多平面截切圓柱體的三面投影作圖方法探討

于淑靜　韓加好

摘 要：工程制圖作為一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課，旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間思維和讀圖、繪圖的能力。結(jié)合工程制圖的教學(xué)實(shí)踐，指出了求圓柱截切體投影的關(guān)鍵是求其截交線的投影;明確了圓柱截交線的類(lèi)型與投影方法;以多平面截切圓柱體產(chǎn)生的圓柱截切體為例，通過(guò)逐個(gè)分析截平面、截交線的空間性質(zhì)，化解作圖中的難點(diǎn)，詳細(xì)說(shuō)明了其三面投影的作圖方法與步驟。

關(guān)鍵詞：圓柱 截交線 截切體 投影 作圖方法

Discussion on Three-sided Projection Drawing Method of Multi-plane Truncated Cylinder

Yu Shujing，Han Jiahao

Abstract：Engineering drawing is an important professional technical basic course， which aims to cultivate students' spatial thinking and the ability of reading and drawing. Combined with the teaching practice of engineering drawing， the article points out that the key to finding the projection of the cylindrical truncated body is the projection of its truncated line; the type and projection method of the cylindrical truncated line are clarified; the cylindrical truncated by cutting the cylinder with multiple planes is an example. By analyzing the spatial properties of the cross-section plane and the cross-section line one by one， the difficulty in drawing is resolved， and the drawing method and steps of its three-sided projection are explained in detail.

Key words：cylinder， cut line， cut body， projection， drawing method

工程制圖是工程技術(shù)人員之間交流設(shè)計(jì)思想的語(yǔ)言，工科類(lèi)學(xué)生只有熟練掌握這一專(zhuān)業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課，才能夠在學(xué)習(xí)后續(xù)課程時(shí)正確理解并繪制符合國(guó)標(biāo)要求的工程圖樣。[1]圓柱截切體的三面投影作圖方法是本課程的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，其上截交線的畫(huà)法是截切體視圖繪制的關(guān)鍵。在實(shí)際工程中為了使學(xué)生能夠正確、完整、清楚地表達(dá)一些機(jī)件的結(jié)構(gòu)形狀，立體截交線作為形體表面交線之一，其繪制方法是學(xué)生學(xué)習(xí)制圖類(lèi)課程必須掌握的知識(shí)點(diǎn)。[2]所以，本文從圓柱截交線入手，對(duì)單平面截切圓柱產(chǎn)生的截交線類(lèi)型與投影方法進(jìn)行了梳理，進(jìn)而理順了多平面截切圓柱時(shí)截切體的三面投影作圖過(guò)程，方法正確，思路清楚。

1 圓柱截交線的類(lèi)型與投影方法

要正確繪制圓柱截切體的投影，首先要會(huì)畫(huà)圓柱的截交線。當(dāng)平面截切圓柱體時(shí)，產(chǎn)生的截交線通常有三種形式，其畫(huà)法也不同。第一種情況，當(dāng)截平面平行于圓柱體的軸線截切時(shí)，與圓柱頂面、底面產(chǎn)生的截交線均是直線，與回轉(zhuǎn)面產(chǎn)生的截交線是平行于軸線的直線，也是圓柱表面上的兩條素線，與頂面、底面的截交線圍成一矩形。此時(shí)，由于截交線是由直線組成，可以先找到端點(diǎn)的投影，再直線連接。第二種情況，當(dāng)截平面垂直于圓柱體的軸線截切時(shí)，截交線的形狀為圓。[3]這個(gè)圓與圓柱的圓是同一個(gè)圓。第三種，當(dāng)截平面傾斜于圓柱體的軸線截切時(shí)，截交線為橢圓。此時(shí)，由于橢圓是非圓曲線，我們采用表面取點(diǎn)的方法來(lái)畫(huà)截交線。即先求出特殊位置點(diǎn)，再補(bǔ)充一般位置點(diǎn)，然后光滑連接。

2 多平面截切圓柱體三面投影的作圖方法

當(dāng)單個(gè)平面截切圓柱體時(shí)，其產(chǎn)生的截交線的投影相對(duì)簡(jiǎn)單易求;若圓柱截切體是由多個(gè)平面截切后產(chǎn)生，則其產(chǎn)生的截交線通常比較復(fù)雜，截切體投影圖的繪制也更為困難。此時(shí)，就要逐個(gè)平面進(jìn)行分析，先分別求出各個(gè)截平面上的截交線的投影，再完善圖形。下面我們通過(guò)舉例來(lái)分析多平面截切圓柱體時(shí)的三面投影，完成其視圖的繪制。

