由乘法估值想到的“二維交叉數(shù)軸法”

曾有玲

[摘要]數(shù)形結(jié)合是一種研究數(shù)學(xué)問題、推動數(shù)學(xué)科學(xué)不斷進(jìn)步的重要思想方法。很多時(shí)候，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可以解決許多用常規(guī)方法難以解決的難題，突破思維局限性。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;乘法估值;數(shù)軸法

[中圖分類號]G623.5??[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A??[文章編號]1007-9068（2020）02-0038-02

歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過一類計(jì)算工具——計(jì)算尺，它能夠幫助人們進(jìn)行基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算。隨著計(jì)算機(jī)的興起，計(jì)算尺退出了歷史舞臺，不過其運(yùn)算原理卻保留下來，并得到傳承和發(fā)揚(yáng)?！岸S交叉數(shù)軸平面”的構(gòu)想與計(jì)算尺如出一轍，都是通過線條的錯位移動來刻畫計(jì)算結(jié)果。

一、問題的由來

“兩位數(shù)相乘的估算”是人教版教材三年級的一個(gè)內(nèi)容，筆者曾聽過這一內(nèi)容的示范課。聽課過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于“42x29的積為1200左右”這一表述不求甚解，沒有細(xì)細(xì)咀嚼，教師也是一語帶過?！白蟆笔鞘裁匆馑迹俊坝摇庇譃楹我?？最后的“左右”到底指什么？

聽課時(shí)，筆者突發(fā)奇想：能否借用數(shù)軸上的點(diǎn)來刻畫精確值和近似值？以42x29為例，筆者將三種估值方案——縮小估計(jì)（取兩個(gè)因數(shù)的最高位，低位全部省略，即40x20=800）、居中估計(jì)（兩個(gè)因數(shù)全部“四舍五入”，即40x30=1200）、擴(kuò)大估計(jì)（將兩個(gè)因數(shù)全部用“進(jìn)一法”估值，即50x30=1500）的結(jié)果，分別在數(shù)軸上用對應(yīng)的點(diǎn)表示（如圖1）。不難發(fā)現(xiàn)，精確值在800?1500這個(gè)范圍內(nèi)。筆者將精確值求出，也在數(shù)軸上標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)。顯然，這道算式的精確值1218比近似值1200大一些，反映到數(shù)軸上就在精確值點(diǎn)的“右側(cè)”（如圖1），因此稱之為“右”。

在配套的課后練習(xí)中也出現(xiàn)了數(shù)軸形式的計(jì)算，不難發(fā)現(xiàn)，一些精確值比居中估值要小一些，在居中估值的左邊，因此描述為“左”。鑒于算式的靈活性，以及居中估值的模糊性，再考慮到學(xué)生的理解能力，我們形象地描述為“左右”。于是，借助數(shù)軸的直觀，通過對比數(shù)值大小與點(diǎn)的位置關(guān)系，學(xué)生深刻認(rèn)識了“左右”的內(nèi)涵。

二、形式的拓展和演變

居中估值和精確值相比有一定出入，統(tǒng)稱為“左右”是權(quán)宜之計(jì)，那么有沒有更科學(xué)的辦法，在拋開精確值的前提下，預(yù)測出估值比精確值偏大還是偏小呢？筆者把目光鎖定在數(shù)軸上，仍然采用數(shù)形結(jié)合的辦法去探索。不過，這次筆者增加了一條數(shù)軸，用平行數(shù)軸上的兩點(diǎn)來刻畫兩個(gè)因數(shù)，用連接代表兩個(gè)因數(shù)的點(diǎn)形成的線段表示乘積，即三種估值都用連線刻畫。筆者將其命名為“幾何乘積法”。仍以42X29為例，如圖2所示。

從圖2來看，42x29的幾何乘積線段MN，夾在縮小估值40x20對應(yīng)的幾何乘積線段AB與擴(kuò)大估值50x30對應(yīng)的幾何乘積線段CD以及兩條數(shù)軸圍成的封閉區(qū)間內(nèi)，形象揭示了精確值“比縮小估值大、比擴(kuò)大估值小”的道理，并直觀地展示出，精確值線段MN與居中估值40x30的幾何乘積線段BD相交于點(diǎn)P。

三、邏輯上的推定

現(xiàn)在要厘清的是，精確值到底是居左還是居右？通過計(jì)算與估算，以及對一條數(shù)軸的直觀理解，我們業(yè)已確證42x29的精確值在居中估值結(jié)果的“右側(cè)”，再來觀察這幅“二維交叉數(shù)軸”。交點(diǎn)P在封閉空間的上方，如果再植入一條輔助線作為與上下軸平行的中軸（如圖3），就能更加精準(zhǔn)地鎖定交點(diǎn)P在中軸上方。這就可以理解為：精確值在居中估值的“右側(cè)”。那這是不是就意味著，居中估值與精確值的交點(diǎn)在中軸之上，就是“居右”，反之就是“居左”了呢？

轉(zhuǎn)念一想，如果把兩個(gè)乘數(shù)42和29調(diào)換順序呢？居中估值線段BD與精確值線段MN的交點(diǎn)P不就轉(zhuǎn)移到中軸下方去了嗎？因此，和42x29一樣，必須添加限制條件：上面的數(shù)軸只能刻畫進(jìn)行“五入”的因數(shù)，姑且稱為“五入線”，下面的數(shù)軸只能刻畫進(jìn)行“四舍”的因數(shù)，姑且稱為“四舍線”。為了證實(shí)這一“創(chuàng)造”具有科學(xué)性以及“二維交叉數(shù)軸法”的合理性，筆者進(jìn)行了舉證，情況如圖4所示。

以上都是兩位數(shù)相乘，相信異位數(shù)相乘也是如此，只是線段的傾斜率程度更大。這時(shí)又迎來了新問題：如果兩個(gè)因數(shù)都進(jìn)行“四舍”或者“五入”取近似值，該如何處理？通過對標(biāo)準(zhǔn)式和估值算式的對比觀察，我們可以下定結(jié)論，如果兩個(gè)因數(shù)均是“四舍”取值，估算結(jié)果要比精確結(jié)果小，必定在精確值的左邊;反之，如果兩個(gè)因數(shù)均為“五入”取值，估算結(jié)果一定都在精確值的右邊。

四、新方法的局限性

筆者驚奇地發(fā)現(xiàn)，“二維交叉數(shù)軸法”對于乘法估算中的“居左”還是“居右”是一套行之有效的辦法！筆者繼續(xù)順著這個(gè)思路思考：1.有沒有反例呢？2.是否存在這樣的算式，它的居中估值與精確值的交點(diǎn)正好落在中軸線上？后來筆者嘗試將第二個(gè)問題用反證法解決：根據(jù)對稱原理與三角形全等原理，如若近似值與精確值的交點(diǎn)正好落在中軸線上，那么估計(jì)值就等于精確值，此時(shí)兩個(gè)因數(shù)之和正好是整十或整百數(shù)。然而事實(shí)令人大跌眼鏡——兩個(gè)值只是很接近。比如以下兩組：①48x52=2496——50x50=2500（估大了）;②42x58=2436——40x60=2400（估小了）?？梢?，“二維交叉數(shù)軸法”只能解釋一般現(xiàn)象，遇到一些特殊情況時(shí)則會失效，需要分開討論。

雖說筆者的探索發(fā)現(xiàn)似乎沒有多大價(jià)值，但這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“網(wǎng)絡(luò)式關(guān)聯(lián)”，反映了數(shù)學(xué)趣味所在，讓人體驗(yàn)到數(shù)學(xué)也可以這么好玩。而在好玩的背后，折射出的是數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。