基于廣義最小二乘法的空空導(dǎo)彈幅值濾波器設(shè)計(jì)方法

李良 李友年 陳星陽(yáng)

摘?要：空空導(dǎo)彈在飛行的過(guò)程中，由于彈體彈性模態(tài)時(shí)變特性而引起幅值濾波器參數(shù)無(wú)法預(yù)先精確設(shè)置，導(dǎo)致濾波器濾波效果減弱。針對(duì)這一問(wèn)題，本文首先建立了空空導(dǎo)彈的縱向剛體和彈性體混合數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，借鑒最小二乘法在線估計(jì)彈性模態(tài)參數(shù)的方法，提出了廣義最小二乘法在線估計(jì)的改進(jìn)措施，解決了彈體彈性模態(tài)求解過(guò)程中由于擾動(dòng)等因素帶來(lái)的有色噪聲干擾問(wèn)題。同時(shí)，在控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中引入振蕩模態(tài)角頻率反饋模塊，實(shí)時(shí)修正濾波器中心頻率，提高了濾波效果。通過(guò)六自由度仿真算例驗(yàn)證該方法的可行性。

關(guān)鍵詞：幅值濾波器;廣義最小二乘法;在線估計(jì);彈性模態(tài)

中圖分類號(hào)：TJ765.2?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-5048（2020）01-0046-06

0?引言

空空導(dǎo)彈的彈性特性是指導(dǎo)彈在空氣動(dòng)力和舵面運(yùn)動(dòng)的激勵(lì)下，彈體出現(xiàn)橫向彎曲高頻振動(dòng)的現(xiàn)象[1]。導(dǎo)彈在飛行的過(guò)程中，這些高頻彈性振動(dòng)信號(hào)與剛體運(yùn)動(dòng)信號(hào)一起會(huì)被傳感器敏感接收并經(jīng)過(guò)控制系統(tǒng)處理后驅(qū)動(dòng)舵面偏轉(zhuǎn)。如果舵面對(duì)高頻信號(hào)有響應(yīng)，則會(huì)引起彈體結(jié)構(gòu)進(jìn)一步的彈性振動(dòng)。對(duì)目前先進(jìn)的空空導(dǎo)彈而言，隨著導(dǎo)彈戰(zhàn)術(shù)使用要求的不斷提高，彈性振動(dòng)輕則降低彈體控制品質(zhì)，重則造成控制失穩(wěn)，嚴(yán)重影響發(fā)射載體安全性。因此在自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)過(guò)程中，必須要考慮彈體的彈性特性影響，并且要盡量消除彈性特性對(duì)控制系統(tǒng)的不利影響。

空空導(dǎo)彈在飛行的過(guò)程中，導(dǎo)彈質(zhì)量和質(zhì)心產(chǎn)生實(shí)時(shí)變化、導(dǎo)彈所用火箭發(fā)動(dòng)機(jī)在工作過(guò)程中，由于環(huán)境因素，引起總沖的隨機(jī)散布以及導(dǎo)彈在高速飛行時(shí)的氣動(dòng)加熱都會(huì)對(duì)彈性模態(tài)造成一定影響[2]，導(dǎo)彈飛行過(guò)程中的彈性模態(tài)變化情況是很難提前準(zhǔn)確預(yù)知的。為了消除彈性振動(dòng)的影響，首先考慮的方法是改變傳感器的位置，盡量不讓傳感器敏感接收到彈性振動(dòng)。進(jìn)入數(shù)字電路時(shí)代后，數(shù)字濾波器成為消除剛體低頻控制信號(hào)中的高頻彈性振動(dòng)分量的主要方法[3-4]。隨著現(xiàn)代控制理論的不斷發(fā)展，樊朋飛等提出了一種雙回路結(jié)構(gòu)的魯棒控制器[5]，惠俊鵬等提出了應(yīng)用奇異值Mu方法分析系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的方法[6]，谷迎松等提出了一種氣動(dòng)伺服彈性穩(wěn)定臨界點(diǎn)預(yù)測(cè)求解的完全頻域方法[7]，吳云潔等基于Steiglitz-McBride系統(tǒng)辨識(shí)方法，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)噪聲抑制濾波器，對(duì)測(cè)得信號(hào)中的彈性分量進(jìn)行處理[8]，楚龍飛等提出了一種自適應(yīng)結(jié)構(gòu)濾波器的設(shè)計(jì)方法，采用遞歸最小二乘算法，在線估計(jì)飛行器的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)并用于實(shí)時(shí)更新濾波器的中心頻率[9]。結(jié)合國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，導(dǎo)彈各種部件布局有諸多限制，通過(guò)改變傳感器位置或者傳感器位置分布補(bǔ)償?shù)姆绞皆谀壳跋冗M(jìn)的空空導(dǎo)彈設(shè)計(jì)時(shí)很難實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)代控制理論方法大多都具有較高的系統(tǒng)階次，這類方法很難在工程中得到實(shí)際的應(yīng)用?；诮?jīng)典控制理論的濾

