基于數(shù)學(xué)建模視域的爐溫曲線優(yōu)化

唐汝晨 梅陽森 楊東

摘 要：在集成電路板等電子產(chǎn)品生產(chǎn)過程中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上。在這個生產(chǎn)過程中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產(chǎn)品質(zhì)量至關(guān)重要。目前這方面的許多工作是通過實驗測試來進行控制和調(diào)整的。本文旨在通過機理模型來進行分析研究。傳送帶速度固定不變，溫度隨時間變化始終保持連續(xù)，我們需要求出溫度隨時間變化的函數(shù)關(guān)系式，然后求出傳送帶速度。

關(guān)鍵詞：爐溫曲線; 機理模型

一.問題分析

在傳輸過程中，傳送帶的運行速度已被確定。因此我們需要考慮到回焊爐的升溫降溫斜率以及時間，爐溫曲線始終保持連續(xù)，需要注意的是各溫區(qū)之間的溫度差。而考慮到速度較快，物體導(dǎo)熱也需要時間。我們這里假設(shè)物體導(dǎo)熱系數(shù)對它影響不大，并且時間已知。那么這就是一個線性問題，我們便可以采用 MATLAB 里的CFtool 工具箱進行曲線擬合，我們分別采用了傅立葉變換（將函數(shù)表示成一組具有不同幅值的正弦函數(shù)或積分）跟正弦函數(shù)擬合爐溫曲線。由于生產(chǎn)車間室溫不會為0度，因此我們在這里舍棄正弦函數(shù)，通過對比我們發(fā)現(xiàn)五級傅里葉函數(shù)最為精確。

并且得出了函數(shù)關(guān)系式（1）：

二.模型假設(shè)：

1.假設(shè)各個溫區(qū)的材料厚度均勻，各個部位厚度相同;

2.忽略各個溫區(qū)之間間隙的空氣對流，即把每個溫區(qū)當做導(dǎo)熱固體;

3.因為外部溫度恒定，所以不考慮熱輻射的影響;

4.假設(shè)溫度的變化對材料熱導(dǎo)率、比熱容和密度無影響（因為影響導(dǎo)致的變化非常小，故忽略不計）;

5.假設(shè)溫度只沿步進式傳輸帶運動方向進行正反向傳導(dǎo)，不考慮其垂直方向的傳導(dǎo);

假設(shè)各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為173℃（小溫區(qū)1～5）、198℃（小溫區(qū)6）、230℃（小溫區(qū)7）和257℃（小溫區(qū)8～9）。

熱傳導(dǎo)（thermal conduction）：是介質(zhì)內(nèi)無宏觀運動時的傳熱現(xiàn)象，其在固體、液體和氣體中均可發(fā)生，但嚴格而言，只有在固體中才是純粹的熱傳導(dǎo)，而流體即使處于靜止狀態(tài)，其中也會由于溫度梯度所造成的密度差而產(chǎn)生自然對流，因此，在流體中熱對流與熱傳導(dǎo)同時發(fā)生。 熱傳導(dǎo)是熱傳遞的三種（熱對流、熱傳導(dǎo)、熱輻射）方式之一。熱傳導(dǎo)是固體中熱傳遞的主要方式。在氣體或液體中， 熱傳導(dǎo)過程往往和對流同時發(fā)生。

熱阻：熱阻是指當熱量在物體上傳遞時，物體兩端的溫度之差與熱源功率之間的比值，在有溫度的條件下，物體抵抗傳熱的能力越強，則熱阻越大，熱導(dǎo)率越好， 通常熱阻越低，熱阻計算公式為：

