多思路探究解法 促思維能力提升

石林峰

摘要：推理能力是學生思維能力重要組成部分，而幾何推理是推理能力培養(yǎng)的重要載體。在幾何課堂教學過程中，如何促進學生思維能力的提升，是一線教師要思考和探究的課題。本文以八下期末考試一道幾何試題為例，根據(jù)圖形的基本特征，通過旋轉(zhuǎn)變化、截長補短、模型化，進行求異思維與探究。從解答方法、學生解答思路受阻情況，提出幾點思考：注重基礎知識，是促進思維能力提升的前提;提煉思想方法，是促進思維能力提升的關鍵;引領一題多解，是促進思維能力提升的重要方法。

關鍵詞：一題多解 ? 幾何推理 ? ?能力提升

發(fā)展學生的數(shù)學思維能力是數(shù)學教學的核心任務。在學習中，學生能否運用數(shù)學思維方式進行思考，是會學與學會的具體體現(xiàn)，也是學生數(shù)學核心素養(yǎng)養(yǎng)成的前提。提升數(shù)學思維能力，關鍵在于培養(yǎng)學生推理能力，而幾何推理是學生推理能力培養(yǎng)的重要載體。在幾何課堂教學中，學生不僅要掌握圖形與幾何的基本知識和基本技能，更要收獲基本思想和基本活動經(jīng)驗，從而學會數(shù)學思考，促進數(shù)學思維能力的提升。在幾何解題教學中，要引導學生從不同的途徑、不同的角度、不同的思路去探索解題方法，并在實踐中進行思考，從而探索提升思維能力之路。

一、試題呈現(xiàn)及分析

1.題目（本小題滿分12分）如圖1，在平行四邊形ABCD中，（AB>BC），AE⊥BC，垂足為E，DF⊥BC所在直線，垂足為F.

（1）求證：BE=CF

（2）如圖2，作∠ADC的平分線交邊AB于點M，與AE交于點N，且AE=AD.求證：CD=CF+AN

2.試題分析：本題以三角形、平行四邊形為基本圖形，主要考查平行線的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識。第一小題，主要解題思路是利用三角形全等來證明或利用線段的和差來證明線段相等（學生比較容易做出來，本文不作討論）。第二小題求兩條線段的和等于另一條線段，常用的方法是利用轉(zhuǎn)化思想，把不在同一條直線上的線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上來，然后再去證明與另一條線段相等。也可以把一條線段分成兩段，然后分別證明相等。

本題作為八下期末壓軸題，命題堅持把基礎知識、基本技能和基本思想方法最為重點，主要考查學生識別和理解幾何圖形能力（如模型化解題）、綜合解決問題能力等能力。

3.考生情況

在閱卷過程中發(fā)現(xiàn)，只有較少的學生能正確解答第二小題，這是閱卷老師沒有想到的。當然也有學生略知思路與方法，但還是火候不夠。例如：如圖5，在CD上截取CF=CG，連接GF.只要證明AN=DG即可。要證明AN=DG，只要證明△AMN≌△DFG（學生很簡單的就用角邊角定理證明全等了，但是∠4與∠6相等還是個迷）?；趯W生思路種種受阻情況，筆者獨自探索求解，理順思路后進一步回顧反思，希望對學生的解題有所幫助，對教師教學有所導向。

二、思路與解法

基于以上分析與情況，本題應通過多途徑、多角度、多思路探究解法，以模型思想、旋轉(zhuǎn)思想、截長補短等解題思路為突破口，然后利用所學角平分線、三角形、平行四邊形等性質(zhì)求解。

思路1：旋轉(zhuǎn)變換，聚分為合

在求證CD=CF+AN時，通過旋轉(zhuǎn)變換，把CF和AN分開的兩條線段轉(zhuǎn)移合到一起。本題將△AND旋轉(zhuǎn)變換到△DFG（或△ADG），從而將線段CF與AN轉(zhuǎn)化到同一直線，并且與CD在同一個三角形中，構造出等腰三角形求解。

解法1：如圖3，由（1）得四邊形AEFD為正方形，可將△AND旋轉(zhuǎn)90°至△DFG，則C、F、G三點在同一直線上。

由旋轉(zhuǎn)得到△AND≌△DFG，得到AN=FG。然后證明CG=CD，從而得到CD=CF+AN.

