參數(shù)自適應(yīng)教與學(xué)優(yōu)化分數(shù)階PID控制器設(shè)計

李飛 閔昌萬 王穎 夏強 孫石杰 張鵬宇

摘?要：本文針對分數(shù)階PID控制器調(diào)節(jié)參數(shù)多、人工調(diào)參難度較大的問題，提出了參數(shù)自適應(yīng)教與學(xué)優(yōu)化分數(shù)階PID控制器設(shè)計方法。分數(shù)階PID控制器參數(shù)尋優(yōu)過程引入種群適應(yīng)度方差表征種群的“聚集程度”，將影響算法收斂速度和收斂精度的教學(xué)因子設(shè)計成種群適應(yīng)度方差的函數(shù)，使其在算法迭代過程中根據(jù)種群的“聚集程度”自適應(yīng)調(diào)節(jié)算法收斂速度。當(dāng)種群聚集程度高時，提高教學(xué)因子取小值的概率，增強種群的多樣性;當(dāng)種群聚集程度低時，提高教學(xué)因子取大值的概率，提高算法的收斂速度。通過仿真驗證，本文提出的參數(shù)自適應(yīng)分數(shù)階PID控制器控制整數(shù)階系統(tǒng)、分數(shù)階系統(tǒng)均可獲得優(yōu)良的控制效果，與參考文獻設(shè)計的控制器相比在動態(tài)性能上有顯著提升，參數(shù)自適應(yīng)分數(shù)階PID控制器較整數(shù)階PID控制器在響應(yīng)速度上提高69.8%，超調(diào)量減少92.6%，穩(wěn)態(tài)誤差減小32.4%。

關(guān)鍵詞：分數(shù)階系統(tǒng);PSATLBO算法;教學(xué)因子;參數(shù)自適應(yīng);分數(shù)階PID控制器

中圖分類號：TJ765;V37?文獻標識碼：A?文章編號：1673-5048（2020）01-0096-07

0?引言

隨著科學(xué)技術(shù)的進步，以及計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，分數(shù)階微積分作為數(shù)學(xué)的一個重要分支在信號處理與系統(tǒng)辨識、控制和機器人領(lǐng)域取得了較大的進展[1-3]。分數(shù)階系統(tǒng)（Fractional Order System，F(xiàn)OS）與整數(shù)階系統(tǒng)（Integer Order System，IOS）相比包含更多的動力學(xué)信息，通常采用系統(tǒng)辨識的方法獲得，例如固體加熱模型[4]、加壓重水反應(yīng)堆模型[5]等。

分數(shù)階PID（Fractional Order Proportional Integral Derivative，F(xiàn)OPID）控制器作為整數(shù)階PID（Integer Order Proportional Integral Derivative，IOPID）控制器的擴展，設(shè)計自由度更大，更適合控制分數(shù)階系統(tǒng)[6]。分數(shù)階PID控制器設(shè)計參數(shù)為Kp，Ki，Kd，λ，μ，手動調(diào)參難度較大，許多學(xué)者對此進行了大量的研究工作。目前分數(shù)階PID參數(shù)整定方法分三類：自整定、魯棒整定、優(yōu)化整定。Cao J Y，Machado J?A T等人利用遺傳算法對分數(shù)階PID進行參數(shù)整定[7-8];Zamani M，Maiti D等利用粒子群優(yōu)化算法對分數(shù)階PID參數(shù)進行尋優(yōu)[9-10];Dastjerdi A A等人分析了分數(shù)階PID的頻率特性，確定了分數(shù)階PID的設(shè)計準則[11]，并應(yīng)用于三自由度位置控制模型;Sagar S，Bettayeb M等人設(shè)計了內(nèi)模分數(shù)階控制器[12-13];Bhase S S等人設(shè)計了分數(shù)階PI控制器[14];Zhao C N，Monje C A，Chen Y Q，Padula F等人研究了不同優(yōu)化目標和約束條件下的分數(shù)階控制器[15-18]，其他學(xué)者也對此做出了相關(guān)研究工作[19-21]。上述研究對利用教與學(xué)優(yōu)化算法尋優(yōu)分數(shù)階PID控制器參數(shù)鮮有介紹，因此，本文提出利用參數(shù)自適應(yīng)教與學(xué)優(yōu)化算法對分數(shù)階PID控制器參數(shù)優(yōu)化。

1?分數(shù)階微積分基礎(chǔ)理論

1.1?分數(shù)階微積分定義

分數(shù)階微積分是整數(shù)階微積分的延伸與推廣，分數(shù)階微積分將微積分的概念擴展到整個實軸，甚至是整個復(fù)平面。迄今為止，科學(xué)界尚未給出分數(shù)階微積分的統(tǒng)一定義，目前常用的定義形式有Grunwald-Letnikov（G-L）定義以及Riemann-Liouville（R-L）定義。

