基于灰色理論的主軸箱瞬態(tài)環(huán)境熱誤差分析

李志偉

摘 要：基于灰色理論模型突出的非線性擬合功能，本文通過(guò)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)度分析法建立動(dòng)態(tài)模型，即可近似任意非線性函數(shù)。灰色理論兼?zhèn)渥灾鲗W(xué)習(xí)與建模響應(yīng)敏捷等特點(diǎn)，針對(duì)輪槽銑床主軸箱熱誤差模型數(shù)據(jù)處理復(fù)雜的特性，具有良好的適用性。結(jié)果表明，通過(guò)建立灰色理論熱誤差預(yù)測(cè)模型，以主軸箱關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)所測(cè)溫度為依據(jù)，確定分析模型的理論輸出與系統(tǒng)實(shí)際熱特性關(guān)聯(lián)度，最終得到預(yù)測(cè)結(jié)果魯棒性較好的主軸箱熱誤差。

關(guān)鍵詞：主軸箱;灰色理論;瞬態(tài)環(huán)境;溫度測(cè)點(diǎn);熱誤差分析

中圖分類(lèi)號(hào)：TG659文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-5168（2020）34-0021-04

Analysis of Transient Environmental Thermal Error of Headstock Based on Grey Theory

LI Zhiwei

（Sichuan College of Architectural Technology，Deyang Sichuan 618000）

Abstract： Based on the prominent nonlinear fitting function of gray theory model， this paper established a dynamic model through data correlation analysis， which could approximate any nonlinear function. Grey theory combines the characteristics of independent learning and quick modeling response， which has good applicability for the complex data processing characteristics of the thermal error model of the wheel groove milling machine headstock. The results show that by establishing a gray theoretical thermal error prediction model， based on the temperature measured at the key temperature measurement points of the headstock， the correlation between the theoretical output of the analysis model and the actual thermal characteristics of the system is determined， finally， the thermal error of the headstock box with better robustness is obtained.

Keywords： headstock;grey theory;transient environment;temperature measuring point;thermal error analysis

研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)備加工期間，主要發(fā)熱部件為主軸箱內(nèi)的電機(jī)與主軸系統(tǒng)。主軸箱是機(jī)床的重要組成部分，其熱誤差是機(jī)床的主要誤差之一。因此，本文將主軸箱作為研究對(duì)象，以主軸箱關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)為分析依據(jù)，通過(guò)建立灰色理論模型GM（1，1）預(yù)測(cè)主軸箱瞬態(tài)環(huán)境下的熱誤差。

1 模型的理論基礎(chǔ)及建模原理

設(shè)[x0n]為初始測(cè)點(diǎn)溫度，隨機(jī)溫度測(cè)點(diǎn)的初始測(cè)點(diǎn)溫度函數(shù)如式（1）所示，[n]為隨機(jī)溫度測(cè)點(diǎn)。

[x0=x01，x02，…，x0n]? ? ? ? ? ? ? ?（1）

利用灰色理論預(yù)測(cè)主軸箱熱誤差時(shí)，應(yīng)利用主軸箱測(cè)點(diǎn)溫度數(shù)據(jù)建立GM（1，1）模型。取[x1（0）]作為主軸箱的熱誤差樣本參數(shù)序列，[xi（0）]為測(cè)點(diǎn)溫度函數(shù)，[i=2，3，]…。結(jié)合序列[ζ0i（n）]，即生成新的預(yù)測(cè)模型：

[x（0）i=x（0）i（1），x（0）i（2），…，x（0）i（n）]? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

[ξ0i（n）x（0）i（n）=ξ0i（n）j=1nx（0）i（j）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

式中，[n]為隨機(jī)溫度測(cè)點(diǎn);[j]為隨機(jī)溫度測(cè)點(diǎn)的實(shí)時(shí)溫度值。

利用[ξ0i（n）xi（0）（k）]序列相鄰數(shù)據(jù)的均值，重新構(gòu)成溫度序列：

[t（0）1（k）=0.5ξ01x（0）1（k-1）+0.5x（0）1（k）]，[k=1，2，…，n]? ? ? ?（4）

因此，可建立預(yù)測(cè)主軸箱熱誤差的GM（1，1）灰色理論模型：

[x（0）1（k）+αt（0）1（k）=i=2nbix（0）i（k）]? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