解法2：如圖4，由（1）得四邊形AEFD為正方形，可將△CDF旋轉(zhuǎn)90°至△DFG，則A、N、G三點在同一直線上。（解法同解法1，略）

以上兩種解法是基于問題的特征：FD和AD是具有共頂點、等線段的特征，具備旋轉(zhuǎn)變換條件，而且結(jié)合目標要把兩條線段相加等于另一條線段，所以想到通過旋轉(zhuǎn)變換后的到了解法1和解法2。

思路2：截長補短，或分或合

在求證CD=CF+AN時，通過截長補短法，把CF和AN分開的兩條線段轉(zhuǎn)移合到一起，或把CD線段進行分割，從而證得結(jié)論成立。延長線段EF（EA），構造全等三角形，從而轉(zhuǎn)移已知線段到同一直線，即補短合線段來求解?；蛟贑D上截取已知線段相等的線段，然后證明另一條線段相等。

解法3：如圖3，延長線段EF，使得FG=AN，連接DG.易證△FDG≌△AND，所以AN=FG.同解法1證得CD=CG.所以CD=CG=CF+FG=CF+AN.

解法4：如圖4，延長線段EA，使得CF=AG，連接DG.易證△ADG≌△CFD，所以AG=FC，DG=CD.同解法1證得DG=GN.所以CD=NG=AG+AN=CF+AN.

解法5：如圖5，在CD上截取DG=AN，連接GF.易證△AMN≌△DFG，得到對應角相等。然后證明∠9=∠8，從而證得CD=CG+DG=CF+AN。

解法6： 如圖6，在AB上截取AG=AN，連接GE.

易證△AGE≌△ANM（解法同解法5，略）

因為有了解法1和解法2，聯(lián)想到線段證明中的截長補短方法。延長線段EF（EA），構造全等三角形，就把兩條線段接在一起，從而得到解法3和解法4。既然能補短，那么也就能截長，可以直接在CD上截取，也可以在與CD相等的AB上截取，從而解法5、解法6。

思路3：幾何模型，移花接木

在求證CD=CF+AN時，通過相關幾何模型，轉(zhuǎn)移已知線段，構造等腰三角形，從而證得結(jié)論成立。

解法7、8：過點A（F）作CD的垂線，通過“一線三等角”幾何模型構造全等三角形，轉(zhuǎn)移CD至AP（HF），DN與AP（HF）相交構成兩個等腰三角形求解。

解法9、10：過點A（F）作DN的垂線，構通過“一線三等角”幾何模型構造全等三角形，轉(zhuǎn)移AN至DG，構造兩個等腰三角形△ODG和△COF，從而求解。

解法7： 如圖7，過點A作AP⊥CD，垂足為K，交DN于Ο，交DF于P.

易證△APD≌△CDF，得到DP=CF，AP=CD.然后分別證明AN=AO，DP=OP.從而得到CD=AP=AO+OP= AN+DP=AN+CF.

解法8： 如圖8，過點F作FH⊥CD，垂足為Ο，交DN于G，交AE于H.易證△HFE≌△CDF.（同解法7，略）

解法9： 如圖9，過A點作AG⊥ND，垂足為H，交BF于G.易證△AEG≌△DAN.得到AN=EG。再證明AB=BG.從而的到CD=AB=EG=BE+EG=CF+AN.

解法10：如圖10，過F點作FG⊥ND，垂足為H，交AD于G，交CD于Ο.易證△FDG≌△DAN.得到DG=AN。再證明DG=OD，CO=CF.從而得的目標結(jié)論。

由思路1和思路2進一步得到啟迪，以上方法都是通過轉(zhuǎn)化，把已知的線段轉(zhuǎn)移后去求證目標結(jié)論。因為已知圖形中有正方形，所以筆者嘗試利用一線三等角的基本模型把CD轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移后的圖形又能證明是等腰三角形，而這兩條腰的線段就是目標線段，從而得到了解法7、8。因為有第一題已經(jīng)知道BE=CF，所以想到在BE的一邊補上AN，從而去作DN的垂線，還是利用一線三等角轉(zhuǎn)移線段，得到等腰三角形證得目標結(jié)論，得到解法9、10。筆者還認為幾何證明中要善于使用嘗試（當然不是盲目嘗試）。

三、思考與啟迪

筆者在該題解題思路的探究過程中，得到了一些啟迪：會解、巧解數(shù)學題是一種本領，本領的強弱在于數(shù)學思維的深度與廣度。那么，如何促進學生思維能力的提升？通過幾何推理的教學，特別是幾何題一題多解、一題多變等的探索，有利于學生思維能力的提升。具體談以下幾點：