波器設(shè)計(jì)，是目前空空導(dǎo)彈設(shè)計(jì)中抑制彈性振動(dòng)常用的方法。本文針對(duì)幅值濾波器在工程實(shí)現(xiàn)上遇到的實(shí)際問(wèn)題，重點(diǎn)分析了楚龍飛等提出的最小二乘法在線估計(jì)導(dǎo)彈彈性模態(tài)參數(shù)的方法[9]，針對(duì)其存在的問(wèn)題提出了改進(jìn)措施，并通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了該方法的可行性。

1?導(dǎo)彈剛性彈性混合模型建立

1.1?導(dǎo)彈模型對(duì)象特性

本文研究所用的空空導(dǎo)彈模型對(duì)象特性為正常式布局的軸對(duì)稱導(dǎo)彈，其長(zhǎng)度3.0 m;直徑0.16 m;質(zhì)量：滿載100 kg，半載75 kg，空載50 kg;發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間為16 s（均勻燃燒）;俯仰通道的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：滿載57 kg·m2，半載50 kg·m2，空載43 kg·m2;質(zhì)心位置（距導(dǎo)彈頭部）：滿載1.6 m，半載1.5 m，空載1.4 m;加速度表和角速率陀螺的安裝位置（距導(dǎo)彈頭部）：0.40 m;彈體俯仰方向一階彎曲彈性振蕩角頻率ωe1：滿載226 rad/s（36 Hz），半載270 rad/s（43 Hz），空載314 rad/s（50 Hz）;彈體俯仰方向一階彎曲彈性振蕩阻尼ξ1：滿載0.002 5，半載0.006 25，空載0.01。

1.2?坐標(biāo)系定義

彈性基準(zhǔn)系O0x0y0z0是專門用來(lái)定義彈體結(jié)構(gòu)變形的坐標(biāo)系，其三軸與彈體系Ox1y1z1的三軸平行，坐標(biāo)原點(diǎn)在彈體頭部頂點(diǎn)位置。

1.3?剛性彈體數(shù)學(xué)模型建立

根據(jù)牛頓第二定律和質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)性質(zhì)，建立描述導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)非線性方程。利用小擾動(dòng)線性化原理，采用系數(shù)“凍結(jié)”的方法引入動(dòng)力學(xué)系數(shù)[10]。通過(guò)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程組可以得到俯仰單通道傳遞函數(shù)：

其中引入的動(dòng)力學(xué)系數(shù)如下：

對(duì)于軸對(duì)稱導(dǎo)彈，俯仰和偏航通道氣動(dòng)特性具有對(duì)稱性，因此，偏航通道傳遞函數(shù)與俯仰通道傳遞函數(shù)相同。

1.4?彈性彈體數(shù)學(xué)模型建立

由于飛行過(guò)程中大長(zhǎng)細(xì)比導(dǎo)彈受到空氣動(dòng)力、重力、尾部推力等作用而發(fā)生復(fù)雜彈性形變，橫向彎曲是主要表現(xiàn)形式。為了得到一般規(guī)律，將飛行中的導(dǎo)彈簡(jiǎn)化為有尾部推力的均質(zhì)自由梁。不考慮控制，假設(shè)推力始終與軸線尾部相切，彈性模量E和截面慣性矩J為常值，假定飛行機(jī)動(dòng)過(guò)程中法向外力只受準(zhǔn)定常氣動(dòng)力的作用，不考慮由于推力而引起的法向力和氣體擾動(dòng)法向力，在彈性基準(zhǔn)坐標(biāo)系O0x0y0z0下，彈體法向彈性振動(dòng)遵循如下方程：