式中，[α]為當(dāng)量發(fā)生系數(shù);[bi]為當(dāng)量灰作用系數(shù)。

利用式（5），系數(shù)[α]和[bi]構(gòu)成系數(shù)矢量關(guān)系：

[QN=α1b1b2…bNT]? ? ? ? ? ? ? （6）

式中，T為轉(zhuǎn)置符號(hào)。

也就是說(shuō)，GM（1，1）預(yù)測(cè)模型熱誤差序列組成的單位列向量為：

[PN=x（0）1（1）x（0）1（2）…x（0）1（n）T]? ? ? ? ? （7）

通過(guò)相應(yīng)完善的熱誤差及溫度序列，構(gòu)成[N]階矩陣：

[M=-t（0）1（1）x（0）1（1）…x（0）N（1）-t（0）1（2）x（0）1（2）…x（0）N（2）????-t（0）1（n）x（0）1（n）…x（0）N（n）]? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

利用式（7）和式（8）矩陣變化，得到式（9），其能轉(zhuǎn)換為矩陣方程組。

[yN=MPN]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

由函數(shù)最小二乘法則，結(jié)合式（7），便能計(jì)算出模型的系數(shù)當(dāng)量：

PN=（BTB）-1BTyN? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

式中，B為n階矩陣。

根據(jù)式（10）可得，GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的時(shí)間響應(yīng)關(guān)系能近似為：

[x∧（1）1（k+1）=x（0）1（1）-1αi=1nbix（0）1（k+1）×exp（-αk）+1αi=1nbix（0）i（k+1）]? ? ? （11）

其中，[x（1）1（0）=x（0）1（0）]。

將式（10）得到的系數(shù)當(dāng)量代入式（11），可求出主軸箱的GM（1，1）熱誤差預(yù)測(cè)模型[x∧（1）1]：

[x∧（1）1（k+1）=x∧（1）1（k+1）-x∧（1）1（k）]? ? ? ? ? ? ? ?（12）

2 主軸箱溫度測(cè)點(diǎn)的選擇與優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 主軸箱測(cè)點(diǎn)選擇

輪槽銑床在常溫狀態(tài)下進(jìn)行半精加工，此時(shí)主軸箱的主軸轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，分析該工況下主軸箱瞬態(tài)環(huán)境的熱誤差影響，并相應(yīng)設(shè)置測(cè)溫點(diǎn)，以便及時(shí)獲取主軸箱的溫度及熱特性信息，使用的設(shè)備主要有渦流位移感應(yīng)器、Pt100熱阻溫度感應(yīng)器及Fluke溫度測(cè)試系統(tǒng)。為了保證各測(cè)點(diǎn)的實(shí)效性及準(zhǔn)確性，每間隔120 s采集一次數(shù)據(jù)，主軸箱共設(shè)置21個(gè)測(cè)溫點(diǎn)，具體分布如圖1所示。

2.2 溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度算法對(duì)機(jī)床溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)，通過(guò)分析測(cè)點(diǎn)的實(shí)效性及準(zhǔn)確性得到測(cè)點(diǎn)的三維時(shí)頻圖，如圖2所示。

通過(guò)時(shí)頻圖分析，各測(cè)點(diǎn)溫度動(dòng)態(tài)響應(yīng)有效，能真實(shí)反映加工狀態(tài)測(cè)點(diǎn)溫度變化，使用灰色關(guān)聯(lián)度對(duì)主軸箱測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分組優(yōu)化，當(dāng)量發(fā)生系數(shù)取2.5，當(dāng)量灰作用系數(shù)取6時(shí)，各測(cè)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性及準(zhǔn)確性較好，則分組函數(shù)[L（c）]如下：[L（2）]=265.347，[L（3）]=308.285，[L（4）]=497.012，[L（5）]=806.253，[L（6）]=810.056，[L（7）]=364.128，結(jié)果表明[L（6）>L（5）]，且滿(mǎn)足[L（6）>L（7）]，結(jié)果證實(shí)，將測(cè)點(diǎn)分6組時(shí)，熱誤差分析結(jié)果最佳。

為了保證測(cè)點(diǎn)分組的有效性，本研究得出相應(yīng)測(cè)點(diǎn)溫度關(guān)聯(lián)度分組矩陣，如表1所示。

由表1測(cè)點(diǎn)關(guān)聯(lián)度分組矩陣，將已確定的6組測(cè)點(diǎn)進(jìn)行比較，按照關(guān)聯(lián)度及熱誤差影響強(qiáng)弱篩選歸類(lèi)，保留對(duì)熱誤差分析有實(shí)用價(jià)值的測(cè)點(diǎn)，具體如下：16#、18#;9#、11#、12#、15#、20#;6#、7#;1#、2#、4#;8#;21#。