例題，如圖1所示，圓柱被M、N、P三個(gè)平面截切，求此圓柱截切體的三面投影圖。

第一步，幾何分析。根據(jù)已有的圓柱截切體主視圖和左視圖可知，該截切體被截切之前是軸線為側(cè)垂線的圓柱，其正面投影和側(cè)面投影已經(jīng)完成，水平投影需要我們補(bǔ)畫(huà)。

第二步，截交線的形狀分析。由于該截切體是由圓柱體被多個(gè)平面截切后產(chǎn)生，所以我們要先明確各截平面的相對(duì)位置、性質(zhì)，再分析產(chǎn)生的截交線的形狀。通過(guò)分析可以得知，該截切體是由圓柱被三個(gè)平面同時(shí)截切后產(chǎn)生。其中，左邊的平面M是側(cè)平面，垂直于圓柱軸線，與圓柱表面產(chǎn)生的截交線為一段圓弧;中間的平面N是水平面，平行于圓柱軸線，與圓柱表面產(chǎn)生的截交線為兩條直線;右邊的平面P是正垂面，傾斜于圓柱軸線，與圓柱表面產(chǎn)生的截交線為一段橢圓弧。另外，水平面N與M、P兩面均相交，產(chǎn)生的交線也均為正垂線。

第三步，截交線的投影分析與繪制。為了便于分析和作圖，我們按照自左至右的順序，逐段進(jìn)行截交線的投影分析與繪制。為了便于想象并清楚說(shuō)明作圖過(guò)程，我們將后續(xù)步驟中所取的點(diǎn)在實(shí)體圖上標(biāo)注出來(lái)，如圖2所示。

第一段，側(cè)平面M上的截交線為一段圓弧。根據(jù)側(cè)平面的投影特性可知，其上截交線的正面投影積聚在截平面M的正面投影上，為一段直線;側(cè)面投影反映實(shí)形，為一段圓弧，且與圓柱的側(cè)面投影重合;水平投影積聚為一段直線。由于側(cè)平面M在截切時(shí)經(jīng)過(guò)了此平面上圓柱上下轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)I、II，這兩點(diǎn)是特殊位置點(diǎn)，所以長(zhǎng)對(duì)正畫(huà)線，在上下轉(zhuǎn)向輪廓線的水平投影線上即可找到此兩點(diǎn)的水平投影1、2，再直線連接1、2點(diǎn)，即為截交線在水平面的投影，如圖3所示。

第二段，水平面N上的截交線為兩條側(cè)垂線。根據(jù)水平面與側(cè)垂線的投影特性可知，其上截交線的正面投影積聚在截平面N的正面投影上，為一段直線;側(cè)面投影積聚為兩點(diǎn)，且在側(cè)面投影圓上;水平投影反映實(shí)形，也是直線。先找到此兩條側(cè)垂線被M、P面截取的端點(diǎn)III、IV、V、VI在正面和側(cè)面的投影3、4、5和6;再根據(jù)投影關(guān)系，找到這四點(diǎn)在水平面的投影3、4、5和6;然后，分別直線連接3、5和4、6點(diǎn)，即為此截交線在水平面的投影，如圖4所示。

第三段，正垂面P上的截交線為一段橢圓弧。根據(jù)正垂面的投影特性，其上截交線的正面投影積聚在截平面P的正面投影上，為一段直線;側(cè)面投影為一段圓弧，與圓柱的側(cè)面投影重合;水平投影為橢圓的類(lèi)似形，仍是橢圓。在這里，我們采用表面取點(diǎn)法來(lái)畫(huà)，畫(huà)法步驟如下：

（1）找出橢圓弧上的特殊位置點(diǎn)。這段橢圓弧上的特殊位置點(diǎn)有V、VI、VII、VIII、IX。其中，V、VI點(diǎn)是最低點(diǎn)，同時(shí)也是最左邊的點(diǎn)，其水平投影在上一步驟中已經(jīng)求出;VII點(diǎn)和VIII點(diǎn)分別是橢圓弧的最前點(diǎn)和最后點(diǎn)，也是圓柱上下轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)和橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)。我們找到此兩點(diǎn)的正面和側(cè)面投影投影7、8和7”、8”，再長(zhǎng)對(duì)正，在上下轉(zhuǎn)向輪廓線的水平投影線上找到此兩點(diǎn)的水平投影7、8。IX點(diǎn)是最高點(diǎn)，也是圓柱前后轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)和橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)。找到此點(diǎn)的正面和側(cè)面投影9和9”，再長(zhǎng)對(duì)正，在水平投影面的中心線上找到此點(diǎn)的水平投影9。至此，橢圓弧上的特殊位置點(diǎn)均已找到。