2?最小二乘法在線估計(jì)彈性模態(tài)參數(shù)改進(jìn)

為了在不增大幅值濾波器陷波寬度的同時(shí)，又能夠較好地適應(yīng)真實(shí)彈體彈性振蕩模態(tài)與預(yù)計(jì)值的較大偏差，根據(jù)楚龍飛等提出的最小二乘法在線估計(jì)彈體彈性模態(tài)參數(shù)的方法[9]，其待估計(jì)對(duì)象（如式（14））針對(duì)彈體一階彎曲彈性模態(tài)，經(jīng)變化后可得

利用最小二乘法在線遞推算法可得該差分方程的系數(shù)L1～L3及R1～R4值，進(jìn)而結(jié)合式（16）～（17）可構(gòu)造包含ωd，ξd，ωe，ξe及Ge的方程組。由于設(shè)計(jì)幅值濾波器時(shí)須知道彈性模態(tài)角頻率ωe，因而只需利用該方程組解出ωe即可。但是求解ωe會(huì)遇到以下問(wèn)題：

（1）若將ωd，ξd，ωe，ξe及Ge當(dāng)成未知數(shù)對(duì)待，則經(jīng)過(guò)消元簡(jiǎn)化后關(guān)于ωe的一元六次方程，無(wú)法得到ωe的解析解。

（2）若將ωd，ξd當(dāng)成已知參數(shù)對(duì)待，可以降低方程的階次，但是為了保證計(jì)算ωe相對(duì)于真實(shí)值有較小的誤差，又需要知道剛性彈體精確的ωd和ξd，考慮到剛性彈體在建模時(shí)存在一定的誤差，在工程應(yīng)用時(shí)無(wú)法精確地給出ωd和ξd，因而無(wú)法得到ωe的精確解。

另外，考慮到角速率陀螺響應(yīng)中，除了剛性彈體和彈性彈體角速率響應(yīng)外，可能還包含其他擾動(dòng)帶來(lái)的有色噪聲，因而僅僅采用最小二乘法無(wú)法保證計(jì)算結(jié)果收斂到真實(shí)值。

針對(duì)以上方法中模型階次過(guò)高，不便于彈性模態(tài)參數(shù)求解，并且最小二乘法無(wú)法抑制有色噪聲帶來(lái)的干擾問(wèn)題，需要對(duì)以上方法進(jìn)行改進(jìn)：

（1）在剛體和彈性體混合模型中，剛體信號(hào)是主量，經(jīng)過(guò)帶通濾波器后，降低了剛體信號(hào)的幅值，提高了待估彈性模型信號(hào)的信噪比，可以將式（16）中剛性彈體傳遞函數(shù)a25s+kds2+2ωdξds+ω2d當(dāng)作有色噪聲傳遞函數(shù)n（s），這樣待估計(jì)模型只剩下彈性模型傳遞函數(shù)kRkφss2 + 2ξeωes + ω2e。原來(lái)不便求解的四階模型，利用廣義最小二乘法，將其等效拆分成兩個(gè)二階模型，因此降低了待估計(jì)模型階次，方便求解彈性模態(tài)參數(shù)ωe。

（2）由于彈性模型傳遞函數(shù)kRkφss2 + 2ξeωes + ω2e的響應(yīng)中還包含有色噪聲模型n（s）的響應(yīng)，因而采用最小二乘法無(wú)法使估計(jì)的參數(shù)收斂到真實(shí)值，可將有色噪聲模型n（s）的響應(yīng)看作為白噪聲通過(guò)形成濾波器后的響應(yīng)，并選取適當(dāng)階次的形成濾波器，就可以通過(guò)廣義最小二乘法估計(jì)出更為精確的彈性模型傳遞函數(shù)的模態(tài)參數(shù)。

（3）由于剛性彈體傳遞函數(shù)a25s+kds2+2ωdξds+ω2d的響應(yīng)通常比彈性彈體傳遞函數(shù)kRkφss2 + 2ξeωes + ω2e的響應(yīng)大很多，使得待估計(jì)彈性模型響應(yīng)中的信噪比較低，不利于估計(jì)結(jié)果的收斂，因而需要對(duì)彈性模型響應(yīng)進(jìn)行帶通濾波，降低剛性彈體響應(yīng)幅值，提高信噪比。

