淺析函數最值在經濟問題中的應用

呂淑君

（甘肅畜牧工程職業(yè)技術學院 甘肅武威 733006）

一、預備知識

（一）函數最大值

設x0是函數f(x)定義域區(qū)間I上的一點，對于任意的x∈I，恒有f(x0)≥f(x)成立，則稱函數f(x)在點x0處達到最大值f(x0)，x0稱為函數的最大值點。

（二）函數最小值

設x0是函數f(x)定義域區(qū)間I上的一點，對于任意的x∈I，恒有f(x0)≤f(x)，則稱函數f(x)在點x0處達到最小值f(x0)，x0稱為函數的最小值點。

二、函數最值在經濟問題中的應用

優(yōu)化是經濟學的核心[3]。各種優(yōu)化問題都受到了經營者和管理者的重視，如在一定的條件下，如何規(guī)劃生產，才能達到利潤最大、成本最小等問題[4]。下文用函數最值來解決經濟優(yōu)化方面的問題。

（一）最大值在經濟問題中的應用

1.利潤問題

例1 某商品現在的售價為每件60元，每周可賣出300件。市場調查發(fā)現：每漲價1元，每周少賣出10件；每降價1元，每周可以多銷售20件以上。已知商品價格是40元/件，如何獲得最大利潤定價？

解析：如果每件商品的價格上漲或下跌x美元，利潤是y美元，y1是價格上漲時的利潤，y2是價格下跌時的利潤。則：

y1=(60-40+x)(300-10x)

=-10(x2-10x-600)

=-10(x-5)2+6 250

當x=5時，即每件商品價格上漲5元，這時的價格為65元，利潤為6 250元。

y2=(60-40-x)(300+20x)

=-20(x2-5x-300)

=-20(x-2.5)2+6 125

當x=2.5時，即每件商品價格下跌2.5元，這時的價格為57.5元，利潤為6 125元。

綜上所述，當價格為65元時，可以獲得最大的利潤。

2.稅收問題

例3 設某種商品的需求函數為Q(P)=1 200-4P2。（其中，Q為需求量，單位為件，P為銷售價格，單位為元。）當P為何值時，總收益最大？

解析：總收益函數R(P)=QP=1 200P-4P3(P＞0)，

令R′(P)=1 200-12P2=0，得P=10。

又∵對R(P)求二階導數R″(P)=-12P，

可以推出R″(10)＜0。

∴當價格為10時，總收益可以達到最大值R(10)=8 000。

（二）極小值在經濟問題中的應用

經濟批量問題

例4 一家工廠生產某種產品，每年銷售100萬件。每批生產需要額外1 000元準備金。如果銷售的平均年增長率和最后一批貨物銷售后立即生產下一批（一半的貨物庫存，每單位年費是0.05元），分為多少批次生產才能使采購成本和庫存成本最??？

三、結束語

人們在日常生活中經常會遇到最大值和最小值問題。本文利用函數最值的求解，把現實問題轉化為數學模型，然后對問題進行定量分析，從而體現函數最值在實際問題中的最優(yōu)化。在經濟問題中，從經營者和管理者的角度來看，如何使收益最大化、成本最小化，是一個值得深入研究的問題。