1. 注重基礎知識，是促進思維能力提升的前提

在幾何教學中，幾何圖形可以分為：點、線、面。點、線（中位線、角平分線、中垂線、平行線等）、面（等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、特殊平行四邊形）這些幾何圖形的基本性質(zhì)是提升幾何推理能力，促進數(shù)學思維能力發(fā)展的最最核心的知識，沒有這些基礎知識、基本思想與方法的支撐，幾何問題的解答就沒有有效的工具，就無法完成解答了。所以在平常的幾何課堂教學中，要幫助學生理解并理清相關定義、概念、性質(zhì)、定理，引導學生掌握基本的解題思想與方法，從而建立牢固系統(tǒng)的知識結(jié)構體系。在解答幾何問題是，觀其圖，知其法，迅速從知識結(jié)構體系中找到解題策略與方法。思維能力支撐著幾何推理。反之，幾何推理的培養(yǎng)又能促進思維能力的提升。

2. 提煉思想方法，是促進思維能力提升的關鍵

①幾何模型構建，提升解題能力

什么是幾何模型？筆者認為就是教師在幾何解題教學中，從復雜圖形中分解出基本圖形，從而發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出具有模式性的、結(jié)論性的，能有效的解決某些幾何類型問題的技巧。

比如在學習浙教版《4.4.1兩個三角形相似的判定》的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似?？偨Y(jié)出相似三角形“A型”“X型”等模型;

比如在學習有平行線和角平分線的組合圖形時，歸納出“雙平等腰”模型。因為AC∥BE，AD平分∠BAC，所以得到△ABD為等腰三角形。三個要素中任意知兩個，就能得到第三個結(jié)論;

比如在一條直線上的同側(cè)存在角度相同的三個角，歸納出“一線三等角”或“K型”模型，來得到全等三角形和相似三角形;

比如利用“兩點之間，線段最短”歸納出折線段求和的最小值“將軍飲馬”模型。

在解題過程中，準確辨識數(shù)學題中的幾何模型，進入模式化解題，使得做一題，通一類，從而提升解題能力，解題能力的強弱反映了數(shù)學思維的發(fā)展程度。當然，我們在教學中也要把握好方向，切不可依賴死記憶、機械性模仿與操練來完成教學目標。我們不僅要能模式化解題，更重要的是培養(yǎng)學生能“有解模套模的方法，更要有識模驗模的能力”。

②巧用旋轉(zhuǎn)變換，彰顯轉(zhuǎn)化策略

什么是旋轉(zhuǎn)變換？義務教育浙教版數(shù)學九年級上冊《3.2圖形的旋轉(zhuǎn)》定義為：一般地，一個圖形變?yōu)榱硪粋€圖形，在運動的過程中，原圖形上的所有點都繞著一個固定點，按同一個方向，轉(zhuǎn)動同一個角度，這樣的的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)（rotation）。這個固定的點叫做旋轉(zhuǎn)中心（center rotation）。旋轉(zhuǎn)變換后所得的圖形在形狀、大小上與原圖形一樣，所以可以利用旋轉(zhuǎn)變換來構造全等圖形，轉(zhuǎn)化已知條件，結(jié)合隱含條件，使得已知條件與要證明的結(jié)論產(chǎn)生聯(lián)系，從而得到解。我們從平時教學中發(fā)現(xiàn)，學生幾何知識的熟練運用、獨立解題的能力較弱，往往碰到難題不知所措，轉(zhuǎn)化問題的策略明顯不足。所以在教學中我們要重視旋轉(zhuǎn)變換來解題的思路引導，把復雜的問題簡單化明了化。初中階段旋轉(zhuǎn)變換在等腰（等邊）三角形、直角三角形、正方形以及圓中廣泛存在，體現(xiàn)了普遍性特點，教師在幾何教學中必須引導學生探索圖形規(guī)律，培養(yǎng)學生旋轉(zhuǎn)變換意識，從而能巧妙的利用旋轉(zhuǎn)變換來解決幾何問題，更能促進學生數(shù)學思維能力的提升。

3. 引領一題多解，是促進思維能力提升的重要方法

一題多解的教學思路常常被數(shù)學教師在日常教學中運用，即根據(jù)已知條件和需要解決的問題，從不同角度、多種思維途徑分析問題，得到不同的解題方案，從而選擇最佳解題方案。一題多解的教學思路不僅可以讓學生對基礎知識的理解與掌握，還可以促進幾何推理能力的提升，發(fā)展學生數(shù)學思維能力，使得學生的思維更具發(fā)散性，思維更具廣度和深度。另一方面，教師要充分發(fā)揮學生的主動性，通過自主探究與合理猜想，開闊解決問題的思路，進一步促進數(shù)學思維的發(fā)展。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]。北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]孫學東.數(shù)學需要教“解題模型”嗎？[J].初中數(shù)學教與學，2019（2）.

[3]張寧，陶敬. 多角度構建思路 多途徑探索解法[J]. 數(shù)理化學習（初中版），2018（11）.