大學(xué)物理中微積分應(yīng)用淺析

林季資 肖沛 趙越 張玉峰 王勇幸

摘? 要：大學(xué)物理以研究矢量、變量為主，在數(shù)學(xué)處理上常采用微積分方法，與中學(xué)物理有著很大不同。大學(xué)物理教師若能在課堂上較好地將微積分思想融入課堂教學(xué)當(dāng)中，將有助于學(xué)生掌握微積分方法。本文結(jié)合大學(xué)物理中的經(jīng)典例題，闡述微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用，為更好地提升學(xué)生解決物理問(wèn)題水平及能力提供幫助。

關(guān)鍵詞：微積分? 導(dǎo)數(shù)? 無(wú)限分割? 微分方程

中圖分類(lèi)號(hào)：O172? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1674-098X（2020）08（c）-0203-03

Abstract： College physics mainly studies vector and variable， and calculus is often used in the mathematical processing， which is quite different from middle school physics. If college physics teachers can better integrate calculus into classroom teaching， it will help students master calculus methods. In this paper， combined with the classic examples in college physics， the application of calculus in college physics is expounded， which can help to improve the ability of students to solve physics problems.

Key Words： Calculus; Derivative; Unlimited division; Differential equation

1? 微積分與物理學(xué)

17世紀(jì)時(shí)，在力學(xué)、光學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域，人們面臨四類(lèi)科學(xué)問(wèn)題亟需解決，它們分別是求解曲線切線問(wèn)題、計(jì)算曲線長(zhǎng)度及面積問(wèn)題、計(jì)算瞬時(shí)速度及加速度問(wèn)題、求解最優(yōu)問(wèn)題。在先輩們工作（如逼近法、割圓術(shù)等）基礎(chǔ)上[1]，經(jīng)過(guò)科學(xué)家們的努力，建立了現(xiàn)在稱(chēng)之為微積分學(xué)的數(shù)學(xué)理論很好地解決了上述問(wèn)題。微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用[2]。

大學(xué)物理作為高等學(xué)校理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生必修的一門(mén)公共基礎(chǔ)課，在整個(gè)人才培養(yǎng)方案中占據(jù)基礎(chǔ)性關(guān)鍵性位置。該課程的開(kāi)設(shè)，是為了打好理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生必要的物理基礎(chǔ)，幫助學(xué)生增強(qiáng)分析和解決問(wèn)題能力，也為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)[3]。近年來(lái)，為適應(yīng)高等職業(yè)教育發(fā)展需要，各職業(yè)院校紛紛對(duì)人才培養(yǎng)方案進(jìn)行修訂，著力進(jìn)行課程教學(xué)改革，縮減部分基礎(chǔ)課程如大學(xué)物理課的學(xué)時(shí)。為應(yīng)對(duì)學(xué)時(shí)不足，諸多院校不約而同地采用模塊化教學(xué)，針對(duì)不同專(zhuān)業(yè)選修相應(yīng)內(nèi)容[4-6]。其中，力學(xué)及電磁學(xué)部分通常都作為必選部分。在這兩部分教學(xué)內(nèi)容中，涉及大量與微積分有關(guān)的公式，理論性強(qiáng)且較為抽象。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍認(rèn)為比較難，相當(dāng)部分學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)無(wú)法理解及掌握，只能依靠死記硬背，無(wú)法體會(huì)理論中所蘊(yùn)含的物理之美，導(dǎo)致缺乏學(xué)習(xí)興趣。因此，如何在教學(xué)中更好地融入微積分思想，培養(yǎng)學(xué)生利用微積分分析及解決問(wèn)題的能力，提高教學(xué)質(zhì)量，是大學(xué)物理教師要深入思考的問(wèn)題。

