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    把握度量本質(zhì) 拓展分數(shù)意義

    2020-03-12 11:46趙彬杉黃慧章
    關(guān)鍵詞:度量本質(zhì)分數(shù)

    趙彬杉 黃慧章

    [摘 要]量是數(shù)學(xué)的本質(zhì),是人創(chuàng)造出來的認識數(shù)學(xué),進而認識現(xiàn)實世界的工具。分數(shù)是在分物、度量和計算中產(chǎn)生的。在教學(xué)分數(shù)的意義時,教師不僅要從均分的角度幫助學(xué)生理解分數(shù)的意義,還要從度量的角度加深學(xué)生對分數(shù)意義的理解,分數(shù)的度量可以理解為分數(shù)單位的累加。因此,教師在教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)度量情境,開展度量操作活動,讓學(xué)生經(jīng)歷度量的過程,從度量的角度感悟分數(shù)的豐富內(nèi)涵,拓展學(xué)生對分數(shù)意義的理解,體會度量的價值,發(fā)展學(xué)生的度量意識。

    [關(guān)鍵詞]分數(shù);度量;本質(zhì);意義

    [中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068(2020)05-0015-03

    史寧中教授指出:“度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì),是人創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)語言,是人認識、理解和表達現(xiàn)實世界的工具?!苯處熑绾位诙攘康谋举|(zhì)去解讀教材?如何設(shè)計教學(xué)活動,讓學(xué)生經(jīng)歷單位的產(chǎn)生過程、單位的累加過程,形成單位的觀念,并以此為標準學(xué)會估計,形成符號意識和數(shù)感,積累度量活動的經(jīng)驗?

    一、理論學(xué)習(xí)中理解度量的意義

    昂利·彭加勒在《科學(xué)與方法》中指出:“如果沒有測量空間的工具,我們便不能構(gòu)造空間?!笨梢姡攘吭跀?shù)學(xué)中有著重要的地位。但什么是度量,如何把握度量本質(zhì)?

    1.度量的含義

    度就是公度,指的是統(tǒng)一的單位;量就是測量;度量就是用統(tǒng)一的單位去測量。

    2.度量的本質(zhì)

    度量的本質(zhì)是指度量的對象包含多少個單位。例如長度的度量就是指度量對象包含多少個長度單位;分數(shù)的度量就是指這個分數(shù)包含多少個分數(shù)單位。

    3.度量的類型

    度量分為抽象度量和具象度量。抽象度量是用計數(shù)單位(通過抽象得到的度量單位)去計數(shù)(數(shù)數(shù)),著力于數(shù)感的培養(yǎng)。具象度量是用計量單位(工具)測量,著力于量感的培養(yǎng)。

    二、教材解讀中把握分數(shù)的本質(zhì)

    張丹教授指出:“對于分數(shù)意義的理解應(yīng)關(guān)注兩個維度(比和數(shù))和四個具體方面(比率、度量、運作和商)。它們相輔相成,共同承擔著學(xué)生對分數(shù)意義豐富性認識的建構(gòu)?!边@四個方面中最容易被忽略的就是度量。分數(shù)的度量可以理解為分數(shù)單位的累加,但教師大多關(guān)注的是分數(shù)單位的定義以及分辨一個分數(shù)的分數(shù)單位是多少,忽略了分數(shù)單位的價值和度量意義。

    不少版本的教材在介紹分數(shù)的產(chǎn)生和意義時,安排的都是“分物”情境。人教版教材雖然編排了一個“度量”情境,但是并沒有解決“剩余繩子不足一節(jié)時應(yīng)如何表示”的問題,仍然是從分物開始探究分數(shù)的意義。因此,教師在教學(xué)分數(shù)意義時,基本都是從平均分的角度入手,忽略了度量角度。

    北師大版教材的“分數(shù)的再認識(二)”則從度量的角度進一步闡明分數(shù)的意義,為教學(xué)提供了鮮活的情境。教材以四個問題串來呈現(xiàn):問題1是讓學(xué)生用附頁中的規(guī)定長度紙條量數(shù)學(xué)書的長和寬,寬剛好是3個紙條,而長是4個紙條多一些,不能正好量完,該怎么辦?問題2是讓學(xué)生繼續(xù)用這個紙條想辦法量剩余部分,要正好量完,并用分數(shù)表示度量結(jié)果;問題3是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)分數(shù)墻的特點,認識分數(shù)單位;問題4是揭示分數(shù)單位的概念。

    我對教材的理解:一是創(chuàng)設(shè)度量情境,感受分數(shù)單位的產(chǎn)生是實際測量的需要;二是開展實際度量,創(chuàng)造分數(shù)單位,深化分數(shù)的意義;三是借助分數(shù)墻的直觀模型,理解分數(shù)單位的意義和價值。

    三、實際度量中拓展分數(shù)的意義

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011版)》指出:“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索和合作交流等,都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式?!币虼耍處煈?yīng)給予學(xué)生充分的探索和操作活動,讓學(xué)生在實際度量中感受分數(shù)單位的產(chǎn)生和累加過程,從度量角度拓展分數(shù)的意義。

