個月還的金額不一樣，為什么這里每個月還的金額是一樣的呢？

師：買房還款有兩種方式，一種是像你家那樣的，每個月越還越少;還有一種（方法一）就是你在作業(yè)本上解答的這種方式，即每個月還款金額同樣多。

張同學(xué)：每還一次，本金不是都變少了嗎，為什么一直按30萬的本金計算利息？我覺得這樣算有問題。

“為什么一直按30萬的本金計算利息？”這個問題把筆者問住了。筆者靜下心來思考張同學(xué)的兩個疑惑：1.為什么每個月還款金額同樣多？2.如果本金變了，為什么每個月還是按照30萬的本金計算利息？

三、明晰：本金變化是利息變少的原因

（一）調(diào)查訪問，理解“等額本息”和“等額本金”

“等額本息”和“等額本金”是貸款的兩種還款方式，其中等額本息是指每月還款總金額不變，其中本金部分逐月遞增，利息部分逐月遞減;等額本金是指每月還款總金額逐月減少，其中本金部分不變，利息逐月減少。簡而言之，每月還款同樣多的叫等額本息;每月越還越少的叫等額本金。

可以發(fā)現(xiàn)，不管是哪種還款方式，利息部分都是逐月遞減的，這與上面的解題過程（每月產(chǎn)生同樣多的利息1225元）相矛盾。也就是說每月還6225元，既不屬于等額本息，也不屬于等額本金。其實張同學(xué)的第2個疑惑（本金變少）可以解釋其中的道理。而張同學(xué)說的他們家每個月還的錢數(shù)不相同（即等額本金），筆者當(dāng)時給他的解釋（即等額本息）自然也不合理。

（二）月供計算器，明晰錯誤

網(wǎng)頁中有一個功能叫“月供計算器”，輸入題中的數(shù)據(jù)，選擇“等額本息”，顯示結(jié)果如下：

計算器上清晰顯示月均還款 5647.64元，比“標(biāo)準(zhǔn)答案”6225元少得多。問題出在哪里呢？

四、探究：“等額本息”和“等額本金”

（一）問題引領(lǐng)，布置任務(wù)

提出問題：《數(shù)學(xué)課堂作業(yè)本》第7頁第4題是一個與買房貸款有關(guān)的問題，大部分同學(xué)利用“利息=本金×利率×存期”這個公式先算出利息，再計算出每月應(yīng)還款6225元。而張同學(xué)家剛買了新房子，他發(fā)現(xiàn)他們家每個月還款的錢數(shù)是逐月減少的，所以他對同學(xué)們的算法（包括他自己的算法）提出了兩個疑問，一是按揭買房每月還款錢數(shù)會同樣多嗎？二是每還一次，本金會變少嗎？張同學(xué)覺得這樣算是有問題的。對此，你們有何看法？

生1：我家也買了新房子，聽爸爸說，我們每個月還的金額確實是同樣多的。

師：其實按揭買房的還款方式就是你們說的兩種方式。今天老師布置一個任務(wù)，同學(xué)們可以回家向家長咨詢，或采訪銀行工作人員，也可以上網(wǎng)查閱資料。

任務(wù)單：

1.什么叫“按揭貸款”？還款方式有哪幾種？你們家選用哪種還款方式？

2.這道題中，同學(xué)們的計算方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣計算？

（二）積極調(diào)查，匯報結(jié)果

學(xué)生通過調(diào)查，形成了匯報稿和PPT。下面呈現(xiàn)其中一個小組的匯報結(jié)果。

該小組共有4位成員，有兩位同學(xué)的家里有按揭買房，其中張同學(xué)家采用等額本金的方式還款，王同學(xué)家采用等額本息的方式還款。該小組認(rèn)為，不管是哪一種還款方式，平均每月應(yīng)還款6225元都是錯誤的。

（三）深入剖析，發(fā)現(xiàn)奧秘

打開“月供計算器”，分別在“等額本息”和“等額本金”兩種模式下輸入本金30萬、年利率4.90%、存期5年等信息，得到的結(jié)果如下：

等額本息（如圖1）：月均還款5647.64元。5647.64≠6225。

等額本金：每個月具體還款數(shù)目如圖2所示。（圖略）

師：仔細(xì)觀察圖2中每個月的還款金額，你能發(fā)現(xiàn)什么？把你的發(fā)現(xiàn)和小組同學(xué)交流。

生1：我發(fā)現(xiàn)第一個月還款金額最多，是6225元，這和我們計算的結(jié)果相同。

生2：最后一個月的還款金額最少，是5020.42元。

師：原來6225元是還款金額最多的第一個月！現(xiàn)在你們明白原來的算法的錯因了嗎？

生3：沒有考慮到本金在減少。

生4：我發(fā)現(xiàn)每個月減少的金額是有規(guī)律的，基本都減少20.42元。

（四）深度學(xué)習(xí)，有效探究

師：你們還有什么想問的問題嗎？

生1：為什么算出來的6225元就是第一個月應(yīng)還的金額？

生2：我想知道為什么逐月減少20.42元？20.42元是怎么計算得到？

生3：最后一個月的5020.42元是怎么得到的？

讓學(xué)生自己提出問題，通過觀察、計算、交流解決問題，同時明白生活知識背后蘊涵的數(shù)學(xué)道理，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性高漲，同時收獲驚喜。

生1：我終于明白了！把30萬本金平均分成60份，每月還5000元本金，這就是等額本金的本金部分;第一個月按照30萬的本金來計算利息，即利息為300000×4.90%×[112]=1225（元），應(yīng)還錢數(shù)：1225+5000=6225（元）。第二個月，因為已經(jīng)還了5000元的本金，所以本金變成300000-5000=295000（元），利息為295000×4.90%×[112]≈1204.58（元），應(yīng)還錢數(shù)：1204.58+5000=6204.58（元）。最后一個月：本金只剩下5000元，利息為5000×4.90%×[112]≈20.42（元），也意味著把所有的錢都還清了。

生2：因為本金每月減少5000元，所以20.42元就是最后一個月的利息，也是相鄰兩個月相差的金額。

師：這其實是一組……

生（齊）：等差數(shù)列！

師：那么“平均每月應(yīng)還款多少元”怎樣計算？

生（齊）：可以用“（首項+末項）÷2”來計算平均數(shù)，即（6225+5020.42）÷2≈5622.71（元）。

“等額本息”和“等額本金”，這兩種還款方式并不是我們要明晰的概念，但其中蘊含的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)原理和方法是數(shù)學(xué)課堂應(yīng)追求的本質(zhì)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不應(yīng)只停留在書本上的知識，脫離生活的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是沒有生長力的。結(jié)合生活實際，站在學(xué)生的立場，傾聽質(zhì)疑的聲音，因勢而為、順勢而導(dǎo)，才能讓深度學(xué)習(xí)在課堂上真正發(fā)生。

（責(zé)編 吳美玲）