通常將分數(shù)階的微分和積分統(tǒng)一定義為分數(shù)階微積分操作算子，操作算子形式如下：

1.2?分數(shù)階PID控制器定義

分數(shù)階PID控制器為整數(shù)階PID控制器的拓展，其一般形式為PIλDμ，當(dāng)λ=1，μ=0時為傳統(tǒng)PI控制器;當(dāng)λ=0，μ=1時為傳統(tǒng)PD控制器;當(dāng)λ=1，μ=1時為傳統(tǒng)PID控制器。分數(shù)階PID較整數(shù)階PID控制器多了兩個可調(diào)參數(shù)λ，μ，擴大了參數(shù)調(diào)節(jié)自由度，對于被控對象，尤其是分數(shù)階被控對象，通過參數(shù)的合理配置能夠獲得更好的控制效果。分數(shù)階PID控制器在頻域內(nèi)和時域內(nèi)的控制形式如下：

2?PSATLBO參數(shù)優(yōu)化

2.1?TLBO算法概述

TLBO算法由印度學(xué)者Rao在2014年提出，該算法與遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等傳統(tǒng)優(yōu)化方法相比，具有調(diào)節(jié)參數(shù)少、收斂速度快、求解精度高的優(yōu)點[22-25]。將TLBO算法應(yīng)用于分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定，可有效減輕調(diào)參工作量。

TLBO優(yōu)化算法是模擬課堂教學(xué)過程，將這一過程用數(shù)學(xué)模型來表示。在整個班級中，教師與學(xué)生均為其中的個體，教師是個體中適應(yīng)度最好的;而學(xué)生則是需要向老師學(xué)習(xí)的個體，學(xué)生中的每門課程代表待優(yōu)化參數(shù)向量。算法中的班級可用搜索空間S表示，學(xué)生可用Xi表示，學(xué)生每門課程為分數(shù)階PID的5個設(shè)計參數(shù)，其最大值、最小值分別用XUi，XLi表示。TLBO優(yōu)化算法求解過程可分為兩個階段：一是學(xué)生向老師學(xué)習(xí)階段，二是學(xué)生間互助啟發(fā)學(xué)習(xí)階段。

（1）教學(xué)階段

在第i次迭代中，學(xué)生以及教師的平均水平為Mi，教師Ti為個體中適應(yīng)度最優(yōu)的。在這一階段，認為教師每門課程都是最好的，并試圖讓學(xué)生的平均水平Mi向自己靠攏，如圖 1所示。

學(xué)習(xí)過程中教師與學(xué)生之間的差異如下：

經(jīng)過教師的教學(xué)后，學(xué)生個體每門課程成績?nèi)缦拢?/p>

（2）學(xué)生學(xué)習(xí)階段

學(xué)生跟教師學(xué)習(xí)完之后，班級中會出現(xiàn)成績相對較好的學(xué)生以及成績較差的學(xué)生，學(xué)生在這一階段利用課余時間進行互助學(xué)習(xí)，成績好的學(xué)生試圖讓成績差的學(xué)生向自己靠攏，這一過程用數(shù)學(xué)模型表示為

2.2?PSATLBO算法

全局搜索算法普遍存在早熟收斂問題，TLBO算法作為全局優(yōu)化算法同樣存在這一問題。TLBO算法中教學(xué)因子TF影響種群個體向最優(yōu)個體的聚集速度，進而影響算法整體的收斂速度和精度，因此TF的取值設(shè)計將是解決早熟收斂問題的有效突破點。TLBO算法每次迭代中TF隨機取值為1或2，其中1代表學(xué)生沒有學(xué)到知識，2代表學(xué)生完全掌握了教師的知識。但是這種求解過程未考慮到學(xué)生總體的“聚集程度”，若學(xué)生大多聚集于教師附近，算法容易陷入局部最優(yōu)解;若學(xué)生過于分散，此時又不利于學(xué)生快速提高成績（降低適應(yīng)度值），因此，本文提出了一種參數(shù)自適應(yīng)教與學(xué)優(yōu)化（Parameter Self Adaption Teaching Learning Based Optimization，PSATLBO）算法。

為了分析種群中學(xué)生的“聚集程度”，引入群體適應(yīng)度方差的概念，即

PSATLBO算法使用的自適應(yīng)教學(xué)因子可根據(jù)種群的適應(yīng)度方差進行調(diào)整。若種群適應(yīng)度方差大，表明種群中學(xué)生距離教師的離散程度大，通過提高教學(xué)因子TF取值為2的概率，使下次迭代時大部分學(xué)生向教師靠攏;若種群的適應(yīng)度方差小，表明學(xué)生大部分聚集于教師附近，通過提高教學(xué)因子取值為1的概率，增加下次迭代時大部分學(xué)生距離教師的距離，增強種群的多樣性，避免算法早熟。