    1.動手測量,感受分數(shù)單位產(chǎn)生的必要性

    著名兒童心理學(xué)家皮亞杰曾說過:“智慧從動作開始,學(xué)生的多種感官參與認知活動,可以使信息不斷地刺激細胞,促使思維活躍,便于儲存和提取信息,同時易于激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力?!币虼耍處熞O(shè)計操作活動,通過測量激活學(xué)生的度量經(jīng)驗,使學(xué)生體會分數(shù)單位產(chǎn)生的必要性。

    [活動一]用附頁中的紙條(長6厘米、寬1.5厘米)量一量數(shù)學(xué)書的長和寬,并記錄測量的結(jié)果。

    首學(xué):獨立測量,記錄結(jié)果。

    共學(xué): 匯報結(jié)果,引發(fā)思考。

    學(xué)生在測量時,把紙條的長當作“1”去度量,先量寬,1個1、2個1、3個1,3次正好量完;再量長,1個1、2個1、3個1、4個1,不能正好量完。因此數(shù)學(xué)書的寬正好是3個紙條的長度,長是4個紙條多一些,不能正好量完。

    小結(jié):用“1”這個單位可以量出2、3、4……看來整數(shù)是可以量出來的。

    提問:多出來的部分不能用1個紙條量完,該怎樣繼續(xù)量下去才能正好量完?如何表示這部分的長度呢?

    通過測量活動,讓學(xué)生積累測量的初步經(jīng)驗。在用“1”不能測量時,教師提出的問題能有效激發(fā)學(xué)生探究知識的欲望,使學(xué)生在實際操作中體會到分數(shù)單位的產(chǎn)生是實際測量的需要,為進一步從度量的角度認識分數(shù)做準備。

    2.實際度量,豐富對分數(shù)意義的理解

    度量的核心要素是度量單位和度量值。因此,從度量角度教學(xué)分數(shù),關(guān)鍵是建立“分數(shù)單位”和“數(shù)出分數(shù)單位的個數(shù)”。

    [活動二]想辦法繼續(xù)用附頁中的紙條測量剩余部分,使其正好量完,并表示測量結(jié)果。

    測量方法:用這個紙條 去度量,

    測量結(jié)果:剩余部分長[(? ? ? )(? ? ? )]個紙條。

    首學(xué):自主嘗試,探究方法。

    互學(xué):小組交流,說說自己的度量方法、度量過程和度量結(jié)果。

    群學(xué):全班交流,完善方法。

    生1:我把紙條對折一次,發(fā)現(xiàn)不能剛好量完;我就再對折一次,量了1次正好量完。因此剩余部分是[14]個紙條長。

    共學(xué):師生對話,把握本質(zhì)。

    師:在剛才的度量過程中,把紙條對折一次其實就是把這個紙條平均分成幾份?

    生2:兩份。

    師:取其中的1份也就是這個紙條的多少?

    生3:[12]。

    師:也就是以[12]個紙條作為標準去度量,發(fā)現(xiàn)還是不能正好量完,于是再對折一次,也就是把這個紙條平均分成幾份?以多少為標準去量?

    生4:平均分成4份,以[ 14]個紙條長作為標準去度量。

    師:誰再來說說多出的部分為什么是[14]個紙條長?

    生5:因為我們把這個紙條對折兩次,也就是平均分成了4份去量。

    師:請你們用剛才的方法再量一下,注意邊量邊說你們量的過程和方法。

    師:用[14]這個標準,還可以度量出哪些分數(shù)?

    生6:[24]、[34]、[44]。

    師:請說得更詳細點,你是如何量出這些分數(shù)的?

    生6:用[14]作為標準去度量,2個[14]是[24],3個[14]是[34],4個[14]就是1。

    師:在度量數(shù)學(xué)書的長的剩余部分的過程中,當用“1”不能度量時,我們要創(chuàng)造更小的單位去度量。

    通過以上實際度量活動,讓學(xué)生體會到當“1”不能測量時,需要更小的單位去度量,于是創(chuàng)造出更小的度量單位,也就是分數(shù)單位,并深刻理解了[12]、[14] 這樣的分數(shù)單位的意義。而教師的“追問”,讓學(xué)生再次體會單位的作用,通過單位的累加可以得到更多的分數(shù),從而從度量角度拓展了分數(shù)新的意義:將給定的長度等分,用其中的一份作為新的長度單位去量物體的長度,如果正好量完,就可用分數(shù)表示物體的長度。

    3.借助直觀,建立分數(shù)單位的意義

    量感不僅僅是“1個單位”標準,更多的是標準量的累加應(yīng)用。因此,借助分數(shù)墻這一直觀模型,讓學(xué)生在分數(shù)墻的制作過程和觀察分數(shù)墻的活動中,充分體會分數(shù)單位的產(chǎn)生和累加過程,深刻認識分數(shù)單位的意義和價值,領(lǐng)悟分數(shù)可以是以某個分數(shù)單位為計數(shù)單位進行累加得到的結(jié)果,加深學(xué)生對分數(shù)意義的理解。操作活動不僅僅是動手做,還應(yīng)該動眼看、動腦思,做到眼、手、腦并用。因此,在這一觀察活動中我設(shè)計了三個問題,形成一個問題串:

    【問題1】當“1”不能正好量完時,我們把1平均分成兩份,用其中的[12]作為單位去量,還想到把1平均分成4份,用其中的[14]作為單位去量,把1平均分8份,用其中的[18]作為單位去量……還可以平均分成幾份,用什么作為單位去量?