2? 微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用

大學(xué)物理比中學(xué)物理涵蓋范圍更廣，相應(yīng)的物理理論及規(guī)律更具有普遍性。因此，在對(duì)物理概念、定理（定律）進(jìn)行公式化描述時(shí)就采用微積分。如前所述，微積分包含微分和積分。在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析時(shí)，將復(fù)雜過(guò)程進(jìn)行無(wú)限分割，以適用于理想特殊條件即為微分，而把無(wú)限多個(gè)微分進(jìn)行累積就是積分。換句話(huà)說(shuō)，微積分方法就是先化整為零，再積零為整，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題求解[7-8]。下面結(jié)合大學(xué)物理中力學(xué)、電磁學(xué)內(nèi)容的典型例題做簡(jiǎn)要分析。

例題1.如圖1所示， 湖中有一小船，有人用繩繞過(guò)岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運(yùn)動(dòng)。設(shè)該人以勻速率v0收繩，繩不伸長(zhǎng)且湖水靜止，試求小船的速率[9]。

解析：該例題在使用運(yùn)動(dòng)合成與分解方法求解時(shí)容易將合速度和分速度混淆。若能按照速度定義，采用導(dǎo)數(shù)方法，則很容易求解。按圖1中建立的坐標(biāo)系，設(shè)t時(shí)刻，船位置坐標(biāo)為x。由已知條件有，這里l表示船到滑輪間繩子長(zhǎng)度，顯然它是隨時(shí)間發(fā)生變化的。則有，其中。整理可得，。故小船速率為，顯然是隨時(shí)間發(fā)生變化的。

例題2 一人從10.0m 深的井中提水，起始桶中裝有10.0kg的水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏掉0.20 kg的水。試求水桶被勻速地從井中提到井口時(shí)拉力所作的功[9]。

解析：該例題涉及變力做功。若能利用微分方法，將路徑分成無(wú)窮多個(gè)小段，在每個(gè)小段上拉力近似看作恒力，則由恒力做功可計(jì)算出每段上所做的元功，然后對(duì)所有元功求和即為整個(gè)路徑上拉力所做的功。如圖2所示，由于水桶勻速向上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)拉力與重力平衡即。重力與坐標(biāo)y間關(guān)系為。則有：

由以上求解過(guò)程可以看出，當(dāng)把路徑分割成無(wú)限小段時(shí)，每段上的拉力近似看作恒力即把變量看作是常量進(jìn)行處理，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單了。實(shí)際上，利用微分方法在處理問(wèn)題時(shí)常常是將一個(gè)整體分割成無(wú)窮多個(gè)小部分（如這里的路徑分割成小段），在每個(gè)小部分上相應(yīng)的變量當(dāng)做常量處理，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在剛體力學(xué)部分求解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)也常常采用這種方法，如圖3所示。圖3（a）中，先計(jì)算質(zhì)量元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后對(duì)所有質(zhì)量元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行求和（λ=m/l）;圖3（b）中，圓盤(pán)質(zhì)量分布均勻可以看成由很多個(gè)小環(huán)帶構(gòu)成，先計(jì)算出每個(gè)環(huán)帶對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，（），再對(duì)所有環(huán)帶轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求和

例題3、正電荷q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上。計(jì)算在環(huán)的軸線上任一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度[9]。

解析：該帶電體系電荷分布連續(xù)，且電荷分布具有軸對(duì)稱(chēng)，我們建立如圖坐標(biāo)系。采用微積分方法，將帶電圓環(huán)分割成無(wú)限多個(gè)點(diǎn)電荷，每個(gè)點(diǎn)電荷帶電量，先計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)電荷在P點(diǎn)激起的電場(chǎng)場(chǎng)，然后進(jìn)行積分求出總的電場(chǎng)。與前面例2不同的是，電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量，因此一般不直接進(jìn)行求和積分，而是將在坐標(biāo)軸上進(jìn)行投影，求出各個(gè)投影分量再積分求出各個(gè)分量，最后合成求出總的電場(chǎng)強(qiáng)度。

利用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式有。由于，且電荷分布具有軸對(duì)稱(chēng)，則有（如圖4所示），故