Q是導(dǎo)熱速率，k是熱導(dǎo)率，T為溫度，A為接觸？積;單位時間內(nèi)所傳導(dǎo)熱量（熱流量）為：

Kr是傳熱系數(shù)，A為物體表? 積，T為物體兩個側(cè)？的溫度差。

導(dǎo)熱系數(shù)：是指在穩(wěn)定傳熱條件下，1m 厚的材料，兩側(cè)表面的溫差為 1 度（K·℃），在一定時間內(nèi)，通過 1 平方米面積傳遞的熱量，單位為瓦/米·度（W/（m·K），此處為 K 可用℃代替）。導(dǎo)熱系數(shù)是建筑材料最重要的熱濕物性參數(shù)之一，與建筑能耗、室內(nèi)環(huán)境及很多其他熱濕過程息息相關(guān)。導(dǎo)熱系數(shù)僅針對存在導(dǎo)熱的傳熱形式，當存在其他形式的熱傳遞形式時，如輻射、對流和傳質(zhì)等多種傳熱形式時的復(fù)合傳熱關(guān)系，復(fù)合傳熱關(guān)系通常被稱為表觀導(dǎo)熱系數(shù)、顯性導(dǎo)熱系數(shù)或有效導(dǎo)熱系數(shù)（thermal transmissivity of material）。

三.建立模型

我們通過傅立葉公式變換建立了基于傳熱機理的空氣一維溫度傳導(dǎo)模型。下面我們以各個小溫區(qū)作為研究對象，根據(jù)傳熱機理推導(dǎo)各個溫區(qū)對空氣的熱傳導(dǎo)模型。進而推導(dǎo)空氣被加熱時的一維溫度場分布的微分方程。在假設(shè)加熱空氣的熱物性參數(shù)為常值的情況下（這樣做是為了推導(dǎo)方便，如果熱物性參數(shù)不為常值，將相應(yīng)的計算公式帶入熱傳導(dǎo)方程即可）。

在 dt 時間內(nèi)，沿 x 軸方向從左側(cè)進入微元體中的熱量，根據(jù)傅立葉定律可以確定為：

由能量守恒定律可知，在沒有內(nèi)熱源的情況下，導(dǎo)入微元體上的熱量等于導(dǎo) 出的熱量加上微元體內(nèi)能的增加量。微元體的內(nèi)能增加為：

由于該微分方程是根據(jù)一般規(guī)律推演的，所以能夠滿足一切導(dǎo)熱物體的溫度 場，因而它在數(shù)學(xué)上有無窮多個解。而我們需要的是得到針對某一工程實際問題的特定解。

四.模型的求解

將實測的溫度跟時間t，以及各值得范圍代入到傅里葉函數(shù)關(guān)系式中并聯(lián)立模型得出下列約束條件：

聯(lián)立上述兩式通過 lingo 對目標函數(shù)（上文函數(shù)關(guān)系式（1））：

進行線性規(guī)劃求出最優(yōu)解，得出最大過爐速度為80.27cm/min

參考文獻：

[1]溫度和含濕量對建筑材料導(dǎo)熱系數(shù)的影響 孫立新; 馮馳; 崔雨萌 土木建筑與環(huán)境工程 2017-12-15

[2]葛新石 葉宏. 傳熱和傳質(zhì)基本原理. 北京. 化學(xué)工業(yè)出版社. 2007. 36-37.1.

[3]湯宗健，謝炳堂，梁革英.回流焊爐溫曲線的管控分析[J].電子質(zhì)量，2020（08）：15-19+23.

作者簡介：

唐汝晨，男 ，漢族，湖北省孝感市，2001年10月21日，機電工程學(xué)院，本科在讀 ，研究方向：機械設(shè)計制造及其自動化

梅陽森，男，漢族，湖北省武漢市，2002年10月14日? 機電工程學(xué)院，本科在讀 ，研究方向：機械設(shè)計制造及其自動化

楊東，男，侗族，貴州省黔東南 1999年7月28日 機電工程學(xué)院，本科在讀 ，研究方向：機械設(shè)計制造及其自動化

（武漢東湖學(xué)院? ?湖北? ?武漢? 430212）