3?驗(yàn)證

本文針對(duì)俯仰、偏航控制通道采用的幅值濾波器，采用廣義最小二乘法在線算法估計(jì)彈性彈體一階彎曲振蕩模態(tài)角頻率ωe的結(jié)構(gòu)，如圖2所示。同時(shí)在廣義最小二乘法模塊引入反饋，將反饋施加在帶通濾波器模塊。由于施加了反饋結(jié)構(gòu)，帶通濾波器能夠根據(jù)廣義最小二乘法預(yù)估的一階彎曲振蕩模態(tài)角頻率，實(shí)時(shí)修改濾波器中心頻率，從而達(dá)到濾波效果。在角速率陀螺和加速度計(jì)輸出位置分別加入服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的噪聲，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.1（°）/s和0.01g。

圖2中的舵機(jī)、角速率陀螺和加速度計(jì)模型仍然采用二階等效模型，舵機(jī)模型中加入帶寬為0.2°的間隙，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。

為了驗(yàn)證廣義最小二乘法在線算法的效果，選取以下四種彈體彈性一階彎曲振蕩頻率偏差量。其中，fy1st_idea為彈體彈性一階彎曲振蕩頻率理論值，fy1st_true為加入偏差量后的彈體彈性一階彎曲振蕩頻率真實(shí)值，fy1st_RGLS為彈體彈性一階彎曲振蕩頻率估計(jì)值。俯仰、偏航通道幅值濾波器的陷波頻率和帶通濾波器的中心頻率采用經(jīng)廣義最小二乘法在線算法估計(jì)出的值。忽略一階彎曲彈性振蕩模型中和飛行過(guò)程中的變化情況，則幅值濾波器的阻尼取值仍采用線性模型下的阻尼值（ξz=0.009 7，ξp=0.542 8）。帶通濾波器期望角頻率ωs取3.769 rad/s（0.6 Hz）。不同彈體彈性一階彎曲振蕩頻率偏差量變化方式下的六自由度仿真結(jié)果如圖4所示。

由圖4六自由度仿真結(jié)果可以看出，采用廣義最小二乘法估計(jì)出的帶通濾波器中心頻率能夠不受擾動(dòng)影響，迅速地跟蹤真實(shí)結(jié)果，滿足預(yù)期設(shè)計(jì)要求。

4?結(jié)論

本文針對(duì)工程上在設(shè)計(jì)幅值濾波器時(shí)所面臨的問(wèn)題，提出了基于廣義最小二乘法的改進(jìn)思路，進(jìn)行了推導(dǎo)和六自由度仿真驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：利用廣義最小二乘法在線算法對(duì)彈體彈性一階彎曲振蕩頻率進(jìn)行估計(jì)，彌補(bǔ)了最小二乘法的缺陷，克服了最小二乘法中的有色噪聲干擾。利用一階彎曲振蕩模態(tài)角頻率ωe反饋模塊，實(shí)時(shí)調(diào)整濾波器中心頻率，使濾波器初始參數(shù)能夠保持在相對(duì)合理的數(shù)值范圍，確保了估計(jì)過(guò)程中的收斂性，提高了濾波器濾波效果，六自由度仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張鵬，冉景洪.舵面系統(tǒng)間隙非線性氣動(dòng)彈性研究[J].航空兵器，2010（5）：3-6.

Zhang Peng，Ran Jinghong. Research on Aeroelasticity with Freeplay Nonlinearity of Rudder System [J]. Aero Weaponry，2010（5）：3-6.（in Chinese）

[2] 譚光輝，李秋彥.考慮熱效應(yīng)的氣動(dòng)伺服彈性分析方法研究[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2014，35（S1）：60-64.

Tan Guanghui，Li Qiuyan. Aeroservoelasticity Analysis of Aircrafts under Thermal Effects[J].?Applied Mathematics and Mechanics，2014，35（S1）：60-64. （in Chinese）

[3] 楊超，黃超，吳志剛，等.氣動(dòng)伺服彈性研究的進(jìn)展與挑戰(zhàn)[J].航空學(xué)報(bào)，2015，36（4）：1011-1033.