利用相關(guān)系數(shù)法從以上各組中選一個(gè)重要測(cè)點(diǎn)作為研究對(duì)象，根據(jù)各組數(shù)據(jù)間的相關(guān)熱誤差關(guān)聯(lián)度選4#、6#、8#、11#、18#、21#為熱誤差關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)，至此將測(cè)點(diǎn)總量由21個(gè)優(yōu)化至6個(gè)。將6個(gè)溫度感應(yīng)器分別安裝于主軸箱對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)位置，并將3個(gè)電渦流位移感應(yīng)器安裝于主軸[X]、[Y]、[Z]方向，用于實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)三個(gè)方向的熱變形狀況，保持機(jī)床工作條件不變，連續(xù)加工4 h，初始轉(zhuǎn)速設(shè)為1 500 r/min，為保證數(shù)據(jù)的有效性，各測(cè)點(diǎn)每間隔120 s采集一次數(shù)據(jù)。測(cè)點(diǎn)溫度隨主軸轉(zhuǎn)速及時(shí)間的增加而升高，其主要原因是主軸長(zhǎng)時(shí)間工作，本身發(fā)熱量累計(jì)增高。以測(cè)點(diǎn)溫度數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對(duì)主軸箱三個(gè)方向進(jìn)行熱誤差分析，主軸在[X]向的熱誤差平穩(wěn)變動(dòng)較小，但在[Z]、[Y]兩個(gè)方向熱誤差變化明顯，隨時(shí)間及轉(zhuǎn)速的增加而迅速增加，當(dāng)主軸達(dá)到熱平衡時(shí)，兩個(gè)方向的熱誤差逐步趨于穩(wěn)定。

3 灰色理論模型預(yù)測(cè)主軸箱熱誤差

3.1 預(yù)測(cè)理論依據(jù)

將測(cè)點(diǎn)所測(cè)[u]個(gè)溫度分成[u-v]個(gè)組，各組含[v+1]個(gè)數(shù)值（令[v]為響應(yīng)輸入?yún)?shù)，[v+1]為反饋映射）。每組中輸入?yún)?shù)的數(shù)量，表示前[v]個(gè)溫度對(duì)第[v+1]個(gè)溫度有關(guān)聯(lián)，為了保證輸入?yún)?shù)不失真，同時(shí)提高預(yù)測(cè)有效性，[v]的取值范圍一般為6～11。

3.2 具體預(yù)測(cè)進(jìn)程

以測(cè)點(diǎn)溫度關(guān)聯(lián)度為依據(jù)，將表1中前10個(gè)溫度值作為灰色理論預(yù)測(cè)模型的輸入?yún)?shù)，后10個(gè)溫度作為檢驗(yàn)參數(shù)。對(duì)輸入?yún)?shù)做實(shí)效性檢驗(yàn)后，導(dǎo)入Matlab程序，通過(guò)多次模擬訓(xùn)練，預(yù)測(cè)模型的失效邏輯誤差為4.759 18×10-2?？紤]到主軸箱實(shí)際工作狀態(tài)、熱特性及測(cè)點(diǎn)數(shù)量，在所有測(cè)點(diǎn)不失真的前提下，預(yù)測(cè)模型能保證這個(gè)精度符合要求，預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

為能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)主軸箱的熱誤差影響，對(duì)上述預(yù)測(cè)溫度進(jìn)行分析，得到主軸箱在三個(gè)方向的熱誤差，與之前通過(guò)各測(cè)點(diǎn)溫度樣本分析得到三個(gè)方向的實(shí)際熱誤差進(jìn)行比較，檢驗(yàn)預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性，發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)測(cè)值近似，如圖3所示，詳細(xì)分析結(jié)果如表3所示。

通過(guò)上述過(guò)程，將實(shí)際值與預(yù)測(cè)分析的結(jié)果進(jìn)行比較，主軸箱熱誤差在三個(gè)方向的極限殘差分別為0.042 4、0.007 4、0.022 9，均值殘差分別為0.039 5、0.044 4、0.003 0。以上數(shù)值均為正，且都小于1，因此利用灰色理論模型對(duì)主軸箱熱誤差的預(yù)測(cè)能近似反映真實(shí)結(jié)果。

4 結(jié)論

本文使用灰色理論模型預(yù)測(cè)主軸箱熱誤差，其間通過(guò)在主軸箱設(shè)置溫度測(cè)點(diǎn)來(lái)對(duì)比分析熱誤差。結(jié)果證明，溫度測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)值與理論模型預(yù)測(cè)值接近，都能真實(shí)反映主軸箱的熱誤差，因此灰色理論模型具有準(zhǔn)確性較好的預(yù)測(cè)水平，對(duì)機(jī)械設(shè)備的熱誤差分析具有實(shí)用價(jià)值，也為機(jī)械設(shè)備的熱特性探索開(kāi)辟了新的方向。

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