從本例題可以看出，在不能直接應(yīng)用公式（如點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度公式）進(jìn)行電場(chǎng)強(qiáng)度求解時(shí)，應(yīng)采用微積分思想解題即在滿(mǎn)足物理學(xué)原理前提下，按步驟建好坐標(biāo)系及選擇恰當(dāng)微元（如本例中的電荷元dq），寫(xiě)出相應(yīng)微分關(guān)系式并在特殊方向上進(jìn)行投影，然后利用積分先求出各分量，最后再合成求解并討論。在大學(xué)物理磁場(chǎng)部分，利用畢奧-薩伐定律求解磁場(chǎng)強(qiáng)度、求解載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中受到的安培力等，也都會(huì)用到上述求解方法。因此，若能在教學(xué)過(guò)程中把握好這幾個(gè)求解環(huán)節(jié)，就能提高學(xué)生在大學(xué)物理中的求解及思考問(wèn)題能力。

例題4勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)，試求其運(yùn)動(dòng)方程。

解析：本例題是有關(guān)彈簧振子運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。一般教材介紹彈簧振子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)都是將彈簧視為輕彈簧即忽略彈簧的質(zhì)量。若考慮彈簧質(zhì)量，振子運(yùn)動(dòng)情況又會(huì)如何，這是筆者在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生提的較多問(wèn)題之一。該問(wèn)題可以從守恒量出發(fā)，得到振子運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足的微分方程，進(jìn)而獲得振子運(yùn)動(dòng)詳情。

如圖5所示，彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)所在位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)O。當(dāng)振子運(yùn)動(dòng)到位置X時(shí)，彈簧固定端位移為零，而另一端位移為X。此時(shí)，原位于l處的彈簧質(zhì)元dl（其質(zhì)量為mdl/L）的位移為lx/L，速度為ldx/Ldt，則彈簧與振子的動(dòng)能分別為：

系統(tǒng)彈性勢(shì)能為：EP=kx2/2。由于系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：

兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得，進(jìn)而得到，其中。由此可知，當(dāng)振子在做微小運(yùn)動(dòng)時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。由本例題可以看出，利用微分方程建立函數(shù)與自變量間的關(guān)系，從而求出各物理量間變化關(guān)系。微分方程在物理領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛如量子力學(xué)中的一維、二維、三維諧振子模型等，因此掌握微分方程對(duì)學(xué)習(xí)大學(xué)物理至關(guān)重要。

3? 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)具體例題分析了微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用，為學(xué)生將微積分思想運(yùn)用在變力做功、電場(chǎng)強(qiáng)度求解等問(wèn)題有著一定指導(dǎo)作用，有助于學(xué)生理解并掌握微積分的思想，提升學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 宋劍萍.物理教學(xué)中微積分思想的應(yīng)用[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2019，48（1）：72-73.

[2] 張欣艷，陳佰樹(shù)，王樂(lè)新，等.跳出專(zhuān)業(yè)視閾談大學(xué)物理課與微積分的糅合教學(xué)[J].高師理科學(xué)刊，2020，40（2）：93-96.

[3] 王白音.論大學(xué)物理中的矢量和微積分思想[J].教育教學(xué)論壇，2015（41）：173-174.

[4] 馬振寧，于智清，李星.工科專(zhuān)業(yè)大學(xué)物理模塊化教學(xué)改革探索[J].教育教學(xué)論壇，2020（4）：209-210.

[5] 劉春清.基于OBE理念的大學(xué)物理課程評(píng)價(jià)體系研究[J].科技資訊，2018（26）：164-165.

[6] 彭川來(lái).民辦高校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)?zāi)K式教學(xué)改革與探索——以閩南理工學(xué)院為例[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2018（3）：112-114.

[7] 岳保旺，張晉華.大學(xué)物理教學(xué)中巧用微積分[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，32（2）：97-100.

[8] 林劍花.大學(xué)物理教學(xué)中微積分思想應(yīng)用的幾點(diǎn)思考[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2019，35（4）：148-150.

[9] 馬文蔚.物理學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2014.