（2）找出橢圓弧上的一般位置點(diǎn)。為了作圖準(zhǔn)確，還需要在特殊位置點(diǎn)之間補(bǔ)充一般位置點(diǎn)X、XI、XII、XIII。先找到一般位置點(diǎn)X、XI在正面的投影10和11，根據(jù)從屬性，找到這兩點(diǎn)的側(cè)面投影10”和11”，再根據(jù)長(zhǎng)對(duì)正、寬相等找到這兩點(diǎn)的水平投影10、11。應(yīng)用同樣的方法，找到一般位置點(diǎn)XII、XIII的水平投影12、13。至此，橢圓弧上選取的一般位置點(diǎn)均已找到。

（3）光滑連接各點(diǎn)。在水平投影面上，將以上點(diǎn)光滑連接起來(lái)，得到此橢圓弧截交線的水平投影，如圖5所示。

第四步，完善圖形。首先，水平面N與側(cè)平面M相交于一條正垂線，這條線與M上的截交線水平投影積聚為直線34，其水平投影已經(jīng)求出;水平面N與正垂面P也相交于一條正垂線，在水平面投影反映實(shí)形，可見(jiàn)。所以連接水平投影5、6，即為此正垂線的水平投影。其次，I、II、VII、VIII這四點(diǎn)是圓柱上下轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，I、VII和II、VIII之間的輪廓線被截掉，所以，在水平投影面上，1、7點(diǎn)之間以及2、8點(diǎn)之間的輪廓線不畫(huà)，1、2點(diǎn)以左和7、8點(diǎn)以右的輪廓線要補(bǔ)全。

通過(guò)以上作圖步驟，我們完成了此圓柱截切體的三面投影圖，如圖6所示。

3 畫(huà)圓柱截切體三面投影時(shí)要注意的問(wèn)題

圓柱截切體三面投影圖繪制的難易程度與截平面的數(shù)量和相對(duì)位置有很大關(guān)系，尤其在求畫(huà)各截交線的投影時(shí)，還要先明確形狀后才能繪制。只有能夠熟練想象立體的空間結(jié)構(gòu)，熟悉各幾何要素的投影性質(zhì)，才能正確地繪制其三面投影圖。結(jié)合上述例題，在繪制圓柱截切體三面投影時(shí)要注意以下問(wèn)題：

（1）幾何形體分析。作圖時(shí)不能急于畫(huà)線，要先根據(jù)已知條件，分析圓柱截切體的空間狀態(tài)。

（2）截交線的分析。當(dāng)圓柱體是被多個(gè)平面截切時(shí)，要逐個(gè)截平面判斷其性質(zhì)，分析截交線的形狀與投影，按照步驟完成截交線的作圖。這需要充分掌握各平面的類(lèi)型與投影特性。例如本例中，三個(gè)截平面在正立投影面上均具有積聚性，從其投影線的形態(tài)可判斷出這三個(gè)截面依次為側(cè)平面、水平面和正垂面。

（3）圖線不能多畫(huà)，也不能少畫(huà)。首先，兩截平面交線的投影不能被漏畫(huà)。其次，圓柱體轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)往往是某一投影面輪廓線畫(huà)與不畫(huà)的分界點(diǎn)，如本例中1、7點(diǎn)和2、8點(diǎn)左右兩邊輪廓線的畫(huà)法。

（4）不可見(jiàn)截交線的畫(huà)法。當(dāng)截交線不可見(jiàn)時(shí)，其分析與畫(huà)法與前述相同，只是不可見(jiàn)部分用虛線繪制。

4 結(jié)語(yǔ)

工程制圖是工科專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)與核心課程。[4]繪圖過(guò)程中需要較好的空間思維能力和空間構(gòu)圖能力。截交線是整本書(shū)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，更是學(xué)好機(jī)械制圖的基礎(chǔ)。[5]對(duì)于多平面截切圓柱體產(chǎn)生的復(fù)雜截切體，要學(xué)會(huì)分析與解決問(wèn)題的思路，把握作圖的規(guī)律與要求，熟練應(yīng)用二維圖形與三維圖形之間的思維轉(zhuǎn)換，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，為正確完成工程圖樣的繪制打下良好的

基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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[5]楊曉珍.淺談立體表面的點(diǎn)和截交線的畫(huà)法[J].中國(guó)設(shè)備工程，2018，（04）：124-125.