3?分數(shù)階控制器設(shè)計及參數(shù)整定

分數(shù)階PID參數(shù)整定適應(yīng)度函數(shù)以積分誤差為性能指標，根據(jù)是否加入時間項t分為ITAE準則以及IAE準則，其形式如下：

一般情況下，系統(tǒng)會在短時間內(nèi)達到穩(wěn)定，ITAE準則是以t和e（t）的乘積為被積函數(shù)，較小的t值會湮沒誤差e（t）帶來的影響，并且系統(tǒng)的快速響應(yīng)會導(dǎo)致較大的系統(tǒng)超調(diào)與振蕩，因此，本文以IAE準則作為性能指標。

分數(shù)階PID共有5個參數(shù)需要調(diào)節(jié)，在MATLAB腳本文件中編寫PSATLBO參數(shù)優(yōu)化算法，適應(yīng)度函數(shù)在Simulink環(huán)境下搭建。

使用PSATLBO算法進行分數(shù)階PID參數(shù)整定的步驟如下：

（1）估計分數(shù)階PID設(shè)計參數(shù)向量（KP，KI，KD，λ，μ）的上下界pL和pU;

（2）設(shè)置PSATLBO算法種群數(shù)量、最大迭代次數(shù)，并初始化種群;

（3）根據(jù)式（7）～（12）計算種群的參數(shù)均值、適應(yīng)度方差、教學(xué)因子;

（4）“學(xué)生”向“教師”學(xué)習(xí)，并判斷學(xué)習(xí)后的適應(yīng)度值是否優(yōu)于之前值，若是，則更新“學(xué)生”參數(shù);

（5）隨機選擇兩個“學(xué)生”，適應(yīng)度值差的“學(xué)生”按照適應(yīng)度值好的“學(xué)生”更新參數(shù);

（6）判斷算法是否達到最大迭代次數(shù)，若達到最大，算法結(jié)束;否則，算法繼續(xù)執(zhí)行第（3）步。

PSATLBO優(yōu)化算法流程圖如圖2所示。

4?仿真驗證

分別選擇整數(shù)階系統(tǒng)、分數(shù)階系統(tǒng)作為被控對象對PSATLBO-IOPID控制器、PSATLBO-FOPID控制器進行仿真驗證。

4.1?IOS系統(tǒng)

為了驗證控制器的性能，選取文獻[26]中二階系統(tǒng)作為被控對象，即

將PSATLBO算法中的種群數(shù)量設(shè)為10，經(jīng)過50次迭代后得到的IOPID控制器和FOPID控制器為

文獻[27]中采用DE算法得到的IOPID控制器參數(shù)和FOPID控制器形式為

文獻[26]提出的第一Ziegler-Nichols準則設(shè)計的兩個分數(shù)階控制器形式如下：

采用傳統(tǒng)Ziegler-Nichols參數(shù)整定方法得到的IOPID控制器如下：

上述控制器在輸入為階躍響應(yīng)下的性能指標如表 1所示，本文提出的分數(shù)階PID控制器較整數(shù)階PID控制器在響應(yīng)速度上提高69.8%，超調(diào)量減少92.6%，穩(wěn)態(tài)誤差減小32.4%。

為了對比各控制器控制效果，圖3～4（ZN1-FOPID，ZN2-FOPID控制器響應(yīng)時間較長，其階躍響應(yīng)如圖4所示）給出了系統(tǒng)階躍響應(yīng)下時域內(nèi)控制效果。

由仿真結(jié)果可知，本文設(shè)計的PSATLBO-IOPID控制器與PSATLBO-FOPID控制器均滿足系統(tǒng)響應(yīng)要求，與上述DE-IOPID控制器、DE-FOPID控制器、ZN1-FOPID控制器、ZN2-FOPID控制器、ZN-IOPID控制器相比，本文提出的PSA-TLBO-IOPID控制器和PSATLBO-FOPID控制器在超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間、穩(wěn)態(tài)誤差方面均優(yōu)于前者，且PSATLBO-FOPID控制器與PSATLBO-IOPID控制器相比，具有響應(yīng)速度更快、系統(tǒng)超調(diào)更小的優(yōu)點，滿足系統(tǒng)快速響應(yīng)、精確控制的目的。

4.2?FOS系統(tǒng)

由于飛行器設(shè)計領(lǐng)域中分數(shù)階系統(tǒng)建模應(yīng)用較少，且不屬于本文研究重點，因此，選取文獻[5]中加壓重水反應(yīng)堆（Pressurized Heavy Water Reactor）模型作為被控對象，其模型如下：

設(shè)計控制器性能要求為階躍信號輸入下系統(tǒng)超調(diào)量σ<5%，調(diào)節(jié)時間ts<7 s。本文提出的PSATLBO-FOPID控制器如下：