Yang Chao，Huang Chao，Wu Zhigang，et al.

Progress and Challenges for Aeroservoelasticity Research[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2015，36（4）：1011-1033.（in Chinese）

[4] 許龍，余祖鑄.防空導(dǎo)彈彈性振動(dòng)抑制[J].上海航天，2011，28（5）：34-37.

Xu Long，Yu Zuzhu. Suppression of Elastic Vibration for Air Defense Missile[J]. Aerospace Shanghai，2011，28（5）：34-37.（in Chinese）

[5] 樊朋飛，凡永華，于云峰. 高超聲速飛行器伺服彈性與靜不穩(wěn)定控制方法[J].戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)，2016（2）：77-83.

Fan Pengfei，F(xiàn)an Yonghua，Yu Yunfeng. Servoelasticity and Static Instability Control Methods for?Hypersonic Vehicle[J]. Tactical Missile Technology，2016（2）：77-83.（in Chinese）

[6] 惠俊鵬，楊超. 考慮參數(shù)攝動(dòng)的飛行器氣動(dòng)伺服彈性魯棒穩(wěn)定性分析研究[J].導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，2015（6）：1-5.

Hui Junpeng，Yang Chao. Aeroservoelastic Robustic Stability Analysis for Flight Vehicles with Parametric Perturbation[J]. Missiles and Space Vehicles，2015（6）：1-5.（in Chinese）

[7] 谷迎松，楊智春.應(yīng)用結(jié)構(gòu)奇異值進(jìn)行頻域氣動(dòng)伺服彈性穩(wěn)定性分析[J].振動(dòng)與沖擊，2013，32（1）：5-7.

Gu Yingsong，Yang Zhichun. Aeroservoelastic Stability Analysis in Frequency Domain Using Structured Singular Value[J].?Journal of Vibration and Shock，2013，32（1）：5-7.（in Chinese）

[8] 吳云潔，宋嘉赟，劉曉東，等.推力矢量防空導(dǎo)彈伺服彈性的抑制[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，39（11）：1480-1485.

Wu Yunjie，Song Jiayun，Liu Xiaodong，et al. Suppression of Aeroservoelasticity in Anti-Aircraft Missile Using Thrust Vector[J].?Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2013，39（11）：1480-1485.（in Chinese）

[9] 楚龍飛，吳志剛，楊超，等.導(dǎo)彈自適應(yīng)結(jié)構(gòu)濾波器的設(shè)計(jì)與仿真[J].航空學(xué)報(bào)，2011，32（2）：195-201.

Chu Longfei，Wu Zhigang，Yang Chao，et al. Design and Simulation of Adaptive Structure Filter for Missiles[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2011，32（2）：195-201.（in Chinese）

[10] 許兆慶，吳軍基，薛曉中，等.彈性導(dǎo)彈側(cè)向動(dòng)態(tài)特性分析[J].彈道學(xué)報(bào)，2012，24（1）：7-10.

Xu Zhaoqing，Wu Junji，Xue Xiaozhong，et al. Analysis of Lateral Dynamic Characteristics of Elastic Missile[J].?Journal of Ballistics，2012，24（1）：7-10.（in Chinese）

[11] Zarchan P. Tactical and Strategic Missile Guidance[M]. 6th ed. American Institute of Aeronautics and Astronautics，Inc.，2012.

[12] 谷迎松，楊智春，李斌，等. 應(yīng)用H∞-范數(shù)進(jìn)行多通道氣動(dòng)伺服彈性系統(tǒng)的頻域穩(wěn)定性分析[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，30（2）：165-168.

Gu Yingsong，Yang Zhichun，Li Bin，et al. Exploring Differently Frequency Domain Analysis of MIMO Aeroservo Elasticity（ASE）System Stability Using H-Infinity-Norm[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University，2012，30（2）：165-168.（in Chinese）

[13] 吳志剛，楚龍飛，楊超，等. 推力耦合的高超聲速飛行器氣動(dòng)伺服彈性研究[J].航空學(xué)報(bào)，2012，33（8）：1355-1363.

Wu Zhigang，Chu Longfei，Yang Chao，et al. Study on Aeroservoelasticity of Hypersonic Vehicles with Thrust Coupling[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2012，33（8）：1355-1363.（in Chinese）