觸發(fā)認(rèn)知本原 建構(gòu)數(shù)陣模型

陳卓英

[摘要]數(shù)學(xué)練習(xí)題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、體驗數(shù)學(xué)價值的重要載體，而教材中的每一道習(xí)題的編排都蘊含著編者深思熟慮、寓意深刻的意圖。在準(zhǔn)確把握教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)該合理取舍、補充或調(diào)整教材內(nèi)容，以便揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，從而有效達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

[關(guān)鍵詞]習(xí)題教學(xué);認(rèn)知本原;數(shù)陣模型

[中圖分類號]G623.5??[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A??[文章編號]1007-9068（2020）02-0024-02

【人教版教材一年級下冊第63頁中的思考題】

對于該題，大部分學(xué)生通過嘗試都能正確解答，但筆者認(rèn)為教學(xué)不應(yīng)僅僅停留在學(xué)生能夠正確解答，而應(yīng)觸發(fā)學(xué)生的認(rèn)知本原，建構(gòu)這一類題的數(shù)學(xué)模型。為此，筆者展開了如下教學(xué)。

【教學(xué)描述】

一、瞻前——欲識廬山真面目

人教版教材一年級下冊第63頁中的思考題呈現(xiàn)的是數(shù)陣圖，是小學(xué)奧數(shù)中比較重要的一個知識點，把它放在一年級對學(xué)生來說其實有點難。細(xì)細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，編者只是希望通過一些簡單的填數(shù)字游戲，鞏固學(xué)生對整十?dāng)?shù)連加的應(yīng)用。不同的學(xué)生會有不同的填法，讓學(xué)生用自己喜歡的方法來巧填數(shù)字，可以培養(yǎng)他們的思維能力，學(xué)有余力的學(xué)生還能初步感知到什么是數(shù)陣。教師可以引導(dǎo)學(xué)生去找尋數(shù)陣的簡單規(guī)律以及填數(shù)陣的基本方法，通過找數(shù)陣中的關(guān)鍵數(shù)來找到解題的鑰匙，并能把這種方法靈活應(yīng)用到實際中去。

在教此題之前，教師要對學(xué)生的學(xué)習(xí)基點有個完整的了解。教材在一年級上冊第64頁的練習(xí)十三中還呈現(xiàn)了這樣一道思考題（如圖2）。不難發(fā)現(xiàn)，圖1和圖2這兩道思考題有著諸多聯(lián)系。學(xué)生若是理解了圖2思考題中的算理，定能為解答圖1的問題帶來幫助。

二、潛心——兩山排闥送“清”來

1.初識數(shù)陣，學(xué)會配對

師（出示圖2）：把0?9這十個數(shù)填入□里，使等式成立，實際上是在分組，每兩個一組，配對填數(shù)，保證每對的和相等。

師：請你著把這十個數(shù)分成5組，要求每組的和相等。

（學(xué)生嘗試）

生1：0+9=1+8=2+7=3+6=4+5。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：這些和都等于9，好像在做9的組成。

生2：最小的和最大的為一組，然后從兩頭向中間湊成一對一對的，剛好和都相等。

師：你們的發(fā)現(xiàn)都很棒！學(xué)會配對的方法對我們接下來的學(xué)習(xí)很有幫助。

師：一些數(shù)規(guī)則地排成一定的圖案，如十字形、三角形、人字形等，這樣的數(shù)字陣叫作數(shù)陣圖。（出示圖3）

師：請仔細(xì)觀察，數(shù)陣圖有什么特點？

生3：數(shù)陣圖中每行每列的和都相等。

生4：數(shù)陣圖中有個數(shù)要重復(fù)用兩遍。

師：你們都有雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛。這個重復(fù)用的數(shù)，我們叫它“中心數(shù)”或“重疊數(shù)”，它在數(shù)陣中起著舉足輕重的作用。它既在橫行上，又在豎列中，運算時要算兩遍。