文獻[5]設(shè)計的區(qū)間分數(shù)階PID（Interval Fractional Order Proportional Integral Derivate，INFOPID）控制器形式如下：

文獻[12]設(shè)計的分數(shù)階內(nèi)模PID（Fractional Order Internal Model Control Proportional Integral Derivate，F(xiàn)OIMCPID）控制器形式如下：

文獻[14]設(shè)計的分數(shù)階PI（Fractional Order Proportional Integral，F(xiàn)OPI）控制器形式如下：

上述控制器在輸入為階躍響應(yīng)下的性能指標如表2所示。

系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖5所示。

從仿真結(jié)果可知，文獻[14]設(shè)計的FOPI控制器效果最差;文獻[12]設(shè)計的FOIMCPID控制器雖然超調(diào)量與穩(wěn)態(tài)誤差指標稍微優(yōu)于本文設(shè)計的PSATLBO-FOPID控制器，但是其響應(yīng)時間與PSATLBO-FOPID相比慢兩個量級，控制器設(shè)計時往往通過犧牲一定的超調(diào)量獲取更快的響應(yīng)速度，因此PSATLBO-FOPID控制器更具實用價值;文獻[5]設(shè)計的INFOPID控制器與PSATLBO-FOPID控制器在上升時間、超調(diào)量相差不大，但是其穩(wěn)定時間較長，穩(wěn)態(tài)誤差較大。綜上所述，本文設(shè)計的控制器各項指標均滿足設(shè)計指標要求，綜合性能優(yōu)于文獻中的控制器，更具實用價值。

5?結(jié)論

本文針對控制器參數(shù)整定問題，分別以整數(shù)階系統(tǒng)和分數(shù)階系統(tǒng)為研究對象，提出PSATLBO參數(shù)優(yōu)化算法，并設(shè)計了PSATLBO-IOPID控制器和PSATLBO-FOPID控制器，由仿真分析可得出以下結(jié)論：

（1）針對同一被控對象，F(xiàn)OPID控制器與IOPID控制器相比，設(shè)計自由度更大，系統(tǒng)超調(diào)量更小，響應(yīng)速度更快;

（2）PSATLBO參數(shù)求解器更適用于IOPID和FOPID控制參數(shù)求解，同一被控對象，由不同參數(shù)求解器得到的分數(shù)階PID控制器中，PSATLBO-FOPID控制器的綜合性能優(yōu)于傳統(tǒng)算法;

（3）雖然目前工程實際中飛行控制器的設(shè)計大多采用經(jīng)典PID算法，但隨著彈載計算機性能的進一步提升，分數(shù)階PID控制器在飛行器姿態(tài)控制中的應(yīng)用會越來越多。

參考文獻：

[1]Gutiérrez R E，Rosário J M，Machado J T. Fractional Order Calculus：Basic Concepts and Engineering Applications[J]. Mathematical Problems in Engineering，2010（4）：242-256.

[2]Marinangeli L，Alijani F，Hosseinnia S H. Fractional-Order Positive Position Feedback Compensator for Active Vibration Control of a Smart Composite Plate[J]. Journal of Sound and Vibration，2018，412：1-16.

[3]Gonzalez E，Dorcˇák L，Monje C，et al. Conceptual Design of a Selectable Fractional-Order Differentiator for Industrial Applications[J]. Fractional Calculus and Applied Analysis，2014，17（3）：20.

[4]Petrá I，Vinagre B M，Dorcˇák L，et al. Fractional Digital Control of Heat Solid：Experimental Results[C]∥Proceedings of International Carpathian Control Conference，2002.

[5]Lamba R，Singla S K，Sondhi S. Fractional Order PID Controller for Power Control in Perturbed Pressurized Heavy Water Reactor[J]. Nuclear Engineering and Design，2017，323：84-94.

[6]Wu Z L，Li D H，Xue Y L，et al. Tuning for Fractional Order PID Controller Based on Probabilistic Robustness[J]. Science Direct，2018，51（4）：675-680.

[7]Cao J Y，Liang J，Cao B G. Optimization of Fractional Order PID Controllers Based on Genetic Algorithms[C]∥ Proceedings of 2005 International Conference on Machine Learning and Cybernetics，2005：5686-5689.

[8]Machado T A J. Optimal Tuning of Fractional Controllers Using Genetic Algorithms[J]. Nonlinear Dynamics，2010，62（1）：447-452.

[9]Zamani M，Karimi-Ghartemani M，Sadati N，et al. Design of Fractional Order PID Controllers for an AVR Using Particle Swarm Optimization[J]. Control Engineering Practice，2009，17 （12）：1380-1387.

[10]Maiti D，Biswas S，Konar A. Design of a Fractional Order PID Controller Using Particle Swarm Optimization Technique[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2008，58（5-8）：521-531.