    生1:可以把“1”平均分成3份,用[13]作為單位去度量。

    生2:還可以用[15]、[16]、[17]……作為單位去量。

    出示分數(shù)墻的左半邊起始部分:

    師:由“1”我們可以量出2、3、4等,還可以將1平均分成幾份,像[12]、[13]、[14]……這樣把“1”平均分成若干份,取其中的1份的分數(shù),數(shù)學(xué)上稱之為“分數(shù)單位”。

    【問題2】用這些分數(shù)單位還可以度量出哪些分數(shù)?

    生1:我用[13]作為單位去度量,2個[13]是[23],3個[13]就是1。

    生2:我用[14]作為單位去度量,2個[14]是[24],3個[14]是[34],4個[14]就是1。

    ……

    師:看來用不同的分數(shù)單位可以度量出不同的分數(shù),從而形成分數(shù)墻這一直觀模型。(動態(tài)呈現(xiàn)“分數(shù)墻”的形成過程;如圖2)

    【問題3】觀察由分數(shù)單位組成的分數(shù)墻,有什么特點?你發(fā)現(xiàn)了什么?(圍繞這一問題展開四學(xué)活動)

    首學(xué):自主觀察,初步認識。

    互學(xué):小組交流,豐富認識。

    群學(xué):全班交流,完善認識。

    生1:我豎著看,分數(shù)單位的分母越來越大,分數(shù)單位就越來越小。

    生2:我橫著看,分數(shù)單位的分母是幾,這一排中(整體“1”)就有幾個這樣的分數(shù)單位。

    共學(xué):師生對話,把握本質(zhì)。

    師(小結(jié)):橫向觀察分數(shù)墻發(fā)現(xiàn),把一張紙條平均分成幾份,分數(shù)單位就是幾分之一,“1”中就有幾個這樣的分數(shù)單位;縱向觀察分數(shù)墻發(fā)現(xiàn),只要把這個整體“1”平均分成不同的份數(shù),還會有無數(shù)個分數(shù)單位,并且越往下平均分的份數(shù)越多,得到的分數(shù)單位就越小,也就是說,分母越大,分數(shù)單位越小。

    師:在認識整數(shù)時,我國采用十進制計數(shù)單位,用“一”去量,十個一是十,再用“十”去量,十個十是一百,再用“百”去量,十個百是一千……今天我們知道了當用“一”不能度量時,可以將“一”分成更小的單位去度量,如用[12]、[14]、[18]、[116]……這樣的分數(shù)單位去度量。因此,分數(shù)單位是計數(shù)單位的一個拓展、一個延伸,它是分數(shù)的計數(shù)單位。(課件動態(tài)呈現(xiàn)累加和分的過程,如圖3)

    在這一觀察操作活動中,教師用課件呈現(xiàn)分數(shù)墻的動態(tài)形成過程,從而讓學(xué)生深刻感受分數(shù)單位的意義和價值,領(lǐng)悟分數(shù)可以是以某個分數(shù)單位為計數(shù)單位進行累加而得到的結(jié)果,加深對分數(shù)意義的理解。最后借助直觀模型溝通整數(shù)計數(shù)單位與分數(shù)計數(shù)單位的聯(lián)系,幫助學(xué)生建構(gòu)完整的計數(shù)單位體系。

    四、實踐運用中提升度量意識

    “量感”是需要在度量實踐中培養(yǎng)和發(fā)展的。在結(jié)課環(huán)節(jié),我設(shè)計了三道練習(xí)題,重在讓學(xué)生感受任意一個分數(shù)都是由分數(shù)單位累加而成的,從而體會到“用同一個分數(shù)單位,度量次數(shù)越少得到的分數(shù)就越小,度量次數(shù)越多得到的分數(shù)就越大;整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)都是可以度量出來的”,從而溝通了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的聯(lián)系。

    華羅庚先生曾經(jīng)說過:“數(shù)起源于數(shù),量起源于量?!狈謹?shù)是在分物、度量和計算中產(chǎn)生的。對于“分數(shù)的再認識(二)”這一課,教師從度量的角度展開教學(xué),讓學(xué)生經(jīng)歷度量的過程,從度量的角度感悟分數(shù)的豐富內(nèi)涵,促進學(xué)生對分數(shù)意義的理解,體會度量的價值。

    (責編 金 鈴)

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