師：剛才是給10個數(shù)，正好配成5組。如果給你10、20、30、40、50這五個數(shù)呢？（出示圖1）你該如何配對？

生5：可以配成2對，10+50=20+40，還多一個30。

師：那這個30剛好放哪里？

生6：中心數(shù)。

師（教師把“30”板書在中間的圓內(nèi)，如圖4）：你們覺得配好對的這些數(shù)填到哪個圓內(nèi)能符合題意呢？試著填填看。

（學(xué)生操作后反饋;如圖5）

師：填對了嗎？我們一起來驗證。

生7：10+50+30=90，20+40+30=90，90=90，正確。

師：填的時候有什么竅門？

生8：配成一對的兩個數(shù)要放在同一條直線的兩端。

師：說得很好。還有別的配對方法嗎？

生9：我的配對方法是10+40=20+30，還多一個50。

（學(xué)生操作后反饋;如圖6）

師：還有嗎？（展示最后一組情況并驗證，如圖7）

2.深入數(shù)陣，提煉方法

師：剛才大家通過獨立思考、合作交流，得出了三種符合題意的結(jié)果。請思考得出這三種結(jié)果的解題過程有什么共同點？

生10：先定“中心數(shù)”，再配對，然后填入圖中，最后驗證結(jié)果對不對。

師：既然這個“中心數(shù)”很重要，那找一找，我們選的“中心數(shù)”都在這串?dāng)?shù)的哪個位置呢？

生11：可以選擇這串?dāng)?shù)中最中間的那個數(shù)作為“中心數(shù)”，也可以用最小數(shù)或最大數(shù)作為“中心數(shù)”。

我們可以用幾句歌謠來總結(jié)填圖的方法：

數(shù)陣圖，有技巧。

中心數(shù)，是關(guān)鍵。

挑頭去尾取中間，

首尾成雙面對面。

三、顧后——唯有身在此山中

通過以上教學(xué)，學(xué)生對簡單的數(shù)陣圖的模型已經(jīng)有了基本的建構(gòu)，基礎(chǔ)模型至關(guān)重要，但模型的變式也必不可少。于是，筆者在課后安排學(xué)生獨立練習(xí)數(shù)陣圖，題目難度雖略有提升，但學(xué)生掌握得還不錯。

題1.把1、2、3、4、5、7分別填入〇里，使每一個大橢圓上的四個數(shù)之和等于13。

在這六個數(shù)中，有兩個數(shù)是公共的，那么剩下的四個數(shù)兩兩相加應(yīng)該相等。觀察1、2、3、4、5、7，1是公共數(shù)，而2+7和4+5都等于9，因此剩下的3也應(yīng)該是公共數(shù)，2和7、4和5應(yīng)該分別填在這兩個圓的左邊和右邊，經(jīng)檢驗，每個大橢圓上的四個數(shù)之和等于13。

題2.把1、2、3、4、5、6、7這七個數(shù)分別填入〇里，使每條直線上的三個數(shù)相加的和都為12。

觀察發(fā)現(xiàn)，在1?7這七個數(shù)中，除去中間的“中心數(shù)”，剩下的六個數(shù)兩兩相加應(yīng)該相等，經(jīng)驗算，當(dāng)“中心數(shù)”是4時，1+7=2+6=3+5=8，8+4=12。

“中心數(shù)”由一個變成兩個，配對由兩組變?yōu)槿M，但萬變不離其宗，“中心數(shù)”的確定是關(guān)鍵，只要確定了“中心數(shù)”填幾，別的空格就簡單了。充分的變式拓展，使學(xué)生在練習(xí)中深化理解了數(shù)陣圖。

【實踐反思】

數(shù)陣圖類的問題可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。對于一年級的學(xué)生來說，旨在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)感、感受幾何直觀，能通過觀察、嘗試及驗證，進(jìn)行適當(dāng)推理，并有序地思考?；仡櫿麄€教學(xué)過程，對于這道思考題的處理，筆者力求做到：

一、觸發(fā)本原，新舊溝通

學(xué)生遇到題目無從下手時，教師應(yīng)從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)。比如簡單的數(shù)陣圖里隱含著加減運算、整十?dāng)?shù)連加、數(shù)字配對等很多知識點，溝通新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系很重要，教師就要找準(zhǔn)知識間的聯(lián)結(jié)點。筆者以教材的一道思考題作為切入口，引出合理配對在數(shù)陣中的作用，給學(xué)生解決新問題提供了有力的支撐。

二、分解難點，拾級而上

分解難點，讓學(xué)生有據(jù)可循，從而降低認(rèn)知難度。從雙數(shù)配對到單數(shù)配對，從而引出“多出的那一個叫‘中心數(shù)或‘重疊數(shù)”，確定了“中心數(shù)”，數(shù)陣圖的問題就迎刃而解了。最后總結(jié)的歌謠符合低段學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，能夠培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

欲識廬山真面目，惟有身在此山中。只有瞻前顧后設(shè)計教學(xué)，才能成功建構(gòu)數(shù)陣模型。