再現(xiàn)二次函數(shù)軌跡

林麗

例題 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，2），點(diǎn)P為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PH，垂足為H，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終滿足PF=PH。

（1）判斷點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（O，5）;

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，填寫(xiě)下表，并在給定坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的圖像;

（3）點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C'，點(diǎn)P在直線C'F的下方時(shí)，求線段PF長(zhǎng)度的取值范圍。

【分析】（1）當(dāng)P與C（O，5）重合，證明PH=PF即可解決問(wèn)題。

（2）由PF2=PH2，再根據(jù)函數(shù)表達(dá)式即可解決問(wèn)題。由題意，得y2= （x-4）2+（y-2）2，整理，得y=1/4x2-2x+5，∴函數(shù)表達(dá)式為y= 1/4x2-2x+5。

（3）先求出直線FC的表達(dá)式，再求出直線FC'與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題。

雖然本題始終未提及“二次函數(shù)”，但其卻是一道不折不扣的“二次函數(shù)”壓軸題。題目中的點(diǎn)P具有如下特征：到定點(diǎn)（F）的距離和到定直線（x軸）的距離相等，從而得到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線y=1/4x2- 2x+5。也就是說(shuō)，二次函數(shù)可以看作是到定點(diǎn)距離等于到定直線距離的點(diǎn)的軌跡。

【延伸】二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l，1/4）。點(diǎn)F（O，1）在y軸上。直線y=一1與y軸交于點(diǎn)H。

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）點(diǎn)P是（1）中圖像上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=-l交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP;

（3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

【分析】（1）根據(jù)題意，可設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2，將點(diǎn)A代入函數(shù)表達(dá)式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的表達(dá)式。

（2）過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，則∠PFM=∠PMF，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得出結(jié)論。

（3）首先可得∠FMH=30°，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，1/4x2），根據(jù)PF=PM=FM，可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可得出答案。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、角平分線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)。解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，才能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。

本題中，點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離和到定直線y=-l的距離相等，同樣，點(diǎn)P是拋物線y=1/4x2上的點(diǎn)，亦屬于軌跡類(lèi)問(wèn)題。

【新題】如圖3，以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（O，4）、B（4，0），y軸上有一定點(diǎn)C（O，3），若點(diǎn)P為拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)。

（1）直接寫(xiě)出拋物線的表達(dá)式;

（2）如圖4，連接PC、PB、BC，△PBC面積的最大值是_____：

（3）如圖5，若以P為圓心，PC為半徑的圓與x軸相切于點(diǎn)日，則P點(diǎn)坐標(biāo)是______;

（4）如圖6，點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，O），求△PDC的周長(zhǎng)最小值。

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式。

（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)M，利用鉛垂高求三角形面積的最大值。

（3）當(dāng)OP與x軸相切時(shí)，PC=PH，通過(guò)方程求出點(diǎn)P坐標(biāo)。

（4）過(guò)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，易證PC+PH=5（定值），而DC始終不變，從而得知當(dāng)PD與x軸垂直時(shí)，△PDC的周長(zhǎng)有最小值。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法、鉛垂高求面積、二次函數(shù)性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)，特別是第（4）小題，運(yùn)用了拋物線的特殊點(diǎn)的特殊性質(zhì)解決了動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題。

（作者單位：江蘇省泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）